Teil B2

Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=-x^3+3x$ $(x\in\mathbb{R}).$

Durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der $x$ -Achse entsteht der Graph von $f_1$ . Der Graph von $f_2$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der Geraden $y=2$ . Der Graph von $f_3$ entsteht durch Verschiebung des Graphen von $f$ derart, dass der Tiefpunkt des Graphen von $f_3$ im Koordinatenursprung liegt.
Gib je eine Funktionsgleichung von $f_1$ , $f_2$ und $f_3$ an.

(3 BE)

In den Extrempunkten und in den beiden vom Koordinatenursprung verschiedenen Schnittpunkten des Graphen von $f$ mit der $x$ -Achse werden die Tangenten an den Graphen von $f$ gelegt. Diese Tangenten bilden ein Viereck.
Begründe, dass dieses Viereck ein Parallelogramm ist.
Berechne dessen Flächeninhalt und die Größe eines Innenwinkels.

(4 BE)

Für jede positive reelle Zahl $m$ ist durch $g_m(x)=m\cdot x$ eine Gerade $g_m$ gegeben. Der Graph von $f$ begrenzt mit der $x$ -Achse im I. Quadranten die Fläche $A$ vollständig. Der Graph von $g_1$ teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.
Zeige, dass das Verhältnis der Teilflächen $4:5$ beträgt.
Ermittle den Wert für $m$ so, dass die Gerade $g_m$ die Fläche $A$ in zwei gleich große Flächen teilt.

(5 BE)

In einem Betrieb fallen Abfallstücke, welche die Form der Fläche $A$ aus Teilaufgabe c) haben, an.
Untersuche, ob man aus einem solchen Stück (siehe Abbildung) ein Quadrat mit der Seitenlänge $a=1,1\,\text{LE}$ ausschneiden kann.

thüringen mathe abi 2015 teil b2 abbildung 1

(3 BE)

Für jede positive reelle Zahl $k$ ist eine Funktion $f_k$ gegeben durch $f_k(x)=-k\cdot x^3+3k\cdot x$ $(x\in\mathbb{R})$ . Beschreibe, wie die Graphen von $f_k$ aus dem Graphen von $f$ in Abhängigkeit von $k$ hervorgehen.
Der Hochpunkt und die Schnittpunkte des Graphen von $f_k$ mit der $x$ -Achse $(x\geq0)$ bilden ein Dreieck.
Berechne alle Werte für $k$ so, dass das Dreieck gleichschenklig ist.

(5 BE)

Funktionsgleichung von $\boldsymbol{f_1}$ angeben

$f_1(x)=-f(x) = x^3 - 3x$

Funktionsgleichung von $\boldsymbol{f_2}$ angeben

Die Gerade $y=2$ verläuft parallel zur $x$ -Achse und im Abstand von $2\;\text{LE}$ überhalb von dieser. Eine Spiegelung an der Geraden $y=2$ entspricht somit einer Spiegelung an der $x$ -Achse mit anschließender Verschiebung um $4\;\text{LE}$ in $x$ -Richtung:

$f_1(x)=-f(x)+4 = x^3 - 3x +4$

Funktionsgleichung von $\boldsymbol{f_3}$ angeben

Mit der graphischen Darstellung im CAS folgt, dass der Tiefpunkt von $f$ die Koordinaten $T(-1\mid-2)$ besitzt. Der Graph von $f_3$ entsteht somit aus dem Graphen von $f$ durch eine Verschiebung um $1\;\text{LE}$ in $x$ -Richtung und um $2\;\text{LE}$ in $y$ -Richtung:

$f_3(x) = f(x-1)+2 = -x^3+3x^2$

Parallelogramm begründen

Da $f(x)=-f(-x)$ gilt, ist der Graph der Funktion $f$ punktsymmetrisch zum Ursprung. Damit besitzen die beiden Tangenten an die Nullstellen von $f$ die gleiche Steigung, sind also parallel zueinander. Da zudem in den beiden Extrempunkten $\(f$ gelten muss, liegen auch diese beiden Tangenten parallel zueinander. Somit handelt es sich bei dem Viereck um ein Parallelogramm.

Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen

Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gilt $A_P=a\cdot h_a,$ wobei $a$ bzw. $h_a$ die in dieser Hilfsabbildung eingezeichneten Längen bezeichnen:

Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS liefert $f(x)=0:$

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&-\sqrt{3} \\[5pt] x_2&=&0 \\[5pt] x_3&=&\sqrt{3} \end{array}$

Somit gilt $a=\sqrt{3}-(-\sqrt{3}) = 2\cdot\sqrt{3}.$

Aus Aufgabenteil a) folgt, dass der Tiefpunkt $T$ von $f$ die $y$ -Koordinate $y_T=-2$ besitzt, das heißt da $f$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist, besitzt der Hochpunkt $H$ von $f$ die $y$ _Koordinate $y_H=2.$ Somit folgt $h_a=2-(-2)=4.$ Insgesamt besitzt das Parallelogramm damit einen Flächeninhalt von $8\cdot\sqrt{3}\;\text{FE}.$

Innenwinkel des Parallelogramms bestimmen

Mit Hilfe des CAS folgt für die Funktionsgleichung der Tangente an $f$ in beispielsweise $x_2:$

$t(x)=6\cdot\sqrt{3}-6x$

Screenshot einer mathematischen Software mit Gleichungen und Funktionen.

Für die Steigung dieser Tangente gilt somit $m=-6.$ Da die obere und untere Seite des Parallelogramms parallel zur $x$ -Achse verlaufen, folgt somit für den rechten oberen Innenwinkel mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&m \\[5pt] \tan(\alpha)&=&-6 \\[5pt] \alpha&\approx&99,46^\circ \end{array}$

Die Größe des einen Innenwinkels beträgt somit ca. $99,46^\circ.$

Verhältnis von $\boldsymbol{4:5}$ zeigen

Mit Hilfe der Nullstellen von $f$ aus Aufgabenteil b) folgt durch Integrieren mit Hilfe des CAS für den Flächeninhalt der Fläche $A:$

$A_A=2,25\;\text{FE}$

Für die Schnittstellen des Graphen von $f$ mit dem Graphen von $g_1,$ an denen $f(x)=g_1(x)$ gilt, folgt mit dem solve-Befehl des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&-\sqrt{2} \\[5pt] x_2&=&0 \\[5pt] x_3&=&\sqrt{2} \end{array}$

Von diesen Schnittstellen liegt nur $x_3=\sqrt{3}$ im I. Quadranten und ist somit die gesuchte Schnittstelle der beiden Graphen.

Der Flächeninhalt der Teilfläche zwischen $g_1$ und $f$ ergibt sich somit mit Hilfe des CAS wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}(f(x)-g_1(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=&1\;[\text{FE}] \end{array}$

Für den Flächeninhalt der unteren Teilfläche folgt somit:

$A_2=A_A-A_1=1,25\;[\text{FE}]$

Für das Verhältnis der Teilflächen gilt damit:

$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{4}{5}$

Wert für $\boldsymbol{m}$ bestimmen

Mit Hilfe des Flächeninhalts der Fläche $A$ folgt, dass beide Teilfächen $\frac{1}{2}\cdot2,25=1,125\;[\text{FE}]$ groß sein müssen. Für die Schnittpunkte von $g_m(x)$ und $f(x)$ folgt mit Hilfe des solve-Befehls des CAS:

$x_1=- \sqrt{3-m},\;$ falls $m-3 \leq 0$
$x_2= \sqrt{3-m},\;$ falls $m-3 \leq 0$
$x_3= 0$

Screenshot einer mathematischen Software mit Gleichungen und einer Lösung.

Für diese Schnittstellen kann sich der jeweilige Schnittpunkt nur für $x_2$ im I. Quadranten befinden. Damit die beiden Teilflächen gleichgroß sind, muss also folgende Gleichung gelten:

$\displaystyle \int_0^{\sqrt{3-m}} (f(x)-g_m(x)\;\mathrm dx = 1,125$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt damit für $m:$

$\begin{array}[t]{rll} m_1&\approx&0,88 \\[5pt] m_2&\approx&-5,12 \end{array}$

Mathematische Gleichungen und Lösungen auf einem Bildschirm dargestellt.

