SchulLV

Dargestellt ist der Graph einer Funktion $f.$
Zeichne je einen Punkt mit der folgenden Eigenschaft in die Darstellung ein:

Im Punkt $A$ ist der Funktionswert von $f$ negativ.
Im Punkt $B$ ist die erste Ableitung von $f$ negativ.
Im Punkt $C$ ist die erste Ableitung von $f$ null.
Im Punkt $D$ ist die erste Ableitung von $f$ am größten.
Im Punkt $E$ ist die zweite Ableitung von $f$ positiv.

thüringen mathe abi 2018 teil a abbildung 1

(5 BE)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+3x^2-2x$ $(x \in \mathbb{R}).$
Die Abbildung zeigt ihren Graphen $G_f$ , der bei $x=1$ den Wendepunkt $W$ hat.

a)

Zeige, dass die Tangente an $G_f$ im Punkt $W$ die Steigung 1 hat.

(2 BE)

b)

Betrachtet werden die Geraden mit positiver Steigung $m$ , die durch $W$ verlaufen.
Gib die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit $G_f$ in Abhängigkeit von $m$ an.

(3 BE)

thüringen mathe abi 2018 teil a abbildung 2

Aus einem Tank fließt Wasser langsam ab. Die Abflussrate kann für eine bestimmte Zeit durch die Funktion $f$ mit $f(t)=-\dfrac{1}{10}t^2+2t+10$ beschrieben werden.

( $t$ : Zeit in Stunden, $f(t)$ : Abflussrate in $\frac{\text{Liter}}{\text{Stunde}}$ )

a)

Gib eine Stammfunktion der Funktion $f$ an und erläutere deren Bedeutung für den gegebenen Sachverhalt.

(2 BE)

b)

Der Mittelwert $m$ einer ganzrationalen Funktion im Intervall $a \leq x \leq b$ kann mit

$m=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm dx$

berechnet werden.
Berechne die mittlere Abflussrate an diesem Tag in den ersten zehn Stunden.

(3 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{4}{x^2}$ $(x\in\mathrm R$ , $x\neq0)$ .
$G_f$ ist symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.

a)

Die Gerade, die parallel zur $x$ -Achse durch den Punkt $P(0\mid p)$ verläuft, schneidet $G_f$ in zwei Punkten. Der Abstand dieser beiden Punkte ist $1.$
Berechne den Wert von $p$ .

(2 BE)

b)

Die Koordinatenachsen schließen mit der Tangente an $G_f$ in einem Punkt $Q(u\mid f(u))$ mit $u\gt 0$ ein gleichschenkliges Dreieck ein.
Berechne die Koordinaten von $Q$ .

(3 BE)

thüringen mathe abi 2018 teil a abbildung 3

In den Abbildungen ist die Gerade $g$ mit $g:\vec{x} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \vec{a}$ ( $r \in \mathbb{R}$ ).

a)

Veranschauliche die folgenden Punkte in den Abbildungen:

$(1) \quad 1\leq r\leq 2\,; \; r\in \mathbb{R}$

thüringen mathe abi 2018 teil a abbildung 4 bis 6

$(2) \quad r\leq 0\,;\; r\in \mathbb{R}$

$(3) \quad r\in \mathbb{N}$

(3 BE)

Für $r=2$ erhält man den Ortsvektor des Punktes $B.$

b)

Ein Punkt $P$ teilt die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis 1:3.
Gib den zu $P$ gehörenden Wert des Parameters $r$ an.

(1 BE)

c)

$B‘$ ist das Bild von $B$ bei Spiegelung an $A$ .
Gib den zu $B‘$ gehörenden Wert des Parameters $r$ an.

(1 BE)

Der Punkt $P(0\mid1\mid5)$ ist Eckpunkt eines Quadrats. Orthogonal zu der Ebene, in der dieses Quadrat liegt, verläuft die Gerade $g:\vec{x}=\pmatrix{5\\4\\1}+t\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$ mit $t\in\mathrm{R}$ .

a)

Begründe, dass das Quadrat in der $yz$ -Ebene liegt.

(2 BE)

b)

Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrats liegt auf der Gerade $g$ , der Punkt $Q(0\mid8\mid4)$ in der $yz$ -Ebene.
Zeige, dass $Q$ einer der beiden Eckpunkte des Quadrats ist, die dem Eckpunkt $P$ benachbart sind.

(3 BE)

a)

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$ . Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.