Teil A

Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x) = x(x-1)$ $(x \in \mathbb{R}).$

Skizziere den Graphen von $f.$

(1 BE)

Der Graph von $f$ begrenzt mit der $x$ -Achse eine Fläche vollständig.
Berechne den Flächeninhalt dieser Fläche.

(2 BE)

Der Graph der Funktion $g$ geht durch Streckung in $y$ -Richtung aus dem Graphen von $f$ hervor.
Der Graph von $g$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche von $\dfrac{1}{2}\,\text{FE}$ ein.
Bestimme eine zugehörige Funktionsgleichung für $g.$

(2 BE)

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades besitzt an der Stelle $x = 4,5$ einen Tiefpunkt.
Beurteile, ob die Graphen $g$ und $h$ die grafischen Darstellungen der ersten und zweiten Ableitungsfunktion dieser Funktion $f$ sein können.

thüringen mathe abi 2016 teil a abbildung 1 graph einer ganzrationalen funktion f

(2 BE)

Eine zum Koordinatensystem symmetrische Funktion dritten Grades $f$ hat an der Stelle $x=1$ die Tangente $t$ mit $t(x) = -2x + 3$ $(x \in \mathbb{R}).$
Ermittle eine Gleichung der Funktion $f.$

(3 BE)

Die Punkte $P_k(-k \mid 2 + k \mid 2)$ mit $k \in \mathbb{R}$ liegen auf einer Geraden $g.$

Gib eine Parametergleichung für die Gerade $g$ an.
Beschreibe die Lage dieser Geraden im Koordinatensystem.

(2 BE)

Bestimme einen Wert für $k$ so, dass die Punkte $A(1 \mid 2 \mid 1),$ $B(-1 \mid 3 \mid 1)$ und $P_k$ ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $\overline{AP_k}$ bilden.

(3 BE)

Eine Urne enthält acht Kugeln, davon sind zwei schwarz und sechs weiß.

Es werden nacheinander drei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ergebnisse:

$A:$ $=$

„Alle Kugeln sind weiß.“

$B:$ $=$

„Mindestens eine Kugel ist weiß.“

(2 BE)

Der folgende Ausschnitt eines Baumdiagrammes enthält nur die Äste, die zum Ereignis $C$ führen.

Beschreibe das Zufallsexperiment und das Ereignis $C$ so, dass diese zum Baumdiagramm passen.
Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $C$ an.

(3 BE)

$f$ ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, das heißt der zugehörige Graph ist eine Parabel. Der Funktionsterm liefert direkt die beide Nullstellen des Graphen, $x_1=0$ und $x_2=1.$ Der $x$ -Wert des Scheitelpunkts der Parabel liegt mittig dazwischen, bei $x_S=0,5.$
Einsetzen von $x_S$ und zwei weiteren Hilfswerten in $f(x)$ zum leichteren Einzeichnen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&=&0,5\cdot (0,5-1) \\[5pt] &=&-0,25 \\[5pt] f(-2)&=& -2\cdot(-2-1) \\[5pt] &=& 6\\[5pt] f(2)&=& 2\cdot (2-1)\\[5pt] &=&2 \end{array}$

Es ergibt sich folgender Graph von $f:$

Mit den beiden Nullstellen von $f$ als Integrationsgrenzen folgt für den gesuchten Flächeninhalt:

Rechenweg anzeigen

$A = \dfrac{1}{6}$

Der Graph von $f$ schließt mit der $x$ -Achse somit eine Fläche der Größe $\frac{1}{6}\;\text{FE}$ ein.

Der Graph von $g$ geht aus dem von $f$ durch Streckung in $y$ -Richtung hervor, das heißt es gilt $g(x)=a\cdot f(x)$ für $a\gt1.$ Der Graph von $g$ hat somit die gleichen Nullstellen wie der Graph von $f$ und mit dem Ergebnis aus Aufgabenteil b) folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_g&=& \dfrac{1}{2} \\[5pt] \left|\displaystyle\int_{0}^{1}a\cdot f(x)\;\mathrm dx \right|&=& \dfrac{1}{2} \\[5pt] a\cdot \left|\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx \right|&=&\dfrac{1}{2} \\[5pt] a\cdot\dfrac{1}{6}&=& \dfrac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 6\\[5pt] a&=& 3 \end{array}$

Eine Funktionsgleichung von $g$ ist somit gegeben durch $g(x)=3x(x-1).$

Die Funktion $f$ ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die erste Ableitung $\(f$ hat somit Grad zwei und die zweite Ableitung $\(f$ Grad eins, das heißt $g$ müsste die erste Ableitung sein und $h$ die zweite.
Aus der Abbildung folgt, dass $g$ an der Stelle $x \approx 4,5$ eine Nullstelle besitzt, aber $h(4,5) \lt 0$ gilt. Somit ist die hinreichende Bedingung für eine Minimalstelle von $f$ bei $x=4,5$ nicht erfüllt, das heißt der Graph von $g$ könnte zwar die graphische Darstellung von $\(f$ sein, der Graph von $h$ allerdings nicht die von $\(f$

Die Funktion $f$ ist eine zum Koordinatensystem symmetrische Funktion dritten Grades, das heißt besitzt nur ungerade Exponenten und ist somit der Form $f(x)=ax^3+cx.$ Für die erste Ableitung von $f$ folgt:

$\(f$

Die Tangente $t(x)=-2x+3$ berührt den Graphen von $f$ im Punkt $x=1.$ Mit der Steigung $m=-2$ der Tangente folgt somit $\(f$ zudem folgt durch Einsetzen von $x=1$ in $t(x):$

$f(1)=t(1)=-2\cdot1+3=1$

Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&3a+c&=& -2 \\ \text{II}\quad&a+c&=&1 \\ \end{array}$

Die zweite Zeile liefert $c=1-a.$ Einsetzen in die erste Zeile ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 3a+1-a&=&-2 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 2a&=&-3 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] a&=&-\dfrac{3}{2} \end{array}$

Damit folgt für $c:$

$c=1-a=1-(-\dfrac{3}{2})=\dfrac{5}{2}$

Eine Funktionsgleichung von $f$ lautet somit $f(x)=-\frac{3}{2}x^3+\frac{5}{2}x.$

Parametergleichung angeben

$\overrightarrow{OP}_k = \pmatrix{-k\\2+k\\2}$ $=\pmatrix{0\\2\\2}+ \pmatrix{-k\\k\\0}$

Eine Gleichung der Geraden $g$ lautet somit wie folgt:

$g:\overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\2\\2}+k\cdot \pmatrix{-1\\1\\0}$

Lage im Koordinatensystem beschreiben

Die $z$ -Koordinate des Richtungsvektors ist Null, das heißt alle Punkte $P_k$ haben die gleiche $z$ -Koordinate, und $g$ liegt somit parallel zur $xy$ -Ebene.

Ein rechtwinkliges Dreieck $ABP_k$ mit der Strecke $\overline{AP_k}$ als Hypotenuse besitzt den rechten Winkel im Punkt $B,$ das heißt zwischen den Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BP_k}.$ Für die zugehörigen Vektoren folgt:

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-1\\3\\1}-\pmatrix{1\\2\\1}$ $= \pmatrix{-2\\1\\0}$

$\overrightarrow{BP_k}$ $= \pmatrix{-k\\2+k\\2}-\pmatrix{-1\\3\\1}$ $=\pmatrix{-k+1\\-1+k\\1}$

Mit dem Skalarprodukt dieser beiden Vektoren folgt nun:

Rechenweg anzeigen

$k=1$

Für $k=1$ bilden die drei Punkte $A, B$ und $P_k$ somit ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $\overline{AP_k}.$

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&\dfrac{6}{8}\cdot \dfrac{5}{7} \cdot \dfrac{4}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{120}{336} \\[5pt] &=&\dfrac{5}{14} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overline{B}$ von $B,$ dass keine gezogene Kugel weiß ist, ist Null, da die Urne nur zwei Schwarze Kugeln enthält. Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& 1- P\left(\overline{B}\right) \\[5pt] &=& 1-0 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Zufallsexperiment und Ereignis $\boldsymbol{C}$ beschreiben

In dem Zufallsexperiment wird viermal aus einer Urne gezogen, da dass Baumdiagramm vier Ebenen hat. Die Wahrscheinlichkeit eine schwarze oder weiße Kugel zu ziehen, bleibt bei jedem Zug gleich und stimmt mit den Anfangswahrscheinlichkeiten aus Aufgabenteil a) überein. Da in jedem Pfad eine weiße und drei Schwarze Kugeln gezogen werden, lautet eine mögliche Beschreibung des Zufallsexperiments und des Ereignisses $C$ wie folgt:
Aus der in der Aufgabenstellung gegebenen Urne wird viermal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen und Ereignis $C$ ist, dass dabei genau eine schwarze Kugel gezogen wird.

Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit angeben

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der schwarzen Kugeln, die bei vier Zügen mit Zurücklegen gezogen werden. $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n=4$ und $p=0,25,$ da die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel pro Zug gleichbleibt und es nur zwei mögliche Ergebnisse pro Zug gibt. Mit der Formel für die Binomialverteilung folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=&B_{4;0,25}(X=1) \\[5pt] &=&\pmatrix{4\\1}\cdot 0,25^1\cdot 0,75^{4-1} \\[5pt] &=& 4\cdot 0,25\cdot 0,75^3 \\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $C$ lässt sich somit mit dem Term $4\cdot 0,25\cdot 0,75^3$ berechnen.