Teil B2
Auf den Dächern findet man häufig Gauben, in die Fenster eingebaut werden. Eine besondere Form ist die Fledermausgaube. Bei dieser Gaubenart sollte das Verhältnis der Höhe der Gaube zur Gaubenbreite zwischen 1:5 und 1:6 liegen.
Die Randlinie einer solchen Gaube kann modellhaft durch eine Funktion
mit 
beschrieben werden.
Dabei sind
und 
die Nullstellen von 
Die Werte von
und 
sind Längen in Meter.
Die Randlinie einer solchen Gaube kann modellhaft durch eine Funktion
Dabei sind
Die Werte von
a)
Zeige, dass der Graph der Funktion symmetrisch zur 
-Achse verläuft.
(1 BE)
b)
Untersuche, ob das angegebene Verhältnis der Höhe der Gaube zur Gaubenbreite durch diese Gleichung eingehalten wird.
(2 BE)
c)
An beiden Enden der Gaube sollte das Gefälle nicht größer als 
sein.
Untersuche, ob diese Bedingung erfüllt ist.
Berechne die Stellen, in denen das Gefälle der Randlinie am größten ist.
In die Gaube soll ein parabelförmiges Fenster mit der Höhe Untersuche, ob diese Bedingung erfüllt ist.
Berechne die Stellen, in denen das Gefälle der Randlinie am größten ist.
(4 BE)
d)
Ein Fenster soll eine Breite von 
haben.
Berechne die Größe dieser Fensterfläche.
Berechne die Größe dieser Fensterfläche.
(3 BE)
e)
In die Gaube kann auch ein anderes parabelförmiges Fenster der Höhe 
eingebaut werden.
Aus bautechnischen Gründen muss der obere Rand dieses Fensters im Modell unterhalb des Graphen der Funktion
mit 
liegen. Dieses Fenster soll maximale Breite haben.
Skizziere diesen Sachverhalt.
Berechne die maximale Breite.
Aus bautechnischen Gründen muss der obere Rand dieses Fensters im Modell unterhalb des Graphen der Funktion
Skizziere diesen Sachverhalt.
Berechne die maximale Breite.
(4 BE)
f)
Für jede positive reelle Zahl 
ist eine Funktion 
gegeben durch 
.
Bestimme die Werte für den Parameter , für das Verhältnis der Höhe der Gaube zur Gaubenbreite zwischen 1:5 und 1:6 eingehalten wird.
(3 BE)
g)
In asiatischen Ländern findet man oft Gauben in Pagodenform. In der Abbildung ist zusätzlich zur Randlinie der Fledermausgaube die Randlinie einer solchen Pagodenform dargestellt. Zur Beschreibung der Randlinie der Pagode werden die Graphen zweier Funktionen 
und 
verwendet.
Erläutere einen Ansatz zum Ermitteln der Funktionsgleichungen.
Gib eine Gleichung für oder an.
Gib eine Gleichung für
(3 BE)
a)
b)
Die Breite der Gaube wird durch den Abstand der beiden Nullstellen von gegeben. Für die Nullstellen folgt aus 
mit dem solve-Befehl des CAS:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1&=&-2 \\[5pt]
x_2&=&2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8e4ccfc6500062e6dc2760706316ea9dfa1bac3de91032b825db063a2af7c1e7?color=5a5a5a)
Die Breite der Gaube beträgt somit ![\(b=x_2-x_1=4\;[\text{m}].\)](https://mathjax.schullv.de/b71005bd392cb5a7ecc1d270c222cbb327beadc64d282ac7dc3ca11b15573c4b?color=5a5a5a)
Mit der graphischen Darstellung von im CAS ergibt sich das Maximum von 
Der -Wert des Maximums, und damit der Wert, welcher die Höhe der Gaube angibt, beträgt somit 
Für das Verhältnis der Höhe zur Breite folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{h}{b}&=& \dfrac{0,75}{4} \\[5pt]
&=& 0,1875
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8a40c6e61c8b9e8183e656de1dda813670780659021a8fea5b980c1b08e5fc01?color=5a5a5a)
Mit 
und 
folgt, dass das Verhältnis der Höhe zu Breite im geforderten Bereich liegt.
Mit der graphischen Darstellung von
c)
Gefälle der Gaube an den Enden untersuchen
Für die erste Ableitung von folgt mit dem CAS:
Da symmetrisch zur -Achse ist und die Nullstellen gleichen Abstand zur -Achse besitzen, reicht es das Gefälle nur bei beispielsweise 
zu bestimmen. Mit dem CAS folgt:
Für den Steigungswinkel liefert der CAS:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan (\alpha)&=&0,1875 \\[5pt]
\alpha&=& \tan^{-1}(0,1875)\\[5pt]
&\approx& 10,62^\circ \lt 12^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0ce806af5d9219b6ce7dd9e7792f7058391ced9ae21cfc67ee42c7466fb6999d?color=5a5a5a)
Die Bedingung ist somit erfüllt.