Sowohl $m_1$ als auch $m_2$ erfüllen die Bedingung $m-3\leq0,$ allerdings verläuft $g_m$ für $m_2$ bei positiven $x$ -Werten komplett unterhalb der $x$ -Achse, sodass der Schnittpunkt mit $f$ nicht im I. Quadranten liegen kann. Die Gerade $g_m$ teilt die Fläche $A$ somit für den Wert $m\approx0,88$ in zwei gleich große Flächen.

Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt für die Lösungen der Gleichung $f(x)=1,1:$

$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx&-1,89 \\[5pt] x_2&\approx&0,39 \\[5pt] x_3&\approx&1,51 \end{array}$

Von diesen Lösungen liegen nur die zu $x_2$ und $x_3$ gehörenden Funktionswerte im betrachteten I. Quadranten.

Bildschirmansicht einer mathematischen Software, die eine Gleichung löst und mehrere Lösungen anzeigt.

Damit ein Quadrat mit der Seitenlänge $a=1,1\;\text{LE}$ in die Fläche passt, muss der Abstand zwischen $x_2$ und $x_3$ größer oder gleich $a$ sein. Für die Differenz gilt:

$x_3-x_2 \approx 1,12\gt1,1\;[\text{LE}]$

Es folgt, dass man ein Quadrat mit der Seitenlänge $a=1,1\;\text{LE}$ aus der betrachteten Fläche ausschneiden kann.

Graphen von $\boldsymbol{f_k}$ beschreiben

Es gilt $f_k(x)=-k\cdot x^3+3k\cdot x$ $= k\cdot(-x^3+3x),$ das heißt die Graphen von $f_k$ gehen aus dem Graphen von $f$ durch eine Streckung bzw. Stauchung entlang der $y$ -Achse hervor.

Werte von $\boldsymbol{k}$ für gleichschenkliges Dreieck berechnen

Da die Graphen von $f_k$ durch Streckung bzw. Stauchung entlang der $y$ -Achse aus dem Graphen von $f$ hervorgehen, besitzen alle Funktionen dieselben Nullstellen wie $f,$ das heißt nach Aufgabenteil b) lauten die beiden gesuchten Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=\sqrt{3}.$
Zudem ergeben sich die jeweiligen Hochpunkte durch Streckung bzw. Stauchung mit $k$ entlang der $y$ -Achse aus dem von $f,$ das heißt sie besitzen nach Aufgabenteil b) die Koordinaten $H_k(1\mid2k).$

Damit das Dreick aus den Punkten mit den Koordinaten $A(0\mid0),B\left(0\mid\sqrt{3}\right)$ und $H_k(1\mid2k)$ gleichschenklig ist, müssen mindestens zwei Seiten gleichlang sein.

Da die Strecke $\overline{AB}$ auf der $x$ -Achse verläuft und der $x$ -Wert von $H_k$ für alle $k$ nicht in der Mitte dieser Strecke liegt, wie in der Skizze für $k=1$ verdeutlicht, kann $\left\vert\overrightarrow{AH_k}\right\vert=\left\vert\overrightarrow{BH_k}\right\vert$ für kein $k$ gelten.

Die Länge der Seite $\overline{AB}$ ergibt sich als $\left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert = 3\;[\text{LE}].$ Für $\left\vert\overrightarrow{AH_k}\right\vert = 3\;[\text{LE}]$ liefert der solve-Befehl des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} k_1&=&-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[5pt] k_2&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

Für die andere Möglichkeit, $\left\vert\overrightarrow{BH_k}\right\vert = 3\;[\text{LE}],$ ergibt sich mit Hilfe des solve-Befehls des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} k_3&=&-\dfrac{\sqrt{2\cdot\sqrt{3}-1}}{2} \\[5pt] k_4&=&\dfrac{\sqrt{2\cdot\sqrt{3}-1}}{2} \end{array}$

Da $k$ laut Aufgabenstellung eine positive reelle Zahl ist, ist das betrachtete Dreieck nur für die Werte $k_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $k_4=\frac{\sqrt{2\cdot\sqrt{3}-1}}{2}$ gleichschenklig.