Teil A

Gib in der Tabelle je eine zugehörige Funktionsgleichung an.

Funktionsgleichung von $\color{#fff}{f}$	Funktionsgleichung von $\(\color{#fff}{f$
$f(x)=4\cdot\sqrt{x}$
$f(x)=x\cdot \text e^x$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$

(5 BE)

Betrachtet wird eine Schar von Funktionen $f_a$ mit $a\in\mathbb{R}$ und $x\in\mathbb{R}$ .

$f_a(x)=(x-1)\cdot (x+1)\cdot (x+a)$

Gib die Nullstellen von $f_a$ an.

(2 BE)

Entscheide, ob folgende Aussage wahr ist.
Begründe deine Entscheidung.

„Es gibt Werte für $a$ so, dass die $x$ -Achse Tangente an den Graphen von $f_a$ ist."

(3 BE)

Für jeden Wert von $a\in\mathbb{R}$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben durch $f_a(x)=\text e^{x+1}+a$ $(x\in\mathbb{R}).$

Beschreibe die Lage der Graphen von $f_a$ bezogen auf den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x)=\text e^x.$

(2 BE)

Berechne den Wert für $a$ so, dass gilt:

$\displaystyle\int_{0}^{1}f_a(x)\;\mathrm dx=0$

(3 BE)

Gegeben sind die Graphen der Funktionen $f$ und $g.$

thüringen mathe abi 2021 teil a abbildung 1 graphen der funktion f und g

Ordne den Graphen die entsprechende Gleichung zu.

$h_1(x)=\sin(x)$

$h_2(x)=\sin(2x)$

$h_3(x)=\sin\left(\dfrac{1}{2}x\right)$

$h_4(x)=\cos(x)$

$h_5(x)=\cos(2x)$

$h_6(x)=\cos\left(\dfrac{1}{2}x\right)$

(2 BE)

Die Funktion $s$ mit $s(x)=f(x)+g(x)$ besitzt im Intervall $-\pi\leq x \leq\pi$ genau vier Nullstellen.
Kennzeichne diese Nullstellen näherungsweise in der Darstellung und begründe die Gültigkeit dieser Ausssage mithilfe der Darstellung.

(3 BE)

Gegeben ist der Vektor $\overrightarrow{a}=\pmatrix{2\\-2\\1}$ .
Ermittle jeweils einen Vektor $\overrightarrow{x}$ , der die angegebene Bedingung erfüllt.

$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$

(1 BE)

$\overrightarrow{x}\parallel \overrightarrow{a}$ und $\mid\overrightarrow{x}\mid=12$

(2 BE)

Der Vektor $\overrightarrow{x}$ ist senkrecht zu $\overrightarrow{a}$ und parallel zur $xy$ -Ebene.

(2 BE)

Ein Körper bewegt sich auf einer geradlinigen Bahn.
Der Körper wird von einer Radarstation, die mathematisch durch $R(0 \mid 0 \mid 0)$ beschrieben wird, zuerst in $P_1(-1 \mid 3 \mid 2)$ und fünf Sekunden später in $P_2(0\mid 2 \mid 2,5)$ geortet.

Gib eine Gleichung an, die die Flugbahn mathematisch beschreibt.

(2 BE)

Der Körper wird von der Radarstation in einem weiteren Punkt $P_3$ geortet.
Die Richtung des Radarsignals wird durch $\overrightarrow{p}=\pmatrix{1\\3\\z}$ mathematisch beschrieben.
Zeige, dass $z=5,5$ ist.

thüringen mathe abi 2021 teil a abbildung 2

Skizze nicht maßstäblich

(3 BE)

Ein Glücksrad ist in genau zwei Sektoren eingeteilt, die mit den Zahlen „1“ und „2“ beschriftet sind.
Die Zahl „1“ tritt mit der Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{4}$ auf.

Paula und Leon vereinbaren folgendes Spiel:

Jeder dreht das Glücksrad genau einmal.
Ist die Summe beider Zahlen ungerade, erhält Paula von Leon die Summe der Zahlen in Euro.
Ist die Summe beider Zahlen gerade, erhält Leon von Paula die Summe der Zahlen in Euro.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Paula von Leon Geld erhält.

(2 BE)

Berechne den Gewinn, den Leon pro Spiel auf lange Sicht erwarten kann.

(3 BE)

Dargestellt sind Graphen der Dichtefunktionen von Normalverteilungen mit den Erwartungswerten $1$ bzw. $2$ und den Standardabweichungen $0,5$ bzw. $0,25.$

thüringen mathe abi 2021 teil a abbildung 3

Ordne den dargestellten Graphen die richtigen Werte zu.

Graph der Funktion	$\varphi_1$	$\varphi_2$	$\varphi_3$
Erwartungswert
Standardabweichung

(2 BE)

Die Zufallsgröße $X$ ist normalverteilt und gehört zu $\varphi_1$ .
Entscheide, ob folgende Gleichungen richtig oder falsch sind. Korrigiere gegebenenfalls.

Tabelle anzeigen

Gleichung	richtig/falsch	korrigiert
$P(X\leq 2)=\displaystyle\int_{-\infty}^{2 }\varphi_1(x)dx$
$P(0,5\leq X\leq 1,5)=1-\displaystyle\int_{1,5}^{\infty }\varphi_1(x)dx$
$P(X=1)=\varphi_1(1)$

(3 BE)

Gegeben ist die Koordinatengleichung einer Ebene $\epsilon$ mit $x+2z=13$ und der Punkt $P$ mit den Koordinaten $P(1 \mid 1 \mid 1)$ .

Beschreibe die besondere Lage der Ebene $\epsilon$ im Koordinatensystem.

(1 BE)

Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes $\(P$ , der bei der Spiegelung von $P$ an der Ebene $\epsilon$ entsteht.

(4 BE)

Ein Glücksrad mit gleichgroßen Sektoren ist einmal mit „1“ und zweimal mit „2“ und dreimal mit „3“ beschriftet.

Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Aus den angezeigten Ergebnissen werden entsprechend der Reihenfolge der Ergebnisse Zahlen gebildet.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man die Zahl „321“ erhält.

(1 BE)

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Aus den angezeigten Zahlen werden Summen gebildet.
Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$E:$ = „Die Summe der angezeigten Zahlen ist mindestens fünf.“
$F:$ = „Die Summe der angezeigten Zahlen ist kleiner als fünf.“

Untersuche, ob das Ereignis $E$ mit einer höheren Wahrscheinlichkeit eintritt als das Ereignis $F$ .

(4 BE)

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Tabelle anzeigen

Funktionsgleichung von $\color{#fff}{f}$	Funktionsgleichung von $\(\color{#fff}{f$
$f(x)=4\cdot\sqrt{x}$	$\(f$
$f(x)=x\cdot \mathrm e^x$	$\(f$
$f(x) = 5x - \dfrac{1}{2}x^2$	$\(f$
$f(x) = - \pi \cdot \cos(x)$	$\(f$
$f(x) = \dfrac{-3}{x^2}$	$\(f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt direkt: $x_1 = -1,$ $x_2 = 1,$ $x_3 = -a$

Eine doppelte Nullstelle ist immer eine Extremstelle. Die $x-$ Achse ist eine Tangente der Funktion $f_a,$ genau dann wenn eine doppelte Nullstelle vorliegt. Das ist unter Berücksichtigung der ersten beiden Nullstellen für $a = 1$ oder $a=-1$ der Fall. Die Aussage ist somit wahr.

Der Graph $G_f$ der Funktion $f_a$ entsteht aus dem Graphen $G_g$ , indem dieser um $a$ Einheiten entlang der $y$ -Achse verschoben wird und um eine Einheit entlang der $x$ -Achse nach links verschoben wird.

