Teil C1

Ein Logistikunternehmen testet auf einer Strecke zwischen Festland und einer Insel die Paketzustellung mithilfe eines Flugkörpers, einer sogenannten Drohne. In einem kartesischen Koordinatensystem wird das horizontale Gelände, über dem sich die Drohne bewegt, modellhaft durch die $xy$ -Ebene dargestellt, die Lage des Startplatzes durch den Punkt $S(7320\mid -1750\mid 0)$ und die Lage des regulären Landeplatzes durch den Punkt $L(-990\mid 6990 \mid 0)$ .
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Die Drohne soll über dem Startplatz zunächst vertikal aufsteigen, bis sie eine Höhe von $50\,\text{m}$ erreicht hat, und anschließend geradlinig in konstanter Höhe und mit konstanter Geschwindigkeit in die Richtung des Landeplatzes fliegen.

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Begründe, dass die vorgesehene horizontale Flugbahn der Drohne im Modell entlang der Gerade

$g:\overrightarrow{x}$ $=\pmatrix{7320\\-1750\\50}+r\cdot\pmatrix{-8310\\8740\\0}$

mit $r\in \mathbb{R}$ verläuft.

(2 BE)

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$100$ Sekunden, nachdem die Drohne die Höhe von $50\,\text{m}$ erreicht hat, wird ihre Position durch den Punkt $P(6489\mid -876\mid 50)$ dargestellt.

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Zeige, dass sich die Drohne auf der vorgesehenen Flugbahn befindet. Bestimme die Koordinaten des Punkts, der die Position der Drohne nach weiteren $200$ Sekunden Flugzeit auf der vorgesehenen Flugbahn darstellt.

(3 BE)

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Bestimme die Geschwindigkeit der Drohne während des horizontalen Flugs.

(2 BE)

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Die Drohne soll ihren Weg zum Landeplatz selbständig zurücklegen können. Während der Testphase wird ihr Flug von einer Bodenstation aus überwacht und die Flugbahn bei Bedarf korrigiert. Die Position der Bodenstation wird durch den Punkt $B(0\mid 0\mid 0)$ dargestellt, ihre Reichweite beträgt $6000\,\text{m}.$

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Weise nach, dass sich die Drohne auf dem horizontalen Teil der vorgesehenen Flugbahn über eine Strecke von mehr als $8,5\,\text{km}$ innerhalb der Reichweite der Bodenstation befindet.

(5 BE)

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Einer Korrektur der Bodenstation folgend, weicht die Drohne im Modell im Punkt $Q(3996\mid 1746\mid 50)$ von der vorgesehenen Flugbahn ab und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $5\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$ geradlinig auf einen Ausweichlandplatz zu, der durch den Punkt $A(4050\mid 1810\mid 0)$ dargestellt wird.

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Bestimme die Größe des Neigungswinkels der Flugbahn gegenüber dem Gelände beim Anflug auf den Ausweichlandeplatz.

(3 BE)

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Berechne, um wie viele Meter sich die Flughöhe pro Sekunde verringert.

(3 BE)

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Nach der Landung auf dem Ausweichplatz steuert die Drohne eine Position an, die sich in einer Höhe von $50\,\text m$ befindet und vom Startplatz, vom regulären Landeplatz und der Bodenstation gleich weit entfernt ist. Diese Position wird durch den Punkt $R$ beschrieben.

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Die Ebene $E$ enthält alle Punkt, die von $S$ und $L$ den gleichen Abstand haben.
Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(3 BE)

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Übernimm die Darstellung und stelle die Ebene $E$ dar.
Beschreibe ein Verfahren, mit dem unter Verwendung der Abbildung die Koordinaten von $R$ ermittelt werden könnten.
Veranschauliche das Verfahren in deiner Darstellung.

thüringen mathe abi 2019 teil c1 abbildung 1

(4 BE)

An einem Kiosk kann man Rubbellose kaufen. Ein Los besteht aus insgesamt $16$ Feldern. Auf jedem Feld steht genau eine Zahl. Auf acht Feldern steht $0$ , auf vier Feldern $1$ und auf den restlichen vier Feldern steht die Zahl $5$ . Die Zahlen sind zufällig auf die Felder verteilt und werden erst nach dem Freirubbeln sichtbar. Der Käufer eines Loses darf genau zwei Felder freirubbeln (siehe Abbildung). Der Auszahlungsbetrag in Euro ergibt sich aus dem Produkt der beiden sichtbaren Zahlen.

