Teil B

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit

$f_a(x) = (4x+a) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot x} \;\; (x, a \in \mathbb{R}).$

Stelle die Funktion $f_4$ in einem geeigneten Intervall graphisch dar.
Gib die Nullstelle von $f_4$ an.

(3 BE)

An den Graphen von $f_4$ wird an der Stelle $x=-1$ die Tangente $t$ angelegt.

Weise rechnerisch nach, dass $t$ durch $t(x) = 4 \sqrt{\mathrm e} \cdot (x+1)$ beschrieben werden kann.

(2 BE)

Die Funktion $F_4$ ist die Stammfunktion von $f_4,$ deren Graph durch den Punkt $P(-2 \mid -8\mathrm e)$ verläuft.

Untersuche, ob das Verhältnis des Anstiegs der Stammfunktion $F_4$ an ihrer Nullstelle und des Anstieges der Tangente $t$ mit $t(x) = 4\sqrt{\mathrm e} \cdot (x+1)$ ein ganzzahliges Vielfaches der Eulerschen Zahl $\mathrm e$ ist.

(5 BE)

Der Schnittpunkt des Graphen von $f_a$ mit der $x$ -Achse ist $P_a$ .
Der Schnittpunkt des Graphen von $\(f$ mit der $x$ -Achse ist $Q_a$ .
Für jeden Wert von $a$ schneiden sich die Graphen von $f_a$ und $\(f$ im Punkt $S_a$ .

Weise nach, dass die Länge der Strecke $\overline{P_aQ_a}$ unabhängig vom Parameter $a$ ist.

Berechne den Wert von $a$ , für den das Dreieck $P_aQ_aS_a$ den Flächeninhalt $A=\dfrac{8}{3} \; \text{FE}$ besitzt.

(6 BE)

Für jeden Wert von $a$ bilden der Schnittpunkt $P_a$ des Graphen von $f_a$ mit der $x$ -Achse, der Extrempunkt $E_a \left( \dfrac{8-a}{4} \bigg\vert f_a \left(\dfrac{8-a}{4}\right) \right)$ und der Wendepunkt $W_a \left( \dfrac{16-a}{4} \bigg\vert f_a \left(\dfrac{16-a}{4}\right) \right)$ ein Dreieck.

Begründe, dass es keinen Wert für $a$ gibt, so dass der Winkel $\sphericalangle W_aP_aE_a$ ein rechter Winkel ist.

Berechne auf zwei Dezimalen genau einen Wert von $a$ , für den das Dreieck rechtwinklig ist.

(6 BE)

Zur Simulation des kontrollierten Abflusses von großen Wassermengen durch Ventile wurde in eine Experimentieranordnung ein Durchflusssensor eingebaut. Dieser misst die momentane Durchflussgeschwindigkeit des abfließenden Wassers.
Während eines Experiments wurden folgende Werte protokolliert:

Zeit in $h$	Durchflussgeschwindigkeit in $100 \frac{\text{m}^3}{\text{h}}$
$1$	$7,80$
$2$	$5,98$
$4$	$3,00$
$6$	$1,55$
$8$	$0,86$
$12$	$0,28$

Zur mathematischen Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit wurde folgende Gleichung vorgeschlagen:

$v_k(t) = \dfrac{k^4}{t^2+k^2}-0,25 \;\; (t,k\geq0)$

Dabei wird die Zeit $t$ in Stunden und die Durchflussgeschwindigkeit in 100 Kubikmeter pro Stunde angegeben.

Bestimme für $t=4$ den Wert von $k$ , der eine Beschreibung für die Simulation zulässt.

(2 BE)

Interpretiere folgende Aussagen jeweils im Sachzusammenhang.

$\text{(I)}$	$\(v$
$\text{(II})$	$\displaystyle\int_{4}^{5}v_k(t)\;\mathrm dt \approx 2,24$

(4 BE)

Für weitere Untersuchungen wird $k=3$ gewählt.

Berechne die Menge des abgeflossenen Wassers in Liter, wenn das Wasser restlos abgelaufen ist.

