Teil B1

Die Profillinie einer Achterbahn wird abschnittsweise durch Funktionsgraphen modelliert. Für den letzten Abschnitt dieser Achterbahn mit anschließendem Anhaltebereich können die Graphen dreier Funktionen $g_1$ , $g_2$ und $g_3$ verwendet werden.
Die Werte $x,$ $g_1(x),$ $g_2(x)$ und $g_3(x)$ stellen Maßzahlen zu Längenangaben in Metern dar.
Die Funktionen $g_1$ und $g_3$ sind gegeben durch

$g_1(x)=-\dfrac{1}{50.000}(x+10)(x-50)^3$ $(0\leq x\leq 50)$ und $g_3(x)=5$ $(70\leq x\leq 120).$

Der Abschnitt der Achterbahn im Intervall $50\leq x\leq70$ wird durch den Graphen einer Funktion $g_2$ beschrieben. Die Übergänge in den Randpunkten des Graphen von $g_2$ sind ohne Knick zu realisieren.

Stelle die Graphen von $g_1$ und $g_3$ in den angegebenen Intervallen in einem geeigneten Koordinatensystem graphisch dar.
Skizziere einen möglichen Verlauf des Graphen von $g_2$ .
Berechne die maximale Höhe der Achterbahn für $0\leq x\leq 50.$
Berechne die Koordinaten des Punktes, in dem das Gefälle in diesem Intervall am größten ist.

(6 BE)

Im Punkt $P\left(20\mid g_1(20)\right)$ trifft ein Sonnenstrahl senkrecht auf die Bahn. Dieser Sonnenstrahl schließt mit der Horizontalen einen Winkel ein.
Ermittle die Größe dieses Winkels.
Zu einem anderen Zeitpunkt treffen Sonnenstrahlen unter einem Winkel von $45°$ zur Horizontalen auf die Bahn.
Bestimme die Koordinaten der Punkte auf dem fallenden Bereich des Graphen von $g_1$ , in denen die Sonnenstrahlen senkrecht auf die Bahn treffen.

(4 BE)

Gesucht ist eine Gleichung für den Graphen von $g_2$ , so dass der Graph die beschriebenen Eigenschaften besitzt.
Erläutere ein Vorgehen, um diese zu ermitteln. Gib eine mögliche Gleichung für $g_2$ an.

(4 BE)

Eine mögliche Gleichung für $g_2$ ist

$g_2(x)=\dfrac{1}{32.000}(x-50)^2(x-90)^2$ $(50\leq x\leq70).$

Die Länge $k$ eines Graphen einer Funktion $f$ im Intervall $a\leq x\leq b$ kann mit der Gleichung $k=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f‘(x)\right)^2}\;\mathrm dx$ berechnet werden. Für das Intervall $0\leq x\leq 50$ wurde mit dieser Gleichung die Länge $k_1\approx60\,\text{m}$ ermittelt.
Berechne die Länge der Bahn im Intervall $0\leq x\leq 120$ .

(3 BE)

Um die aktuelle Geschwindigkeit der Wagen der Achterbahn anzuzeigen, sind diese jeweils mit einem Tachometer ausgerüstet. Mit Beginn des Bremsvorganges zeichnet ein Tachometer folgende Daten auf:

Zeit $t$ seit Beginn der Messung in $\text s$	Geschwindigkeit $v$ in $\text{m/s}$
0	20
2	10
4	4
6	1,5
10	0

(Erst nach 10 Sekunden kommt der Wagen zum Stillstand.)

Ermittle eine Gleichung für eine Funktion $v$ in Abhängigkeit von $t$ , die diesen Sachverhalt näherungsweise beschreibt.
Bestimme den Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $v$ und der $t$ -Achse im Intervall $0\leq t\leq10$ .
Interpretiere dieses Ergebnis im Zusammenhang mit dem Sachverhalt.

(3 BE)

Graphen von $\boldsymbol{g_1}$ und $\boldsymbol{g_3}$ darstellen

Der CAS liefert folgende graphische Darstellung der beiden Funktionen $g_1$ und $g_3,$ sowie eine Wertetabelle für die beiden betrachteten Funktionen:

Grafische Darstellung von Funktionen f1(x) und f2(x) mit Koordinatensystem und Werten in einer Tabelle.

Unter Zuhilfenahme der Wertetabelle und Beachtung der in der Aufgabenstellung angegebenen Intervalle ergibt sich folgende Abbildung:

Möglichen Verlauf des Graphen von $\boldsymbol{g_2}$ skizzieren

Der Graph der Funktion $g_2$ soll knickfrei in die beiden bereits eingezeichneten Graphen übergehen, somit ergibt sich ein möglicher Verlauf des Graphen von $g_2$ wie folgt:

Maximale Höhe berechnen

Mit dem CAS folgt für die ersten beiden Ableitungen von $g_1:$

$\(g_1$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(g_1$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&5 \\[5pt] x_2&=&50 \end{array}$

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einer digitalen Lernumgebung.

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} g_1$

Mathematische Berechnungen in einem Programm, einschließlich Gleichungen und Lösungen.

Dem Verlauf des Graphen von $g_1$ ist zu entnehmen, dass keine Randmaxima existieren. Somit besitzt der Graph von $g_1$ an der Stelle $x_1=5$ ein Hochpunkt. Einsetzen von $x_1$ in $g_1$ liefert die gesuchte maximale Höhe von $g_1(5)\approx27,34\;[\text{m}].$

Punkt bestimmen, in dem Gefälle am größten ist

Mit dem CAS folgt für die dritte Ableitung von $g_1:$

$\(g_1$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(g_1$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_3&=&20 \\[5pt] x_4&=&50 \end{array}$

Mathematische Gleichungen und Berechnungen auf einem Bildschirm, mit Fokus auf Ableitungen und Lösungen.

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} g_1$

Bildschirmaufnahme eines mathematischen Programms mit Berechnungen und Gleichungen.

Dem Verlauf des Graphen von $g_1$ ist zu entnehmen, dass das Gefälle an der Stelle $x_3=20$ größer als an der Stelle $x_4=0$ ist. Einsetzen von $x_3$ in $\(g_1$ liefert $\(g_1$ Die Koordinaten des Punktes $P,$ in dem das Gefälle in diesem Intervall am größten ist betragen somit $P(20\mid16,2).$

Größe des Winkels bestimmen

Mit dem CAS folgt für die Funktionsgleichung der Normalen im Punkt $P(20\mid16,2):$

$n(x)=\dfrac{25}{27}x -\dfrac{313}{135}$

Da die Normale eine Gerade ist, folgt aus der Funktionsgleichung direkt ihre Steigung von $m=\frac{25}{27}.$

Mathematische Berechnungen zu Ableitungen und Normalenlinien in einer Softwareanwendung.

Für den Winkel, den die Normale mit der $x$ -Achse einschließt, folgt somit mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{25}{27} \\[5pt] \alpha&\approx&42,8^\circ \end{array}$

Koordinaten der Punkte bestimmen

Wenn die Sonnenstrahlen einen Winkel von $45^\circ$ mit der Horizontalen einschließen, dann gilt für die Steigung $m_1$ der Normalen an den Graphen $g_1$ in diesem Punkt:

$m_1=\tan(45^\circ)=1$

Die Steigung der zugehörigen Tangente an $g_1$ und somit der Wert von $\(g$ an diesem Punkt beträgt damit $\(g$ Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx&15,51 \\[5pt] x_2&=&25 \\[5pt] x_3&\approx&64,5 \end{array}$

Da $x_3\notin[0;50]$ gilt, kommt dieser Wert nicht infrage.

Mathematische Gleichungen und Lösungen in einem digitalen Lernformat.

Einsetzen von $x_1=-10\cdot(\sqrt{6}-4)$ und $x_2=25$ in $g_1$ liefert die Koordinaten $P_1=\left(-10\cdot (\sqrt{6}-4) \mid \frac{26 \cdot \sqrt{6} +41}{5}\right)$ und $P_2\left( 25 \mid \frac{175}{16} \right)$ der gesuchten Punkte.

Damit der Graph von $g_2$ knickfrei in die anderen beiden Graphen übergeht, müssen folgende Bedingungen gelten:

$\(\begin{array}[t]{rll} g_2(50)&=&g_1(50) \\[5pt] g_2(70)&=&g_3(70) \\[5pt] g_2$

Anhand des in Teilaufgabe a) skizzierten Graphen ist ersichtlich, dass $g_2$ weder eine lineare noch quadratische Funktion sein kann. Ein möglicher Ansatz ist nun, eine kubische Funktion $g_2$ zu konstruieren, das heißt $g_2$ und $\(g_2$ sind der folgenden allgemeinen Formen:

$g_2(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

$\(g_2$

Mit dem CAS ergeben sich die Werte $g_1(50) = 0,$ $g_3(70)=5,$ $\( g_1$ und $\(g_3$ für die obigen Bedingungen. Zusammen mit den allgemeinen Funktionsgleichungen ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:

Gleichungssystem anzeigen

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} a&=&-\dfrac{1}{800} \\[5pt] b&=&\dfrac{9}{40} \\[5pt] c&=&-\dfrac{105}{8} \\[5pt] d&=&250 \end{array}$

Mathematische Gleichungen und Lösungen für Variablen a, b, c und d in einer Programmierumgebung.

Ein möglicher Funktionsterm von $g_2$ ist somit gegeben durch $g_2(x)=-\dfrac{1}{800}x^3 +\dfrac{9}{40}x^2$ $-\dfrac{105}{8}x +250.$

1. Schritt: Länge im Intervall $\boldsymbol{[50;70]}$ berechnen

Im Intervall $[50;70]$ wird die Bahn durch $g_2$ beschrieben. Ableiten der in der Aufgabenstellung gegebenen Funktionsgleichung von $g_2$ im CAS und Einsetzen in die Formel für die Länge liefert mit Hilfe des CAS:

$\(\begin{array}[t]{rll} k_2&=&\displaystyle\int_{50}^{70}\sqrt{1+(g_2$

Mathematische Berechnungen und Ableitungen auf einem Bildschirm.

2. Schritt: Länge im Intervall $\boldsymbol{[70;120]}$ berechnen

Im Intervall $[70;120]$ wird die Bahn durch $g_3$ beschrieben. Da $g_3$ konstant ist, ergibt sich die Länge der Bahn direkt als Differenz der Randstellen:

$k_3=120-70=50\;[\text{m}]$

3. Schritt: Länge im Intervall $\boldsymbol{[0;120]}$ berechnen

Für die gesuchte Länge der Bahn folgt nun mit den berechneten Werten:

$\begin{array}[t]{rll} k&=&k_1+k_2+k_3 \\[5pt] &\approx&130,74\;[\text{m}] \end{array}$

Gleichung für $\boldsymbol{v}$ ermitteln

Wegen der Werte aus der Tabelle kommt eine konstante oder lineare Funktion $v$ nicht infrage. Eintragen der Werte aus der Tabelle im CAS und Durchführen einer quadratischen Regression liefert einen Funktionsgraphen, der zweitweise unterhalb der $x$ -Achse verläuft. Im Sachzusammenhang ist das nicht sinvoll, da das bedeuten würde, dass die Achterbahn dort rückwärts fährt.
Kubische Regression liefert einen Funktionsgraphen für $v,$ der im betrachteten Zeitraum überhalb der $x$ -Achse liegt. Für die Funktionsgleichung gilt:

$v(t)=-0,027123t^3 +0,708221t^2$ $-6,37197t +20,03$

Der im CAS angezeigte Korrelationskoeffizient beträgt nahezu $1,$ sodass die erhaltene Funktionsgleichung sehr gut zu den in der Tabelle angegebenen Werten passt und als gute Näherung des Sachverhalts angenommen werden kann.

Flächeninhalt bestimmen

Mit Hilfe des CAS und der eben bestimmten Funktionsgleichung für $v$ folgt für den gesuchten Flächeninhalt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{0}^{10}v(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &=&50\;[FE] \end{array}$

Mathematische Berechnung mit einer Funktion und dem Integral von v(t) von 0 bis 10.

Ergebnis im Sachzusammenhang interpretieren

Die Funktion $v$ beschreibt im Intervall $0\leq t\leq10$ die Geschwindigkeit des Wagens der Achterbahn beim Bremsvorgang. Der über das Integral berechnete Flächeninhalt der betrachteten Fläche unter dem Graphen von $v$ gibt somit den Bremsweg des Wagens in Metern an.

Graphen von $\boldsymbol{g_1}$ und $\boldsymbol{g_3}$ darstellen

Der CAS liefert folgende graphische Darstellung der beiden Funktionen $g_1$ und $g_3,$ sowie eine Wertetabelle für die beiden betrachteten Funktionen:

Tabelle mit Werten für x, y1 und y2 sowie ein Diagramm einer Funktion.

Unter Zuhilfenahme der Wertetabelle und Beachtung der in der Aufgabenstellung angegebenen Intervalle ergibt sich folgende Abbildung:

Möglichen Verlauf des Graphen von $\boldsymbol{g_2}$ skizzieren

Der Graph der Funktion $g_2$ soll knickfrei in die beiden bereits eingezeichneten Graphen übergehen, somit ergibt sich ein möglicher Verlauf des Graphen von $g_2$ wie folgt:

Maximale Höhe berechnen

Mit dem CAS folgt für die ersten beiden Ableitungen von $g_1:$

$\(g_1$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(g_1$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&5 \\[5pt] x_2&=&50 \end{array}$

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einem Programmierumfeld.

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} g_1$

Mathematische Berechnungen und Ableitungen in einer Softwareumgebung.

Punkt bestimmen, in dem Gefälle am größten ist

Mit dem CAS folgt für die dritte Ableitung von $g_1:$

$\(g_1$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(g_1$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_3&=&20 \\[5pt] x_4&=&50 \end{array}$

Mathematische Berechnungen und Funktionen in einem Software-Interface dargestellt.

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} g_1$

Mathematische Gleichungen und Funktionen in einem Textfeld dargestellt.

Größe des Winkels bestimmen

Mit dem CAS folgt für die Funktionsgleichung der Normalen im Punkt $P(20\mid16,2):$

$n(x)=\dfrac{25}{27}x -\dfrac{313}{135}$

Da die Normale eine Gerade ist, folgt aus der Funktionsgleichung direkt ihre Steigung von $m=\frac{25}{27}.$

Mathematische Berechnungen und Formeln auf einem Bildschirm, inklusive Funktionen und Normalen.

Für den Winkel, den die Normale mit der $x$ -Achse einschließt, folgt somit mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{25}{27} \\[5pt] \alpha&\approx&42,8^\circ \end{array}$

Koordinaten der Punkte bestimmen

Wenn die Sonnenstrahlen einen Winkel von $45^\circ$ mit der Horizontalen einschließen, dann gilt für die Steigung $m_1$ der Normalen an den Graphen $g_1$ in diesem Punkt:

$m_1=\tan(45^\circ)=1$

Die Steigung der zugehörigen Tangente an $g_1$ und somit der Wert von $\(g$ an diesem Punkt beträgt damit $\(g$ Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx&15,51 \\[5pt] x_2&=&25 \\[5pt] x_3&\approx&64,5 \end{array}$

Da $x_3\notin[0;50]$ gilt, kommt dieser Wert nicht infrage.

Mathematische Berechnungen und Funktionen in einer Software-Oberfläche.

Damit der Graph von $g_2$ knickfrei in die anderen beiden Graphen übergeht, müssen folgende Bedingungen gelten:

$\(\begin{array}[t]{rll} g_2(50)&=&g_1(50) \\[5pt] g_2(70)&=&g_3(70) \\[5pt] g_2$

$g_2(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

$\(g_2$

Gleichungssystem anzeigen

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} a&=&-\dfrac{1}{800} \\[5pt] b&=&\dfrac{9}{40} \\[5pt] c&=&-\dfrac{105}{8} \\[5pt] d&=&250 \end{array}$

Mathematische Berechnungen und Gleichungen in einer grafischen Benutzeroberfläche.

Ein möglicher Funktionsterm von $g_2$ ist somit gegeben durch $g_2(x)=-\dfrac{1}{800}x^3 +\dfrac{9}{40}x^2$ $-\dfrac{105}{8}x +250.$

1. Schritt: Länge im Intervall $\boldsymbol{[50;70]}$ berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} k_2&=&\displaystyle\int_{50}^{70}\sqrt{1+(g_2$

Mathematische Berechnungen und Funktionen in einem Software-Interface.

2. Schritt: Länge im Intervall $\boldsymbol{[70;120]}$ berechnen

Im Intervall $[70;120]$ wird die Bahn durch $g_3$ beschrieben. Da $g_3$ konstant ist, ergibt sich die Länge der Bahn direkt als Differenz der Randstellen:

$k_3=120-70=50\;[\text{m}]$

3. Schritt: Länge im Intervall $\boldsymbol{[0;120]}$ berechnen

Für die gesuchte Länge der Bahn folgt nun mit den berechneten Werten:

$\begin{array}[t]{rll} k&=&k_1+k_2+k_3 \\[5pt] &\approx&130,74\;[\text{m}] \end{array}$

Gleichung für $\boldsymbol{v}$ ermitteln

$v(t)=-0,027123t^3 +0,708221t^2$ $-6,37197t +20,03$

Flächeninhalt bestimmen

Mit Hilfe des CAS und der eben bestimmten Funktionsgleichung für $v$ folgt für den gesuchten Flächeninhalt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{0}^{10}v(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &=&50\;[FE] \end{array}$

Ergebnis im Sachzusammenhang interpretieren