thüringen mathe abi 2019 teil c1 abbildung 2 rubbellos

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Eine Frau kauft ein Rubellos und rubbelt genau zwei Felder frei.
Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
$A:$ = „Die Frau rubbelt zuerst ein Feld frei, das keine $0$ anzeigt.“
$B:$ = „Der Frau werden $25\;€$ ausgezahlt.“

(2 BE)

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Ein Mann kauft $20$ Lose.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
$C:$ = „Der Mann erhält genau einmal $25\;€$ .“
$D:$ = „Der Mann erhält mindestens fünfmal $25\;€$ .“

(4 BE)

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Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Kunde beim Kauf eines Rubbelloses mindestens einen Betrag von $5\;€$ ausgezahlt bekommt, $\dfrac{11}{60}$ beträgt.
Bestimme die Anzahl der Lose, die er mindestens kaufen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\;\%$ mindestens einmal einen Betrag von mindestens $5\;€$ ausgezahlt zu bekommen.

(5 BE)

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Der Kioskbesitzer behauptet, dass $10\;\%$ seiner Kunden Loskäufer sind. Ein Schüler, der als Aushilfe im Kiosk arbeitet, bezweifelt die Aussage des Kioskbesitzers. Mithilfe eines zweiseitigen Signifikanztest vom Umfang $n=250$ und einem Signifikanzniveau von $5\;\%$ will er die Hypothese $(H_0:p_0=0,1)$ testen.
Ermittle den Verwerfungsbereich des Tests.
Unter den nächsten $250$ Kunden zählt er $17$ Losverkäufer.
Beurteile anhand deines Ergebnisses die Zweifel des Schülers.

(4 BE)

Da die Drohne zunächst $50\;\text{m}$ vertikal aufsteigt bevor sie losfliegt, muss die $z$ -Koordinate des Stützvektors der Flugbahn um $50$ größer als die des Startpunkts $S(7320\mid -1750\mid 0)$ sein. Da die Drohne in konstanter Höhe fliegt, muss zudem die $z$ -Koordinate des Richtungsvektors Null sein. Für die Flugrichtung der Drohne ergibt sich somit der Vektor $\overrightarrow{SL}$ mit $z$ -Koordinate $z=0:$

$\overrightarrow{SL} = \pmatrix{-8310 \\ 8740 \\ 0}$

Zusammen mit den oben begründeten Koordinaten $S_1(7320\mid -1750\mid 50)$ des Stützvektors folgt für die Gleichung der Geraden, die die Flugbahn beschreibt:

$g:\overrightarrow{x}$ $= \pmatrix{7320\\ -1750\\50} + r\cdot \pmatrix{-8310 \\ 8740\\ 0}$

Position der Drohne auf der Flugbahn zeigen

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{-831 \\ 874 \\ 0} = r \cdot \pmatrix{-8310\\8740\\ 0}$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -831 &=& -8310 r \\ \text{II}\quad&874 &=& 8740r \\ \text{III}\quad&0&=& 0r \\ \end{array}$

Lösen des Gleichungssystems mit dem CAS liefert:

$r=0,1$

Der Punkt $P(6489\mid -876\mid 50)$ liegt somit auf der Geraden $g,$ das heißt die Drohne befindet sich auf der vorgesehenen Flugbahn.

Koordinaten der neuen Position bestimmen

Da die Drohe mit konstanter Geschwindigkeit fliegt und sich $100$ Sekunden nachdem Start auf der Position $P,$ die durch einsetzen von $r=0,1$ in die Gerade $g$ erhalten wird, befindet, liefert Einsetzen von $r=0,3$ für die Position der Drohne nach weiteren $200$ Sekunden:

$\overrightarrow{OP_1}$ $=\pmatrix{7320\\-1750 \\50} +0,3 \cdot \pmatrix{-8310\\8740\\ 0}$ $= \pmatrix{4827\\ 872 \\50}$

Nach weiteren $200$ Sekunden Flugzeit wird die Position der Drohne somit durch den Punkt mit den Koordinaten $P_1(4827\mid 872 \mid 50)$ beschrieben.

Die Strecke, die die Drohne in $100$ Sekunden zurücklegt, wird zum Beispiel durch die Länge des Vektors $\overrightarrow{S_1P}$ beschrieben. Mit dem norm-Befehl des CAS folgt:

$\left\vert\overrightarrow{S_1P} \right\vert \approx 1206,00\;[\text{m}]$

Somit bewegt sich die Drohe während des horizontalen Flugs mit einer Geschwindigkeit von ca. $\frac{1206}{100}$ $= 12\;\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right].$

Während des horizontalen Fluges wird die Position der Drohne durch die Punkte der Geraden $g$ beschrieben. Diese Punkte haben die folgende allgemeine Form:

$\overrightarrow{OP_r} = \pmatrix{7320 - 8310r \\ -1750 +8740r \\ 50}$

Gesucht ist nun der Bereich, in dem sich $P_r$ befinden kann, sodass der Punkt von $B$ einen Abstand von höchstens $6000$ besitzt, das heißt $\left|\overrightarrow{BP_r} \right| \leq 6000$ gilt. Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt für $r:$

$0,1601\leq r \leq 0,8867.$

Einsetzen der Grenzwerte $r_2=0,1601$ und $r_3=0,8867$ liefert die Positionen mit den Koordinaten $P_2(5989,569 \mid -350,726 \mid 50)$ und $P_3(-48,477 \mid 5999,758 \mid 50).$

Für die Länge der Strecke zwischen diesen beiden Positionen folgt mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{P_2P_3} \right\vert&=& \left\vert\pmatrix{-6038,046 \\ 6350,484 \\ 0} \right\vert \\[5pt] &\approx& 8763 \; [\text{m}] \end{array}$

Auf einer Strecke von ca. $8763 \;\text{m}=8,763\;\text{km},$ das heißt mehr als $8,5\;\text{km},$ befindet sich die Drohne in Reichweite der Bodenstation.

Die abgeänderte Flugbahn wird durch die Gerade mit der folgenden Gleichung beschrieben:

$\begin{array}[t]{rll} h:\overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OQ} + r\cdot \overrightarrow{QA} \\[5pt] &=& \pmatrix{3996\\ 1746 \\ 50} + s\cdot \pmatrix{54 \\ 64 \\ -50} \end{array}$

Der Neigungswinkel der abgeänderten Flugbahn gegenüber dem Gelände entspricht dem Schnittwinkel der Geraden $h$ mit der $xy$ -Ebene.
Ein Normalenvektor dieser Ebene ist $\overrightarrow{n_{xy}} = \pmatrix{0\\0\\1}.$
Somit folgt:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 30,8^{\circ}$

Der Neigungswinkel der abgeänderten Flugbahn gegenüber dem Gelände beträgt ca. $30,8^{\circ}.$

Vom Punkt $Q$ zum Punkt $A$ verringert die Drohne ihre Höhe um $50\;\text{m}.$ Dabei legt die Drohne folgende Strecke zurück:

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{QA} \right|&=& \left| \pmatrix{54\\64 \\-50} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{9512} \end{array}$

Mit Hilfe der Geschwindigkeit der Drohne von $5\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$ folgt für die Zeit die sie dafür benötigt:

$\dfrac{\sqrt{9512}}{5}\;\text{s}$

Die Verringerung der Höhe pro Sekunde ergibt sich somit wie folgt:

$\dfrac{50}{\frac{\sqrt{9512}}{5}} \approx 2,56\;\left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right]$

Pro Sekunde verringert sich die Flughöhe der Drohne somit um ca. $2,56\;\text{m}.$

Die Ebene $E$ muss senkrecht zur Strecke $\overline{SL}$ verlaufen und deren Mittelpunkt enthalten, damit alle Punkte mit gleichem Abstand zu $L$ und $S$ enthalten sind. Ein möglicher Normalenvektor von $E$ ist somit:

$\overrightarrow{SL} = \pmatrix{-8310 \\ 8740\\0}$

Für die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{SL}$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{OM}_{\overline{SL}} = \pmatrix{3165\\2620\\0}$

Einsetzen der Koordinaten von $M_{\overline{SL}}$ in $E:-8310 x +8740 y +0z = d$ liefert für $d:$

$d = -8310 \cdot 3165 +8740 \cdot 2620$ $= -3.402.350$

Eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform lautet somit:

$E: -8310 x +8740 y$ $= -3.402.350$

Ebene darstellen

Verfahren beschreiben

Analog zur Ebene $E$ gibt es eine Ebene $H,$ in der alle Punkte liegen, die von $B$ und $S$ gleichweit entfernt sind. Diese Ebene kann in der Abbildung ebenfalls durch eine Gerade dargestellt werden, die analog zum Vorgehen bei $E$ die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{BS}$ ist.
Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Gerade, auf der dann alle Punkte liegen, welche gleichweit von $L, S$ und $B$ entfernt sind. Da diese senkrecht zur $xy$ -Ebene steht, wird sie in der Abbildung durch einen Punkt $T$ dargestellt.
Der Punkt $R$ liegt auf dieser Geraden, besitzt also die gleichen $x$ - und $y$ -Koordinaten wie $T,$ und seine $z$ -Koordinate beträgt $50.$

