Teil C1

Gegeben sind die Punkte $A(6 \mid 6 \mid 3),$ $B(3 \mid 6 \mid 6)$ und $C(6 \mid 3 \mid 6)$ .

Weise nach, dass das Dreieck $ABC$ ein gleichseitiges Dreieck ist.

(3 BE)

Die Punkte $A,$ $B$ und $C$ liegen in einer Ebene $\epsilon$ .
Beschreibe eine Vorgehensweise zur Ermittlung einer Koordinatengleichung von $\epsilon$ .

Ein Normalenvektor von $\epsilon$ ist $\overrightarrow{n}=\pmatrix{1\\1\\1}$ .

Gib eine Koordinatengleichung von $\epsilon$ an.

(4 BE)

Berechne die Größe des Neigungswinkels des Dreiecks $ABC$ zur $xy$ -Ebene.

(3 BE)

Auf der Geraden $h$ mit $\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\0}+r\cdot\pmatrix{1\\1\\1} \quad\quad(r\in\mathbb{R})$

gibt es einen Punkt $P$ , der vom Koordinatenursprung $O$ und vom Punkt $A$ den gleichen Abstand hat.

Berechne die Koordinate von $P.$

(3 BE)

Gemeinsam mit dem Koordinatenursprung $O$ bilden die Punkte $A,$ $B$ und $C$ eine dreiseitige Pyramide $ABCO.$

Berechne das Volumen dieser Pyramide.

(3 BE)

Stelle diese Pyramide in einem Koordinatensystem dar. Veranschauliche verdeckte Körperkanten.
Zeichne in die Darstellung die senkrechte Projektion der Pyramide in die $xy$ -Ebene ein.

(4 BE)

Eine Ebene $\eta$ soll die Pyramide in zwei volumengleiche Teilkörper zerlegen.

Veranschauliche im Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1 f) die Schnittfläche einer solchen Ebene mit der Pyramide.

Begründe, dass die von dir gewählte Ebene die Bedingung erfüllt.
Gib eine Gleichung für $\eta$ an.

(5 BE)

An einem Montag wurden die Schüler eines Gymnasiums befragt, auf welche Art sie die Schule erreichten:

motorisierter Individualverkehr: 35 %
Fußgänger: 35 %
ÖPNV: 15 %
Fahrrad: 15 %

Die relativen Häufigkeiten werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

A: = „Unter 20 befragten Schülern kamen höchstens 5 mit dem Fahrrad.“
B: = „Von 100 befragten Schülern nutzten mindestens 20 den ÖPNV.“
C: = „Unter 80 befragten Schülern waren mindestens 20 und höchstens 30 Fußgänger.“

Gib drei Bedingungen an, unter denen zur Berechnung für die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse das Modell der Binomialverteilung angenommen werden kann.

(3 BE)

Zur Auswertung der Befragung wird das Modell der Binomialverteilung angewendet.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A,$ $B$ und $C$ .

(6 BE)

Beschreibe in diesem Sachzusammenhang ein Ereignis $D$ , dessen Wahrscheinlichkeit durch

Formel anzeigen

berechnet werden kann.

(3 BE)

Schüler eines anderen Gymnasiums wollen überprüfen, ob an ihrer Schule auch 15 % der Schüler mit dem Fahrrad zur Schule kommen.
Dazu befragen sie 100 Schüler.

Berechne für $p=0,15$ das Prognoseintervall, in dem die Anzahl der Radfahrer mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 % liegt.

(3 BE)

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$\overrightarrow{AB}$ $= \left\vert\pmatrix{-3\\0\\3}\right\vert$ $= \sqrt{18}$

$\overrightarrow{BC}$ $= \left\vert\pmatrix{3\\-3\\0}\right\vert$ $= \sqrt{18}$

$\overrightarrow{CA}$ $= \left\vert\pmatrix{0\\3\\-3}\right\vert$ $= \sqrt{18}$

Das Dreieck ist somit gleichseitig.

Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ liefert einen Normalenvektor $\overrightarrow{n} =$ $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ der Ebene.
Nun wird mit den Einträgen des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ und die Koordinatenform aufgestellt: $n_1x + n_2y +n_3z = d.$ Einsetzen eines Punktes der Ebene liefert den Wert von $d.$

Einsetzen des Koordinaten des Punktes $A$ ergibt mit $\overrightarrow{n}=\pmatrix{1\\1\\1}:$

$d=6+6+3=15$

Für die Ebenengleichung folgt:

$\varepsilon: x + y + z = 15$

Ein Normalenvektor der $xy-$ Ebene lautet $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{0\\0\\1}$ . Mit dem gegebenen Normalenvektor $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{1\\1\\1}$ der Ebene $\varepsilon$ folgt:

$\cos(\alpha)$ $= \dfrac{ \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2}{ \vert\overrightarrow{n}_1\vert \cdot \vert\overrightarrow{n}_2\vert}$ $= \dfrac{\pmatrix{1\\1\\1} \circ \pmatrix{0\\0\\1}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2}}$ $= \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$\alpha$ $= \cos^{-1} \left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)$ $\approx 54,7^\circ$

Die Koordinaten des Punktes $P$ haben die Form $P(r \mid r \mid r).$ Somit folgt:

$\vert\overrightarrow{OP}\vert = \sqrt{ r^2 + r^2 + r^2 }$

$\vert\overrightarrow{AP}\vert$ $= \sqrt{ (r-6)^2 + (r-6)^2 + (r-3)^2 }$

Gleichsetzen liefert:

$\vert \overrightarrow{OP} \vert=\vert \overrightarrow{AP} \vert$

$\sqrt{ r^2 + r^2 + r^2}$ $= \sqrt{ (r-6)^2 + (r-6)^2 + (r-3)^2}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt nun:

$r = \dfrac{27}{10}$

Somit gilt $P \left( \dfrac{27}{10} \; \biggr\rvert \; \dfrac{27}{10} \; \biggr\rvert \; \dfrac{27}{10} \right).$

$\overrightarrow{AO} = \pmatrix{-6\\-6\\-3}$ , $\; \; \overrightarrow{AB} = \pmatrix{-3\\0\\3}$ , $\; \; \overrightarrow{AC} = \pmatrix{0\\-3\\3}$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$V=22,5\;\text{VE}$

Grafik mit Punkten und Linien im Raum, die ein geometrisches Konzept darstellen. Achsen x, y, z sind sichtbar.

Abb.: Pyramide mit Projektion auf die xy-Ebene

Aus der Skizze geht hervor, dass wenn $A$ als Stützpunkt der Ebene gewählt wird und $\overrightarrow{AO}$ und $\overrightarrow{AM}$ mit $\overrightarrow{OM}$ $= \overrightarrow{OC} + 0,5 \cdot \overrightarrow{CB}$ $= \pmatrix{4,5\\4,5\\6}$ als Spannvektoren gewählt werden, die resultierende Ebene die Pyramide, aufgrund der Gleichseitigkeit des Dreiecks $ABC,$ mittig zerteilt.

Eine mögliche Parametergleichung ergibt sich somit wie folgt: