Aufgabe A1
Gegeben sind die Funktion 
durch 
und die Funktion 
durch 
a)
Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen.
Zeigen Sie unter Verwendung von Ableitungsregeln, dass für die erste Ableitung der Funktion gilt: 
Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und Wendepunkte des Graphen von 
(9 BE)
b)
An den Graphen der Funktion wird an der Stelle 
eine Tangente 
gelegt. Die Tangente und die Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck. Bei der Rotation dieses Dreiecks um die 
-Achse entsteht ein Körper.
Berechnen Sie das Volumen dieses Körpers.
Eine weitere Tangente 
an den Graphen der Funktion begrenzt mit den Koordinatenachsen ebenfalls ein Dreieck, das um die -Achse rotiert. Es entsteht ein zweiter Körper.
Ermitteln Sie eine Gleichung für eine Tangente so, dass Höhe und Durchmesser dieses Körpers übereinstimmen.
(5 BE)
c)
Die Punkte 
und 
mit 
sowie der Koordinatenursprung 
sind Eckpunkte des Dreiecks 
Berechnen Sie 
so, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird.
(3 BE)
d)
Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem sich die Graphen der Funktionen und im II. Quadranten schneiden.
Der Graph der Funktion teilt die Fläche, die der Graph der Funktion und die 
-Achse vollständig einschließen, in zwei Teilflächen.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Teilflächen.
(6 BE)
e)
Der Graph der Funktion 
mit
lässt sich im Intervall 
durch einen Graphen einer Funktion 4. Grades annähern.
Bestimmen Sie eine Gleichung für eine solche Funktion.
(3 BE)
f)
Für jede reelle Zahl 
ist eine Funktion 
durch 
gegeben.
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit von an.
(4 BE)