Verfahren veranschaulichen

$P(A) = \dfrac{8}{16} = 0,5$

$25\,€$ Auszahlung sind nur möglich, wenn beide Male eine $5$ freirubbelt wird. Da insgesamt $4$ Felder mit einer $5$ versehen sind, folgt:

$P(B) = \dfrac{4}{16} \cdot \dfrac{3}{15} = 0,05$

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt wie oft der Mann $25\,€$ ausgezahlt bekommt und ist binomialverteilt mit den Parametern $p=0,05$ und $n=20.$ Mit dem CAS folgt:

$P(C) = B_{20;0,05}(X=1)$ $= B_{20;0,05}(X\leq 1)-B_{20;0,05}(X\leq 0)$ $\approx 0,3774 = 37,74\,\%$

$P(D) = B_{20;0,05}(X\geq5)$ $= 1-B_{20;0,05}(X\leq 4)$ $\approx 0,0026 = 0,26\,\%$

Wahrscheinlichkeit nachweisen

Eine Auszahlung von mindestens $5\,€$ kommt genau dann zustande, wenn entweder eine $1$ und eine $5$ in beliebiger Reihenfolge, oder eine $5$ und eine $5,$ freigerubbelt werden. Mit den Pfadregeln folgt:

$P(„\text{min. }5\,€“)$ $= \dfrac{4}{16}\cdot \dfrac{4}{15}$ $+ \dfrac{4}{16}\cdot \dfrac{4}{15}$ $+ \dfrac{4}{16}\cdot \dfrac{3}{15}$ $= \dfrac{11}{60}$

Anzahl der Lose bestimmen

Die Zufallsgröße $Y_n$ beschreibt unter $n$ Losen die Anzahl der Lose bei denen mehr als $5\,€$ ausgezahlt werden und ist binomialverteilt mit $p = \frac{11}{60}$ und unbekanntem $n.$ Es folgt:

Rechenweg anzeigen

$\left(\dfrac{49}{60} \right)^n leq 0,05$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt für $n:$

$n\geq 14,8$

Der Kunde muss somit mindestens $15$ Lose kaufen um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens einmal mindestens $5\,€$ ausgezahlt zu bekommen.

Verwerfungsbereich des Tests ermitteln

Der Verwerfungsbereich eines zweiseitiger Signifikanztest mit einer Stichprobe von $250$ Kunden hat folgende Form:

$V = \{0,...,k_1\} \cup \{k_1,...,250 \}$

Die Zufallsgröße $T$ gibt die die Anzahl der Kunden an, die ein Los kaufen und ist binomialverteilt mit $n=250$ und laut Nullhypothese $p = 0,1.$ Mit dem Signifikanzniveau $\alpha = 0,05 = 5\,\%$ folgt mit Hilfe des CAS durch systematisches Ausprobieren:

$B_{250;0,1}(T \leq 15) \approx 0,0175$ $= 1,75\,\% \lt \dfrac{\alpha}{2}$

$B_{250;0,1}(T \leq 16) \approx 0,0309$ $= 3,09\,\% \gt \dfrac{\alpha}{2}$

$B_{250;0,1}(T \geq 35)$ $= 1-B_{250;0,1}(T \leq 34)$ $\approx 0,0267 = 2,67\,\% \gt \dfrac{\alpha}{2}$

$B_{250;0,1}(T \geq 36)$ $= 1-B_{250;0,1}(T \leq 35)$ $\approx 0,0169 = 1,69\,\% \lt \dfrac{\alpha}{2}$

Somit folgt $k_1 = 15$ und $k_2=36,$ das heißt der Verwerfungsbereich lautet $V = \{0,...,15\} \cup \{36,...,250\}.$

Zweifel des Schülers beurteilen

Die Anzahl der Loskäufer liegt nicht im Verwerfungsbereich $V.$ Die Nullhypothese, dass $10\,\%$ der Kunden Loskäufer sind, kann damit nicht widerlegt werden, das heißt die Zweifel des Schülers werden von dieser Stichprobe nicht untermauert.