Teil B

Für jede positive Zahl $a$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben durch $f_a(x)=x^2\cdot \text e^{-a\cdot x}$ mit $x\in\mathbb{R}$ .
Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Berechne denjenigen Wert von $a$ , für den der Punkt $U\left(1\mid \dfrac{1}{2}\right)$ auf $G_a$ liegt.

(2 BE)

Bestimme die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von $G_a$ in Abhängigkeit von $a.$ Begründe, dass der Hochpunkt für jeden Wert von $a$ im ersten Quadranten liegt.
(zur Kontrolle: Extremstellen von $f_a:\; x_1=0;\;x_2=\frac{2}{a}$ )

(6 BE)

Für jede positive reelle Zahl $b$ sind die Punkte $A(0\mid 0)$ und $B(b\mid 0)$ sowie der Punkt $C$ gegeben, der die $x$ -Koordinate $b$ hat und auf dem Graphen $G_{\frac{1}{5}}$ liegt.
Bestimme denjenigen Wert von $b$ , für den der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ maximal ist, und gib den zugehörigen Flächeninhalt an.

(5 BE)

Der Graph $G_{\frac{1}{5}},$ die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=p$ $( p\in\mathbb{R}; p\gt 0)$ schließen ein Flächenstück ein.

Berechne die Größe dieses Flächenstücks.
Zeige, dass der Inhalt des Flächenstücks auch für beliebig große Werte von $p$ kleiner als $250$ ist.

(4 BE)

Die Abbildung zeigt schematisch einen Längsschnitt eines Schiffs, dessen Deck horizontal liegt.

thüringen mathe abi 2017 teil b abbildung 1 längsschnitt eines schiff dessen deck horizontal liegt

Bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen Ursprung an der Bugspitze liegt und dessen $x$ -Achse entlang der Decklinie verläuft, beschreibt die Funktion $k(x)=-\dfrac{3}{10} x^2\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5}x}$ für $0\leq x\leq20$ $(x\in\mathbb{R})$ modellhaft die abgebildete Kiellinie. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

Für $x\in \mathbb{R}$ gilt $k(x)=-\dfrac{3}{10}\cdot f_{\frac{1}{5}}(x).$
Beschreibe, wie der Graph von $k$ aus dem Graphen von $f_{\frac{1}{5}}$ hervorgeht.

(2 BE)

Berechne die Höhendifferenz in Meter zwischen dem tiefsten Punkt des Kiels und dem Endpunkt des Kiels am Heck.

(4 BE)

Der Kiel hat in einem Punkt seinen größten Neigungswinkel gegen die Horizontale.
Bestimme die Größe dieses Neigungswinkels.

(4 BE)

Der horizontal liegende Boden der Kajüte befindet sich $2,20\,\text{m}$ unterhalb des Decks.
Berechne die Länge des Bodens in Metern in Längsrichtung des Schiffs.

(4 BE)

Der Boden des Stauraums unterhalb der Kajüte hat in Längsrichtung des Schiffs eine Länge von $6\;\text{m}.$
Ermittle rechnerisch in Metern, wie weit der Boden des Stauraums unterhalb des Bodens der Kajüte liegt.

(5 BE)

Der Punkt $B$ stellt die Bugspitze, der Punkt $E$ den Endpunkt des Kiels am Heck dar. Ein Näherungswert für die Länge der Kiellinie kann im Modell durch einen Streckenzug von $B$ zu $E$ über zwei weitere Punkte, die auf dem Graphen von $k$ liegen, bestimmt werden.
Formuliere eine allgemeine Aussage zur Länge der Kiellinie im Vergleich zum Näherungswert, ohne diese zu bestimmen. Begründe diese Aussage.
Ist ein Kurvenstück Graph einer in $[a;b]$ mit $a,b\in\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit erster Ableitungsfunktion $\( h$ so gilt für die Länge $s$ dieses Kurvenstücks:

$\(s = \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(h$

Berechne damit die Länge der Kiellinie.

(4 BE)

Einsetzen von $U(1\mid\frac{1}{2})$ in die Funktionsgleichung von $f_a$ liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

$a\approx0,69$

Für $a\approx0,69$ liegt der Punkt $U$ auf $G_a$ .

