Teil A

Gib in der Tabelle je eine zugehörige Funktionsgleichung an.

Funktionsgleichung von $\color{#fff}{f}$	Funktionsgleichung von $\(\color{#fff}{f$
$f(x)= 2\cdot \sqrt{x}$
$f(x)= x \cdot \sin(x)$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$

(5 BE)

Gegeben ist der Graph einer Funktion $f.$

thüringen mathe abi 2020 teil a abbildung 1

Gib eine passende Funktionsgleichung für $f$ an.

(3 BE)

Veranschauliche mit Hilfe von Flächen in der obigen Darstellung $\displaystyle\int_{-4\pi}^{4\pi}f(x)\;\mathrm dx.$
Gib den Wert des Integrals an.

(2 BE)

Gegeben sind für $x\in\mathbb{R}$ die Funktionen $f$ mit $f(x)=-x^2+4$ und $g$ mit $g(x)=-4x+8.$

Zeige, dass der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(2\mid 0)$ ist.

(2 BE)

Bestimme den Flächeninhalt der markierten Fläche $A.$

thüringen mathe abi 2020 teil a abbildung 2

(3 BE)

Der Graph der Funktion $f$ entsteht, wenn der Graph von $g$ mit $g(x)=\sqrt{x}$ $(x\in\mathbb{R}, x\geq 0)$ um $\overrightarrow{v}= \pmatrix{-4\\0}$ verschoben wird.

Gib eine Gleichung von $f$ an.

(1 BE)

Der Graph von $f$ , die Koordinatenachsen und die Gerade $x= -3$ begrenzen eine Fläche vollständig. Zur Berechnung des Flächeninhalts wird der Ansatz $A=\displaystyle\int_{1}^{4}g(x)\;\mathrm dx$ vorgeschlagen.
Bewerte diesen Ansatz und berechne den Flächeninhalt.

(4 BE)

Die Punkte $A(4\mid 0\mid 0),$ $B(4\mid 8\mid 0)$ und $S(1\mid 4\mid h)$ mit $h\in\mathbb{R}; h\gt 0$ sind Eckpunkte einer geraden Pyramide mit rechteckiger Grundfläche und der Höhe $h$ .

Zeichne eine solche Pyramide in ein Koordinatensystem.

thüringen mathe abi 2020 teil a abbildung 3

(2 BE)

Die Länge einer Seitenkante soll $13\;\text{LE}$ betragen.
Bestimme die Höhe $h$ dieser Pyramide.

(3 BE)

Die Vektoren $\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ spannen eine gerade Pyramide auf.

Gib die Vektoren $\overrightarrow{s}$ und $\overrightarrow{h}$ mit Hilfe der Vektoren $\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ an.

thüringen mathe abi 2020 teil a abbildung 4

(2 BE)

Durch $P(4\mid 1\mid z)$ mit $z\in\mathbb{R}$ wird eine Punktmenge $P_z$ beschrieben.
Eine weitere Punktmenge $Q_{xy}$ wird durch $Q(x\mid y\mid 0)$ mit $-1 \leq x \leq 3$ und $2 \leq y\leq 4$ beschrieben.
Veranschauliche die Punktmengen im Koordinatensystem.

(3 BE)

In einer Box befinden sich zehn Kugeln, von denen zwei rot sind.
Es werden zufällig nacheinander zwei Kugeln gezogen, in einem ersten Experiment mit Zurücklegen und in einem zweiten Experiment ohne Zurücklegen.

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E:$ = „Die zweite Kugel ist rot.“ bei beiden Experimenten $\dfrac{1}{5}$ beträgt.

(2 BE)

Die Anzahl der roten Kugeln unter den zehn Kugeln in der Box soll so verändert werden, dass sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$ beim Ziehen mit Zurücklegen auf $30\,\%$ erhöht.

Bestimme die Anzahl der benötigten roten Kugeln.

(3 BE)

Es sei $X$ eine normalverteilte Zufallsgröße mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ .

Erläutere anhand einer Skizze, dass $P(X \leq \mu)= \dfrac{1}{2}$ gilt.

(3 BE)

Es ist bekannt, dass $P(\mu -2\sigma \leq X \leq \mu +2\sigma ) \approx 0,95$ .
Bestimme $P(X\geq \mu+2 \sigma)$ .

(2 BE)

Tabelle anzeigen

Funktionsgleichung von $\color{#fff}{f}$	Funktionsgleichung von $\(\color{#fff}{f$
$f(x)=2\cdot\sqrt{x}$	$\(f$
$f(x)=x\cdot\sin(x)$	$\(f$
$f(x)=-\dfrac{x^2}{2}+5x$	$\(f$
$f(x)=6\cdot\mathrm e^x$	$\(f$
$f(x)=-\dfrac{2}{x}$	$\(f$

$f(x)=-3\cdot\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Die Abbildung verdeutlicht, dass $\displaystyle\int_{-4\pi}^{4\pi}f(x)\;\mathrm dx$ $=0$ gilt.

$\(f$

Es folgt:

$\(f$ $\( =-4=g$

Weiter gilt:

$f(2)=-2^2+4=0$ $=-4\cdot 2+8=g(2).$

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{0}^{2}\left(g(x)-f(x)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\displaystyle\int_{0}^{2}\left(x^2-4x+4\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\left[\dfrac{1}{3}x^3-2x^2+4x\right]^2_0 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot2^3-2\cdot2^2+4\cdot 2-0 \\[5pt] &\approx&2,67\;[\text{FE}] \end{array}$

$f(x)\,=\,\sqrt{x\,+\,4}$

Der Ansatz ist korrekt, denn aufgrund der Verschiebung gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{1}^{4}g(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-\,3}^{0}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{4} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{3}\cdot8-\dfrac{2}{3}\cdot1\\[5pt] &\approx&4,67\;[\text{FE}] \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$h=12\;[\text{LE}]$

$\overrightarrow{s}$ $=-\overrightarrow{c} +\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{h}$ $=-\overrightarrow{c}+\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$

$P(E)$ $=P(RR)+P(\overline{R}R)$ $=\dfrac{2}{10}\cdot\dfrac{1}{9}$ $+\dfrac{8}{10}\cdot\dfrac{2}{9}$ $=\dfrac{1}{5}$

$P(E)$ $=\dfrac{2}{10}\cdot\dfrac{2}{10}$ $+\dfrac{8}{10}\cdot\dfrac{2}{10}$ $=\dfrac{1}{5}$

Ereignis $E$ tritt ein, wenn die erste Kugel weiß oder rot, und die zweite Kugel rot, ist:

$0,3$ $= P(E)=1\cdot\dfrac{x}{10}$

Es folgt, dass die gesuchte Anzahl an roten Kugeln $x=3$ beträgt.

Die gesamte Fläche unter der Kurve der Normalverteilung beträgt 1 und der Erwartungswert ist die Extremstelle der Kurve. Somit gilt $P(X\leq\mu)=\frac{1}{2}.$

Es gilt $P(X\geq\mu+2\sigma)$ $= P(X\leq\mu-2\sigma).$

Somit folgt:

$P(X\geq\mu+2\sigma)$ $= \dfrac{1}{2}\cdot(1-P(\mu-2\sigma\geq X\leq\mu+2\sigma))$ $\approx 0,025$