$0$ $= \displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x+1} + a\;\mathrm dx$ $= \left[\mathrm{e}^{x+1}+ ax \right]_0^1$ $= (\mathrm{e}^2 + a) - (\mathrm{e} + 0)$ $= \mathrm{e}^2 + a - \mathrm{e}$

Es folgt:

Rechenweg anzeigen

$a = \mathrm{e} - \mathrm{e}^2$

$f$ gehört zu $h_2(x) = \sin(2x)$
$g$ gehört zu $h_4(x) = \cos(x)$

Aus der Abbildung wird deutlich, dass $f$ und $g$ genau zwei gemeinsame Nullstellen, bei $x_1 = \frac{-\pi}{2}$ und $x_2 = \frac{\pi}{2},$ haben. An folgenden beiden Stellen gilt zudem $f(x)=-g(x):$

$x_3 \approx \dfrac{-5\pi}{6}$

$x_4 \approx \dfrac{-1\pi}{6}$

Lösen der gegebenen Gleichung liefert:

$\vec{x} = \pmatrix{-4\\4\\-2}$

Die Bedingung $\overrightarrow{x} \, \vert\vert \, \overrightarrow{a} \,$ fordert, dass ein $c\in\mathbb{R}$ existiert, welches $\overrightarrow{a} \cdot c = \overrightarrow{x}$ erfüllt.
Mit Hilfe der Bedingung $\vert\overrightarrow{x}\vert = 12$ folgt, dass $c = 4$ sein muss, da $\vert\overrightarrow{a}\vert$ $= \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}$ $= 3$ und somit $4 \cdot\vert \overrightarrow{a}\vert = \vert\overrightarrow{x}\vert.$ Es folgt:

$\overrightarrow{x} = 4 \cdot \overrightarrow{a} = \pmatrix{8\\-8\\4}$

Damit ein Vektor senkrecht auf einem anderen Vektor steht, muss deren Skalarprodunkt gleich $0$ sein.
Damit ein Vektor parallel zur $xy$ -Ebene ist, muss die $z$ -Koordinate gleich $0$ sein.

Da sich die ersten beiden Einträge von $\overrightarrow{a}$ nur im Vorzeichen unterscheiden, ergibt sich $\overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\1\\0}$ als ein möglicher Lösungsvektor.

$g: \vec{x} = \overrightarrow{OP_1} + s \cdot \overrightarrow{P_1P_2}$

Mit $\overrightarrow{P_1P_2}$ $= \pmatrix{0\\2\\2,5}-\pmatrix{-1\\3\\2}$ $= \pmatrix{1\\-1\\0,5}$ folgt:

$g: \vec{x} = \pmatrix{-1\\3\\2} + s \cdot \pmatrix{1\\-1\\0,5}$

Gerade des Radarsignals: $h: \vec{x} = \pmatrix{0\\0\\0} + t \cdot \pmatrix{1\\3\\z}$

Schnittpunkt: $\pmatrix{-1\\3\\2} + s \cdot \pmatrix{1\\-1\\0,5} = t \cdot \pmatrix{1\\3\\z}$

Aus der ersten Zeile folgt direkt $t=s-1.$ Einsetzen in die zweite Zeile liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 3-s&=&(s-1)\cdot3 &\quad \scriptsize \mid\;+s \\[5pt] 3&=&4s-3 &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] 6&=&4s &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] \dfrac{3}{2}&=&s \end{array}$

Insgesamt folgt somit:

$s= \dfrac{3}{2}$

$t$ $= \dfrac{3}{2}-1$ $= \dfrac{1}{2}$

Mit Hilfe der letzten Zeile folgt dann:

$z = \dfrac{2 + 1,5 \cdot 0,5}{0,5} = 5,5$

Ereignis	Summe	Wahrscheinlichkeit
1; 1	2	$\dfrac{1}{16}$
1; 2	3	$\dfrac{3}{16}$
2; 1	3	$\dfrac{3}{16}$
2; 2	4	$\dfrac{9}{16}$

$A:$

Paula erhält von Leon Geld

$P(A) = \dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{16} = \dfrac{3}{8}$

$E = \dfrac{1}{16} \cdot 2 \,€ + \dfrac{9}{16} \cdot 4 \,€ - \dfrac{6}{16} \cdot 3\,€$ $= \dfrac{5}{4}\,€$

Langfristig kann Leon einen Gewinn von $1,25\,€$ pro Spiel erwarten.