(3 BE)

Das Ventil ist für eine maximale Änderung der Durchflussgeschwindigkeit von $200\dfrac{\text{m}^3}{\text{h}^2}$ ausgelegt.

Untersuche, ob diese Vorgabe eingehalten wird.

(3 BE)

Ein Mitarbeiter schlägt vor, zur Modellierung der Abflussgeschwindigkeit die Funktion $w$ mit $w(t) = (4t+8) \cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \;\; (t \geq 0)$ zu verwenden.

Begründe, dass diese Funktion den Sachverhalt ebenfalls näherungsweise beschreibt.

Bestimme die maximale Differenz der Durchflussgeschwindigkeit beider Modelle für $2 \leq t \leq 17,5.$

(6 BE)

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Die Nullstelle von $f_4$ befindet sich an der Stelle $x_0=-1.$

Die allgemeine Tangentengleichung ist $t(x)=m \cdot x +b$

Mit der Produktregel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\(f$

Die Steigung der Tangente $t$ entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion an der Stelle $x_0.$

$\(m= f$

Einsetzen in die Tangentengleichung ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 4 \sqrt{\mathrm e} \cdot (-1) +b&\quad \scriptsize \mid\;+4 \sqrt{\mathrm e} \\[5pt] 4 \sqrt{\mathrm e}&=& b \end{array}$

Somit ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& 4 \sqrt{\mathrm e} \cdot x +4 \sqrt{\mathrm e} \\[5pt] &=&4 \sqrt{\mathrm e} \cdot (x+1) \end{array}$

Mit dem CAS ergibt sich eine Stammfunktion zu $F_4(x)$ $=-(8x+24)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}+C.$

Einsetzen der Koordinaten von $P$ und lösen mit dem solve-Befehl des CAS ergibt:

Rechenweg anzeigen

$C = 0$

$F_4(x)$ hat eine Nullstelle bei $x=-3.$ Der Anstieg an dieser Stelle beträgt $f_4(-3)=-8 \mathrm e^{\frac{3}{2}}.$ Verhältnisse der Anstiege berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} -8 \mathrm e^{\frac{3}{2}}\cdot v &=& 4\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}} &\quad \scriptsize \mid\;:\left(-8 \mathrm e^{\frac{3}{2}}\right) \\[5pt] v&=& -2 \mathrm e \end{array}$

$-2 \mathrm e$ ist ein ganzzahliges Vielfaches von $\mathrm e.$

1. Schritt: Koordinaten bestimmen

Koordinaten von $P_a$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& 0 \\[5pt] (4x+a)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot x}&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt und da stets $\mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot x} \neq 0$ gilt, folgt $4x+a=0$ und daraus $x=-\dfrac{a}{4}$ als Nullstelle.

Die Koordinaten von $P_a$ ergeben sich also durch $P_a \left(-\frac{a}{4} \mid 0 \right).$

Koordinaten von $Q_a$ bestimmen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt und da stets $\mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot x} \neq 0$ gilt, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 4-2x-\dfrac{a}{2} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] -2x-\dfrac{a}{2}&=& -4 &\quad \scriptsize \mid\;:(-2) \\[5pt] x+\dfrac{a}{4}&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{a}{4} \\[5pt] x&=& 2-\dfrac{a}{4} \end{array}$

Die Koordinaten von $Q_a$ ergeben sich also durch $Q_a \left(2-\dfrac{a}{4} \mid 0 \right).$

Koordinaten von $S_a$ bestimmen

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& f$

Rechenweg anzeigen

$f_a \left(\dfrac{8-3a}{12}\right)= \dfrac{8}{3}\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot a- \frac{1}{3}}$

Die Koordinaten von $S_a$ sind gegeben durch $S_a \left(\dfrac{8-3a}{12} \mid \dfrac{8}{3}\cdot \mathrm e^{\frac{a}{8}- \frac{1}{3}} \right).$

2. Schritt: Länge der Strecke berechnen

$\overline{P_aQ_a}= \left| -\dfrac{a}{4}- \dfrac{8-a}{4} \right|=2$

Somit ist die Strecke $\overline{P_aQ_a}$ unabhängig vom Parameter $a.$

3. Schritt: Wert von $a$ berechnen

$\overline{P_aQ_a}$ bildet die Basis des Dreiecks $P_aQ_aS_a.$

$b=\overline{P_aQ_a}= \dfrac{a}{4}+2-\dfrac{a}{4} =2$

Die Höhe $h$ des Dreicks ergibt sich mit der $y$ -Koordinate von $S_a$ zu $h= \dfrac{8}{3}\cdot \mathrm e^{\frac{a}{8}-\frac{1}{3}}.$

Der Flächeninhalt des Dreiecks folgt mit $A_D= \dfrac{1}{2}\cdot b\cdot h.$ Es soll $A_D=\dfrac{8}{3}$ gelten. Durch Gleichsetzen und Einsetzen folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{8}{3}&=& \dfrac{1}{2}\cdot b\cdot h \\[5pt] \dfrac{8}{3} &=& \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot \dfrac{8}{3}\cdot \mathrm e^{\frac{a}{8}-\frac{1}{3}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{3}{8} \\[5pt] 1&=& \mathrm e^{\frac{a}{8}-\frac{1}{3}} &\quad \scriptsize \mid\; \ln() \\[5pt] 0&=& \dfrac{a}{8}-\dfrac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{1}{3} \;\mid\; \cdot 8 \\[5pt] \dfrac{8}{3}&=& a \end{array}$

Mit dem Skalarprodukt des CAS folgt $\overrightarrow{P_aE_a} \circ \overrightarrow{P_aW_a}= 128 \mathrm e^{\frac{a}{4} -3}+8 \neq 0$

Ein rechter Winkel im Dreieck ergibt sich für $a \approx 6,23$ (oder $a \approx 2,23$ ).

$\begin{array}[t]{rll} v_k(4)&=& 3,00 \\[5pt] \dfrac{k^4}{4^2+k^2}-0,25&=& 3,00 &\quad \scriptsize \mid\; +0,25\\[5pt] \dfrac{k^4}{4^2+k^2}&=& 3,25 \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $k \approx 3,00.$

Aussage $\text{I}:$ Die Durchflussgeschwindigkeit nimmt nach 4,5 Stunden ab.

Aussage $\text{II}:$ Zwischen der vierten und der fünften Stunde fließen $224 \;\text{m}^3$ ab.

$\begin{array}[t]{rll} v_3(t)&=&0 \\[5pt] \dfrac{3^4}{t^2+3^2}-0,25&=& 0 \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $t\approx 17,75$ als Nullstelle.

$\displaystyle\int_{0}^{17,75} \dfrac{3^4}{t^2+3^2}-0,25 \;\mathrm dt \approx 33,45$

Es fließen insgesamt $33,45 \cdot100 = 3345\;\text{m}^3= 3345000 \;\text{l}$ ab.

Die maximale Änderung der Durchflussgeschwindigkeit entspricht dem Wert der Wendestelle.

Mit dem CAS ergibt sich die Wendestelle zu $t_W \approx 1,73 \;\text{h}.$

Mit $\(v_3$ wird die Vorgabe eingehalten.

$\color{#fff}{t}$	$\color{#fff}{w(t)}$
1	7,29
2	5,89
4	3,25
6	1,58
8	0,74
0,28	0,14

Die Werte dieser Tabelle entsprechen ungefähr den Werten aus der Tabelle in der Aufgabenstellung. Somit beschreibt die Funktion $w$ die Abflussgeschwindigkeit ebenfalls näherungsweise.

Es ist $d(t)= w(t)-v_3(t).$

Die Koordinaten des Hochpunktes von $d$ ergeben sich mit dem CAS zu $H(3,704 \mid 0,265).$

Folglich beträgt die maximale Differenz $26,5 \;\frac{\text{m}^3}{\text{h}}.$

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