Koordinaten und Art der Extrempunkte bestimmen

Zweimaliges Ableiten von $f_a$ im CAS liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(f_a$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& \dfrac{2}{a}\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

Einsetzen von $x_1=0$ und $x_2=\frac{2}{a}$ in $\(f_a$ liefert:

$\( \begin{array}[t]{rll} f_a$

An der Stelle $x=0$ besitzt $f_a$ somit ein lokales Minimum, an der Stelle $x=\dfrac{2}{a}$ ein lokales Maximum. Für die zugehörigen Funktionswerte folgt mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(0\right)&=& 0 \\[5pt] f_a\left(\dfrac{2}{a}\right)&=& \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \\[5pt] \end{array}$

Screenshot eines mathematischen Dokuments mit Berechnungen und Gleichungen in einer Software.

Der Graph von $f_a$ besitzt damit für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H_a\left(\frac{2}{a}\mid \frac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \right)$ und einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid 0).$

Lage des Hochpunkts begründen

Die Koordinaten des Hochpunkts sind für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ durch $G_a\left(\dfrac{2}{a}\mid \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \right)$ gegeben. Da $a\in \mathbb{R}^+$ gilt, folgt $\frac{2}{a} \gt 0.$ Da die $\mathrm e$ -Funktion stets größer Null ist, folgt auch $\frac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \gt 0.$
Da sowohl die $x$ - als auch die $y$ -Koordinate von $G_a$ für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ positiv sind, liegt der Hochpunkt für jeden Wert von $a$ im ersten Quadranten.

1. Schritt: Funktion aufstellen

Die Grundseite des Rechtecks lässt sich über die $x$ -Koordinate, die Höhe über den Funktionswert $f_\frac{1}{5}(b)$ berechnen. Der Flächeninhalt wird somit durch folgende Funktion beschrieben:

$\begin{array}[t]{rll} A(b)&=& b\cdot f_{\frac{1}{5}}(b)\cdot 0,5 \\[5pt] &=&b^3\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}\cdot b}\cdot 0,5 \end{array}$

Für die ersten beiden Ableitungen folgt mit dem CAS:

$\(A$ $=\left(\dfrac{3 \cdot b^2}{2}-\dfrac{b^3}{10}\right) \cdot \mathrm e^{-\frac{b}{5}}$

$\(A$ $= \dfrac{b \cdot\left(b^2-30 \cdot b+150\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{b}{5}}}{50}$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden:

$\(A$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} b_1&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] b_2&=&15 \end{array}$

3. Schritt Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen:

$\( A$

Das Maximum des Flächeninhaltes wird also bei $b_2=15$ angenommen.

4. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Einsetzen von $b_2=15$ in $A(b)$ liefert:

$A=15^3\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}\cdot 15}\cdot 0,5\approx 84\;[\text{FE}]$

Der maximale Flächeninhalt beträgt somit ca. $84\;\text{FE}.$

Größe des Flächenstücks berechnen

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $x=0$ als Nullstelle von $f_{\frac{1}{5}}(x).$ Der gesuchte Flächeninhalt kann also mit dem CAS über ein Integral mit den Grenzen $0$ und $p$ berechnet werden:

Rechenweg anzeigen

$A_p$ $= -\mathrm e^{-\frac{p}{5}}\cdot(5p^2+50p +250)$ $+250$

Mathematische Gleichung und Integralberechnung auf einem digitalen Dokument.

Begrenzung des Flächeninhalts zeigen

Der erste Summand des Terms für den Inhalt des Flächenstücks ist negativ, da der Inhalt der Klammer, eine Summe von positiven Ausdrücken, mit $-\mathrm e^{-\frac{p}{5}}$ multipliziert wird, was kleiner Null ist, da die $\mathrm e$ -Funktion stets größer Null ist. Von $250$ wird also für jedes $p\in \mathbb{R}^+$ etwas abgezogen, das heißt der Wert des Terms und damit der Inhalt des Flächenstücks ist immer kleiner als $250.$

Der Funktionsterm von $k$ entsteht durch Multiplikation des Funktionsterms von $f_{\frac{1}{5}}$ mit dem Faktor $-\frac{3}{10}.$
Durch das negative Vorzeichen geht der Graph von $k$ also aus dem Graphen von $f_{\frac{1}{5}}$ durch Spiegelung an der $x$ -Achse und Stauchung um den Faktor $\frac{3}{10}$ in $y$ -Richtung hervor.

Nach Aufgabenteil a) ergibt sich die Minimalstelle von $k(x)$ aus der Maximalstelle von $f_{\frac{1}{5}}.$ Die gesuchte Höhendifferenz ergibt sich aus der Differenz der Funktionswerte an der Minimalstelle und an der Stelle $x=20,$ das heißt es gilt $d=k(20)-k(10).$ Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} k(10)&=& -\dfrac{3}{10}\cdot f_\frac{5}{10}(10) \\[5pt] &=& -30\mathrm e^{-2} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} k(20)&=&-\dfrac{3}{10}\cdot f_\frac{5}{10}(20) \\[5pt] &=& -120\mathrm e^{-4} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} d&=&-120\mathrm e^{-4} -\left(-30\mathrm e^{-2} \right) \\[5pt] &\approx& 1,86 \end{array}$

Die Höhendifferenz zwischen dem tiefsten Punkt des Kiels und dem Endpunkt des Kiels am Heck beträgt somit ca. $1,86\;\text{m}.$

1. Schritt: Stelle bestimmen

Die ersten beiden Ableitungen von $k$ ergeben sich aus denen von $f_a$ durch Multiplikation mit dem Faktor $-\frac{3}{10}.$ Für die dritte Ableitung folgt mit dem CAS:

$\(k$ $= \left(\dfrac{3}{1250} x^2-\dfrac{9}{125} x+\dfrac{9}{25}\right)$ $\cdot \mathrm e^{-\frac{x}{5}}$

Die Stellen mit der steilsten Steigung des Graphen von $k,$ sind die Extremstellen von $\(k$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\(k$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -5\cdot \sqrt{2}+10 \\[5pt] x_2&=& 5\cdot \sqrt{2}+10 \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen

$\(k$

An beiden Stellen besitzt der Graph von $\(k$ also einen Extrempunkt. Für die Steigung des Graphen von $k$ an diesen Stellen folgt:

$\( \begin{array}[t]{rll} k$

Die betragsmäßig größte Steigung des Graphen beträgt somit $\(k$

4. Schritt: Größe des Winkels berechnen

Mit dem CAS folgt:

$\( \begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=& k$

Der betragsmäßig größte Neigungswinkels des Kiels gegenüber der Horizontalen beträgt ca. $34,61^{\circ}.$

Die Länge des Bodens ergibt sich aus der Differenz der Schnittstellen der Gerade $g(x)=-2,2$ mit dem Graphen von $k.$ Mit dem solve-Befehl des CAS liefert $g(x)=k(x)$ innerhalb des betrachteten Bereichs:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx&4,07 \\[5pt] x_2&\approx&19,99 \end{array}$

Der Boden ist in Längsrichtung somit ca. $19,99 - 4,07$ $= 15,9\;[\text{m}]$ lang.

Es wird der Funktionswert an der Stelle $x$ gesucht, an der $k(x)=k(x+6)$ gilt. Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$x\approx 7,3.$

Einsetzen in $k(x)$ liefert $k(7,3)\approx -3,7.$ Da die Kajüte $2,2\;\text{m}$ unterhalb des Decks liegt, ergibt sich für die Entfernung des Bodens des Stauraums von dem Boden der Kajüte:

$-2,2-(-3,7)=1,5\;[\text{m}]$

Aussage formulieren

Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist immer eine Gerade. Der Streckenzug, der die $4$ Punkte auf dem Graphen verbindet, besteht aus drei Geraden und ist somit immer kürzer als die Länge der Kiellinie.

Länge der Kiellinie berechnen

Mit dem CAS folgt:

$\( \begin{array}[t]{rll} L&=& \displaystyle\int_{0}^{20}\sqrt{1+ \left( h$

Einsetzen von $U(1\mid\frac{1}{2})$ in die Funktionsgleichung von $f_a$ liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

$a\approx0,69$

Für $a\approx0,69$ liegt der Punkt $U$ auf $G_a$ .

Koordinaten und Art der Extrempunkte bestimmen

Zweimaliges Ableiten von $f_a$ im CAS liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(f_a$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& \dfrac{2}{a}\\[5pt] \end{array}$

Mathematische Gleichung zur Lösung einer Funktion, dargestellt in einer Softwareoberfläche.

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

Einsetzen von $x_1=0$ und $x_2=\frac{2}{a}$ in $\(f_a$ liefert:

$\( \begin{array}[t]{rll} f_a$

An der Stelle $x=0$ besitzt $f_a$ somit ein lokales Minimum, an der Stelle $x=\dfrac{2}{a}$ ein lokales Maximum. Für die zugehörigen Funktionswerte folgt mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(0\right)&=& 0 \\[5pt] f_a\left(\dfrac{2}{a}\right)&=& \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \\[5pt] \end{array}$

Mathematische Berechnungen und Funktionen in einer Softwareoberfläche.

Lage des Hochpunkts begründen

1. Schritt: Funktion aufstellen

Die Grundseite des Rechtecks lässt sich über die $x$ -Koordinate, die Höhe über den Funktionswert $f_\frac{1}{5}(b)$ berechnen. Der Flächeninhalt wird somit durch folgende Funktion beschrieben:

$\begin{array}[t]{rll} A(b)&=& b\cdot f_{\frac{1}{5}}(b)\cdot 0,5 \\[5pt] &=&b^3\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}\cdot b}\cdot 0,5 \end{array}$

Für die ersten beiden Ableitungen folgt mit dem CAS:

$\(A$ $=\left(\dfrac{3 \cdot b^2}{2}-\dfrac{b^3}{10}\right) \cdot \mathrm e^{-\frac{b}{5}}$

$\(A$ $= \dfrac{b \cdot\left(b^2-30 \cdot b+150\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{b}{5}}}{50}$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden:

$\(A$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} b_1&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] b_2&=&15 \end{array}$

3. Schritt Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen:

$\( A$

Das Maximum des Flächeninhaltes wird also bei $b_2=15$ angenommen.

4. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Einsetzen von $b_2=15$ in $A(b)$ liefert:

$A=15^3\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}\cdot 15}\cdot 0,5\approx 84\;[\text{FE}]$

Der maximale Flächeninhalt beträgt somit ca. $84\;\text{FE}.$

Größe des Flächenstücks berechnen

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $x=0$ als Nullstelle von $f_{\frac{1}{5}}(x).$ Der gesuchte Flächeninhalt kann also mit dem CAS über ein Integral mit den Grenzen $0$ und $p$ berechnet werden:

Rechenweg anzeigen

$A_p$ $= -\mathrm e^{-\frac{p}{5}}\cdot(5p^2+50p +250)$ $+250$

Screenshot eines mathematischen Programms mit einer Funktion und Integrationsberechnung.

Begrenzung des Flächeninhalts zeigen

$\begin{array}[t]{rll} k(10)&=& -\dfrac{3}{10}\cdot f_\frac{5}{10}(10) \\[5pt] &=& -30\mathrm e^{-2} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} k(20)&=&-\dfrac{3}{10}\cdot f_\frac{5}{10}(20) \\[5pt] &=& -120\mathrm e^{-4} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} d&=&-120\mathrm e^{-4} -\left(-30\mathrm e^{-2} \right) \\[5pt] &\approx& 1,86 \end{array}$

Die Höhendifferenz zwischen dem tiefsten Punkt des Kiels und dem Endpunkt des Kiels am Heck beträgt somit ca. $1,86\;\text{m}.$

1. Schritt: Stelle bestimmen

Die ersten beiden Ableitungen von $k$ ergeben sich aus denen von $f_a$ durch Multiplikation mit dem Faktor $-\frac{3}{10}.$ Für die dritte Ableitung folgt mit dem CAS:

$\(k$ $= \left(\dfrac{3}{1250} x^2-\dfrac{9}{125} x+\dfrac{9}{25}\right)$ $\cdot \mathrm e^{-\frac{x}{5}}$

Die Stellen mit der steilsten Steigung des Graphen von $k,$ sind die Extremstellen von $\(k$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\(k$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -5\cdot \sqrt{2}+10 \\[5pt] x_2&=& 5\cdot \sqrt{2}+10 \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen

$\(k$

An beiden Stellen besitzt der Graph von $\(k$ also einen Extrempunkt. Für die Steigung des Graphen von $k$ an diesen Stellen folgt:

$\( \begin{array}[t]{rll} k$

Die betragsmäßig größte Steigung des Graphen beträgt somit $\(k$

4. Schritt: Größe des Winkels berechnen

Mit dem CAS folgt:

$\( \begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=& k$

Der betragsmäßig größte Neigungswinkels des Kiels gegenüber der Horizontalen beträgt ca. $34,61^{\circ}.$

$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx&4,07 \\[5pt] x_2&\approx&19,99 \end{array}$

Der Boden ist in Längsrichtung somit ca. $19,99 - 4,07$ $= 15,9\;[\text{m}]$ lang.

Es wird der Funktionswert an der Stelle $x$ gesucht, an der $k(x)=k(x+6)$ gilt. Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$x\approx 7,3.$

Einsetzen in $k(x)$ liefert $k(7,3)\approx -3,7.$ Da die Kajüte $2,2\;\text{m}$ unterhalb des Decks liegt, ergibt sich für die Entfernung des Bodens des Stauraums von dem Boden der Kajüte:

$-2,2-(-3,7)=1,5\;[\text{m}]$

Aussage formulieren

Länge der Kiellinie berechnen

Mit dem CAS folgt:

$\( \begin{array}[t]{rll} L&=& \displaystyle\int_{0}^{20}\sqrt{1+ \left( h$