Hinweis: Bei Normalverteilungen ist der Erwartungswert der $x$ -Wert des Hochpunktes. Die Standardabweichung kann an einer der beiden Wendestellen der Normalverteilung abgelesen werden. Es gilt, dass der Abstand des $x$ -Wertes des Hochpunkts zu dem $x$ -Wert des Wendepunktes die Standardabweichung ergibt.

Graph der Funktion	$\color{#fff}{\varphi_1}$	$\color{#fff}{\varphi_2}$	$\color{#fff}{\varphi_3}$
Erwartungswert	$1$	$2$	$1$
Standardabweichung	$0,25$	$0,5$	$0,5$

Tabelle anzeigen

Gleichung	richtig/falsch	korrigiert
$\color{#fff}{P(X\leq 2)=\displaystyle\int_{-\infty}^{2 }\varphi_1(x)\;\mathrm dx}$	richtig	-
$\color{#fff}{P(0,5\leq X\leq 1,5)=1-\displaystyle\int_{1,5}^{\infty }\varphi_1(x)\;\mathrm dx}$	falsch	$P(0,5\leq X\leq 1,5)=\displaystyle\int_{0,5}^{1,5 }\varphi_1(x)\;\mathrm dx$
$\color{#fff}{P(X=1)=\varphi_1(1)}$	falsch	$P(X=1) = \displaystyle\int_{1}^{1 }\varphi_1(x)\;\mathrm dx = 0$

Hinweis zur 2. Gleichung: Alternativ kann auch folgende Gleichung angegeben werden:

$P(0,5\leq X\leq 1,5)=$ $1-\displaystyle\int_{- \infty}^{0,5 }\varphi_1(x)\;\mathrm dx -\displaystyle\int_{1,5}^{\infty }\varphi_1(x)\;\mathrm dx$

Hinweis zur 3. Gleichung: Da die Zufallsgröße $X$ normalverteilt ist, ist die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Ausgang immer $0.$

Die Ebene ist parallel zur $y$ -Achse, da die Variable $y$ in der Koordinatengleichung nicht vorkommt.

Aufstellen einer Hilfsgeraden: $h: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OP} + t \cdot \overrightarrow{ON}$ $= \pmatrix{1\\1\\1} + t \cdot \pmatrix{1\\0\\2}$

Einsetzen eines allgemeinen Punktes von $h$ in die Ebenengleichung von $E$ liefert $5t=10$ und somit $t=2.$ Damit ist der Punkt $S(3\mid1\mid5)$ der Schnittpunkt.

Nun können die Koordinaten von $\(P$ ausgerechnet werden: $\(\overrightarrow{OP$ $= \pmatrix{1\\1\\1} + 2 \cdot \pmatrix{2\\0\\4} = \pmatrix{5 \\ 1 \\9}$

Somit sind die Koordinaten des Spiegelpunkts $\(P$

$P(321) = \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$

Damit die Summe der gedrehten Zahlen größer oder gleich 5 ist, können nur zwei Fälle eintreten. Entweder wird zweimal die 3 gedreht, oder es wird einmal die 3 und einmal die 2 gedreht.

$P(E) = P(33) + P(32) + P(23)$ $= \left( \dfrac{3}{6} \right)^2 + 2 \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{3}{6} = \dfrac{7}{12}$

$F$ ist das Gegenereignis von $E.$ Somit gilt:

$P(F) = 1 - P(E) = 1 - \dfrac{7}{12} = \dfrac{5}{12}$

Ereignis $F$ tritt mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit ein als Ereignis $E$ .

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