Stellen mit dem größten Gefälle berechnen
Die Stellen mit dem größten Gefälle entsprechen den Wendestellen des Graphen von Für die zweite und dritte Ableitung von folgt mit dem CAS:
1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden
Der solve-Befehl des CAS liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_3&=&-\dfrac{2}{3} \\[5pt]
x_4&=&\dfrac{2}{3}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2310918365d84b4f919e100ae17ce9753b9272ebcf52c7ef97f8b82f315e868d?color=5a5a5a)
2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen
Einsetzen von 
und 
in 
liefert mit dem CAS:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/8c149b25437969bf6efeda9167ff25be058bde5f9f8f7ee853689fabf9b0bf99?color=5a5a5a)
Die Stellen mit dem größten Gefälle befinden sich somit bei 
und 
d)
Schritt 1: Parabelgleichung bestimmen
Da 
gilt, ist die Parabel symmetrisch zur -Achse. Das gesamte Fenster ist 
breit, somit liegen die Nullsten von 
bei 
und 
Einsetzen von z.B. 
in 
liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p(1)&=&0 \\[5pt]
c\cdot 1^2+0,5&=& 0\scriptsize &\quad \mid\; -0,5 \\[5pt]
c&=& -0,5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f522ba5c5b43e45f8e3756ec341c3b1fe1a46ea5e0fd548a7f85258729e8e65d?color=5a5a5a)
Die Gleichung der Parabel ist somit gegeben durch 
Schritt 2: Flächeninhalt berechnen
Für die Größe 
der Fensterfläche folgt mit dem CAS:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=&\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}p(x)\;\mathrm dx \\[5pt]
&=&\displaystyle\int_{-1}^{1}(-0,5x^2 + 0,5)\;\mathrm dx \\[5pt]
&\approx&0,67\;[\text{m}^2]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/837917f6b8770d620a5ea1bbe2bb0ce4a5245ef7bf4419a515e1aeb1d8aed1a6?color=5a5a5a)
e)
Sachverhalt skizzieren
Für ein Fenster mit maximaler Breite muss der Graph von den Graphen von 
berühren. Es folgt:
Maximale Breite berechnen
Die Graphen von und berühren sich in zwei Punkten, an denen somit 
und 
gilt. Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
Die neue Parabel ist somit gegeben durch 
Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt für die Nullstellen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1&\approx&-1,33 \\[5pt]
x_2&\approx&1,33
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/11040324298e6a6cef8805344109595b9f3d81786f4e3d573b1b086834d6ac6c?color=5a5a5a)
Die maximale Fensterbreite ergibt sich somit durch den Abstand der Nullstellen als ca. 
Lösen des Gleichungssystems mit dem CAS liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
c&\approx&0,28 \\[5pt]
x_{L_1}&\approx&-0,918 \\[5pt]
x_{L_2}&\approx&0,918
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e3c55ca33d79bad925da40e20dea873eaa0e4f05a9d35a56f1b4a75cb71bc850?color=5a5a5a)
f)
Schritt 1: Verhältnis berechnen
Die Höhe und Breite ergibt sich analog zu Aufgabenteil b). Die Funktionen sind wieder symmetrisch zur -Achse und besitzen ihren Hochpunkt bei 
Für die Höhe folgt somit:
Damit ergibt sich für das Verhältnis zwischen Höhe und Breite:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{h}{b}&=&\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{a}}{4\cdot \sqrt{3}} \\[5pt]
&=&\dfrac{\sqrt{3} \sqrt{a}}{16}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a38229948d80f755eef861222ca463ff40b86b0e7954b9482544eaff251bd447?color=5a5a5a)
Schritt 2: Werte für 
bestimmen
Damit das Verhältnis eingehalten wird, muss folgende Ungleichung erfüllt sein:
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:
Das Verhältnis zwischen Höhe und Breite ist damit für alle Werte ![\(a \in \left[\frac{64}{27};\frac{256}{75}\right]\)](https://mathjax.schullv.de/e0c6d5025f72acc20f20c1885d4b00d2bcf7aa40c748a44b8ac1867af1e6acf1?color=5a5a5a)
erfüllt.
Die Breite folgt wieder mit Hilfe der Nullstellen der Funktion. Für 
liefert der solve-Befehl des CAS:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1&=&\dfrac{2\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}} \\[5pt]
x_2&=&-\dfrac{2\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fa9a553f79b9345e315da5d3828b00d97090442bbffbed77954f9e54d5615c46?color=5a5a5a)
Für die Breite folgt somit:
g)
Der Abbildung kann entnommen werden, dass die Graphen der Funktionen und zusammen drei Punkte mit dem der Funktion gemeinsam haben, nämlich die Nullstellen und den Hochpunkt des Graphen von :
Die Verläufe der Graphen von und erinnern jeweils an die Form einer Parabel und kann als eine Spiegelung von an der -Achse aufgefasst werden.
Hinweis: Da in der Aufgabenstellung dazu keine weiteren Angaben gemacht werden, ist es auch möglich, dass die zugrungeliegenden Funktionen keine Parabelfunktionen sind. Ein Ansatz über Exponentialfunktionen ist ebenfalls möglich. Im Folgenden wird die Lösung zum Parabelansatz behandelt.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabelfunktion in der Scheitelpunktform lautet:
Es kann davon ausgegangen werden, dass sich der Scheitelpunkt im Punkt 
befindet. Einsetzen der Koordinaten in 
liefert:
Einsetzen der Koordinaten von 
liefert mit dem solve-Befehl des CAS weiter:
Mögliche Gleichungen für und 
sind somit gegeben durch:
a)
b)
Die Breite der Gaube wird durch den Abstand der beiden Nullstellen von gegeben. Für die Nullstellen folgt aus mit dem solve-Befehl des CAS:
Die Breite der Gaube beträgt somit
Mit der graphischen Darstellung von im CAS ergibt sich das Maximum von
Der -Wert des Maximums, und damit der Wert, welcher die Höhe der Gaube angibt, beträgt somit Für das Verhältnis der Höhe zur Breite folgt:
Mit und folgt, dass das Verhältnis der Höhe zu Breite im geforderten Bereich liegt.
Mit der graphischen Darstellung von
c)
Gefälle der Gaube an den Enden untersuchen
Für die erste Ableitung von folgt mit dem CAS:
Da symmetrisch zur -Achse ist und die Nullstellen gleichen Abstand zur -Achse besitzen, reicht es das Gefälle nur bei beispielsweise zu bestimmen. Mit dem CAS folgt:
Für den Steigungswinkel liefert der CAS:
Die Bedingung ist somit erfüllt.
Stellen mit dem größten Gefälle berechnen
Die Stellen mit dem größten Gefälle entsprechen den Wendestellen des Graphen von Für die zweite und dritte Ableitung von folgt mit dem CAS:
1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden
Der solve-Befehl des CAS liefert:
2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen
Einsetzen von und in liefert mit dem CAS:
Die Stellen mit dem größten Gefälle befinden sich somit bei und
d)
Schritt 1: Parabelgleichung bestimmen
Da gilt, ist die Parabel symmetrisch zur -Achse. Das gesamte Fenster ist breit, somit liegen die Nullsten von bei und Einsetzen von z.B. in liefert:
Die Gleichung der Parabel ist somit gegeben durch
Schritt 2: Flächeninhalt berechnen
Für die Größe der Fensterfläche folgt mit dem CAS:
e)
Sachverhalt skizzieren
Für ein Fenster mit maximaler Breite muss der Graph von den Graphen von berühren. Es folgt:
Maximale Breite berechnen
Die neue Parabel ist somit gegeben durch Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt für die Nullstellen:
Die maximale Fensterbreite ergibt sich somit durch den Abstand der Nullstellen als ca.
Die Graphen von und berühren sich in zwei Punkten, an denen somit und gilt. Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
Lösen des Gleichungssystems mit dem CAS liefert:
f)
Schritt 1: Verhältnis berechnen
Damit ergibt sich für das Verhältnis zwischen Höhe und Breite:
Schritt 2: Werte für bestimmen
Damit das Verhältnis eingehalten wird, muss folgende Ungleichung erfüllt sein:
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:
Das Verhältnis zwischen Höhe und Breite ist damit für alle Werte erfüllt.
Die Höhe und Breite ergibt sich analog zu Aufgabenteil b). Die Funktionen sind wieder symmetrisch zur -Achse und besitzen ihren Hochpunkt bei Für die Höhe folgt somit:
Die Breite folgt wieder mit Hilfe der Nullstellen der Funktion. Für liefert der solve-Befehl des CAS:
Für die Breite folgt somit:
g)
Der Abbildung kann entnommen werden, dass die Graphen der Funktionen und zusammen drei Punkte mit dem der Funktion gemeinsam haben, nämlich die Nullstellen und den Hochpunkt des Graphen von :
Die Verläufe der Graphen von und erinnern jeweils an die Form einer Parabel und kann als eine Spiegelung von an der -Achse aufgefasst werden.
Hinweis: Da in der Aufgabenstellung dazu keine weiteren Angaben gemacht werden, ist es auch möglich, dass die zugrungeliegenden Funktionen keine Parabelfunktionen sind. Ein Ansatz über Exponentialfunktionen ist ebenfalls möglich. Im Folgenden wird die Lösung zum Parabelansatz behandelt.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabelfunktion in der Scheitelpunktform lautet:
Es kann davon ausgegangen werden, dass sich der Scheitelpunkt im Punkt befindet. Einsetzen der Koordinaten in liefert:
Einsetzen der Koordinaten von liefert mit dem solve-Befehl des CAS weiter:
Mögliche Gleichungen für und sind somit gegeben durch: