Wahlaufgaben

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=a \cdot x^2.$ Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $\left(4 \;\left\lvert\; f_{\frac{1}{2}}(4)\right.\right)$ .

Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente $t$ an.

(1 BE)

Weise nach, dass für jeden Wert für $u \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(u \mid f_a(u)\right)$ die $y$ -Achse im Punkt $\left(0 \mid-f_a(u)\right)$ schneidet.

(4 BE)

Für eine Zahl $a\gt0$ zeigt die Abbildung den Graphen $G$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-2 a x^2+a^2 x$ sowie die Gerade $h.$ $G$ und $h$ schneiden sich im Koordinatenursprung und $h$ verläuft senkrecht zur Tangente an $G$ im Koordinatenursprung. Zudem berühren sich $G$ und die $x$ -Achse im Punkt $(a \mid 0).$

Betrachtet wird dasjenige Rechteck, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

Die beiden gemeinsamen Punkte von $G$ und der $x$ -Achse sind zwei benachbarte Eckpunkte des Rechtecks.
Eine Diagonale liegt auf der Geraden $h.$

Skizziere das Rechteck in der Abbildung und zeige, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von $a$ ist.

(5 BE)

Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung). Die Eckpunkte $A(1\mid2\mid 1),$ $B,$ $C(-3\mid-6\mid 9)$ und $D$ des Oktaeders liegen in der Ebene $H$ mit der Gleichung $2x+y+2z=6.$

Weise nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt.

(2 BE)

Bestimme die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in $H$ liegen.

(3 BE)

Gegeben ist die Schar der Geraden $g_k: \overrightarrow{x}=\pmatrix{k\\-4k\\k}+\mu \cdot\pmatrix{4\\8\\1}$ mit $\mu, k \in \mathbb{R}.$

Begründe, dass alle Geraden der Schar parallel zueinander sind.

(1 BE)

Betrachtet wird das Quadrat mit folgenden Eigenschaften:

Die Punkte $O(0\mid0\mid 0)$ und $P(11\mid4\mid 5)$ sind Eckpunkte des Quadrats.
Zwei Seiten des Quadrats liegen auf Geraden der Schar.

Weise nach, dass $O$ und $P$ keine benachbarten Eckpunkte dieses Quadrats sind.

(4 BE)

Die drei nicht sichtbaren Seiten des abgebildeten Würfels sollen jeweils mit einer der Zahlen $3, 4, 5$ oder $6$ beschriftet werden. Dabei können Zahlen auch mehrfach verwendet werden.

Nach der Beschriftung soll der Würfel folgende Eigenschaften haben:

Beim einmaligen Werfen ist der Erwartungswert für die erzielte Zahl gleich $4.$
Auf den sechs Seiten des Würfels kommen genau drei verschiedene Zahlen vor.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, beträgt $\frac{1}{2}.$

Untersuche, ob es möglich ist, die nicht sichtbaren Seiten des Würfels so zu beschriften, dass er alle drei Eigenschaften besitzt.

(5 BE)

Betrachtet wird ein Tetraeder, bei dem die Seiten mit den Zahlen $1$ bis $4$ durchnummeriert sind. Beim Werfen des Tetraeders werden alle Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit erzielt. Das Tetraeder wird viermal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Würfe, bei denen die Zahl $1$ erzielt wird. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abb. 1

Abb. 2

Die Zufallsgröße $Y$ gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen die Zahl $1$ nicht erzielt wird. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ in Abbildung 2 dar.

(2 BE)

Bei einem anderen Zufallsexperiment werden ein roter und ein grüner Würfel, bei denen die Seiten jeweils mit den Zahlen $1$ bis $6$ durchnummeriert sind, viermal gleichzeitig geworfen. Gib zu diesem Zufallsexperiment eine Zufallsgröße $Z$ an, die die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung hat wie $X,$ und begründe deine Angabe.

(3 BE)

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Die Tangente $t,$ gegeben durch die Gleichung $t(x)=mx+n,$ hat eine positive Steigung, einen $y$ -Achsenabschnitt von $n=-8$ und schneidet die $x$ -Achse bei $2.$ Für die Steigung $m$ folgt somit:

$m=\dfrac{0-(-8)}{2-0}=\dfrac{8}{2}=4$

Somit ergibt sich die Gleichung $t(x)=4x-8.$

Die allgemeine Gleichung der Tangente ist gegeben durch $t(x)=mx+n.$ Für die Ableitung von $f_a(x)$ gilt:

$\(f_a$

Somit folgt $f_a(u)=au^2$ und $\(m=f_a$ Einsetzen der Koordinaten des Punktes, an dem die Tangente den Graphen berührt, in die Gleichung der Tangente liefert somit:

$\begin{array}[t]{rll} au^2&=&2au\cdot u + n &\quad \scriptsize \mid\;-2au^2 \\[5pt] -au^2&=&n \end{array}$

Somit gilt $n=-au^2=-f_a(u)$ und die Tangente schneidet die $y$ -Achse damit im Punkt $(0\mid-f_a(u)).$

Rechteck skizzieren

Unabhängigkeit des Flächeninhalts zeigen

Die Länge der Seite des Rechtecks, die auf der $x$ -Achse verläuft, ergibt sich durch die Differenz der $x$ -Werte der beiden Punkte, in denen $G$ die $x$ -Achse berührt, als $a.$ Für die Ableitung der Funktion $f$ gilt:

$\(f$

Da $h$ senkrecht zur Tangente an $G$ im Koordinatenursprung verläuft, ergibt sich mit Hilfe von $\(f$ die Steigung von $h$ als $\(-\frac{1}{f$ Somit folgt $h(x)=-\frac{1}{a^2}x.$ Für die Länge der kürzeren Rechteckseite folgt damit:

$\vert h(a)\vert = \left\vert-\dfrac{1}{a^2}\cdot a\right\vert = \dfrac{1}{a}$

Damit folgt für den Flächeninhalt $A$ des Rechtecks $A=a\cdot\frac{1}{a}=1,$ womit dieser unabhängig von $a$ ist.

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{-3\\-6\\9}-\pmatrix{1\\2\\1}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{-4\\-8\\8}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2} \\[5pt] &=&\sqrt{144} \\[5pt] &=&12 \end{array}$

Der Ortsvektor des Mittelpunkts $M$ der Strecke $\overline{AC}$ ergibt sich wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AC} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\2\\1}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{-4\\-8\\8} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1\\-2\\5} \end{array}$

Aus der Ebenengleichung von $H$ lässt sich zudem der folgende Normalenvektor ablesen:

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{2\\1\\2}$

Es gilt $\vert\overrightarrow{n}\vert=\sqrt{2^2+1^2+2^2}$ $=\sqrt{9}=3.$ Da die Kantenlänge des Würfels $12$ beträgt, ist der Abstand des gesuchten Eckpunktes des Oktaeders zu $M$ durch $6$ gegeben. Ein möglicher Ortsvektor ergibt sich somit als:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}+2\cdot\overrightarrow{n}&=&\pmatrix{-1\\-2\\5}+2\cdot\pmatrix{2\\1\\2} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\0\\9} \end{array}$

Mögliche Koordinaten für den gesuchten Punkt sind somit gegeben durch $(3\mid0\mid9).$

Der Richtungsvektor der Geradenschar hängt nicht von $k$ ab, somit sind alle Geraden der Schar parallel zueinander.

Falls die Punkte $O$ und $P$ benachbarte Eckpunkte wären, könnten sie entweder auf der gleichen Geraden der Geradenschar liegen, oder auf zwei unterschiedlichen. In ersten Fall muss $\overrightarrow{OP}$ ein Vielfaches von dem Richtungsvektor der Geradenschar sein. Das liefert folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&11&=&4s \\ \text{II}\quad&4&=&8s \\ \text{III}\quad&5&=&s \\ \end{array}$

Einsetzen der Lösung $s=5$ aus Gleichung $\text{III}$ in Gleichung $\text{I}$ ergibt $11=4\cdot5=20,$ was einen Widerspruch liefert. Somit besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, das heißt $O$ und $P$ sind keine benachbarten Eckpunkte, die auf derselben Gerade der Schar liegen.

Im zweiten Fall muss $\overrightarrow{OP}$ orthogonal zum Richtungsvektor der Geradenschar liegen. Überprüfen ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{11\\4\\5}\circ\pmatrix{4\\8\\1}&=&11\cdot4+4\cdot8+5\cdot1 \\[5pt] &=&44+32+5 \\[5pt] &=&81\neq 0 \end{array}$

Somit sind $O$ und $P$ auch keine benachbarten Eckpunkte, die auf verschiedenen Geraden der Schar liegen. Damit können $O$ und $P$ insgesamt keine benachbarten Eckpunkte des Quadrats sein.

Da jede Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewürfelt wird, folgt mit Hilfe des Erwartungswerts $E=4$ für die Summe $x=x_1+x_2+x_3$ der Zahlen auf den drei nicht sichtbaren Seiten des Würfels:

Rechenweg anzeigen

$x=13$

Die Zahlen $3,5$ und $5$ ergeben zusammen $13$ und erfüllen auch die zweite Bedingung. Für die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, folgt in diesem Fall:

$\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{4}{6}+2\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}$

Somit ist für diese Beschriftung der restlichen drei Seiten auch die dritte Bedingung erfüllt.

Zufallsgröße angeben

$Z:$

Anzahl der Würfe, bei denen keine der beiden gewürfelten Zahlen größer als $3$ ist.

Angabe begründen

Beim einmaligen Werfen der beiden Würfel gibt es insgesamt $6\cdot6=36$ mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. Die Ergebnisse, bei denen keine der beiden Zahlen größer als $3$ ist, ergeben sich wie folgt:

$\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),$ $(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}$

Die Wahscheinlichkeit, bei einmaligem Würfeln keine Zahl zu erzielen, die größer als $3$ ist, ergibt sich somit zu $\frac{9}{36}=\frac{1}{4}.$ Die Zufallsgrößen $X$ und $Z$ sind somit beide binomialverteilt mit $p=\frac{1}{4}$ und $n=4,$ das heißt sie besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung.

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