Teil A

Gib in der Tabelle je eine zugehörige Funktionsgleichung an.

Funktionsgleichung von $\color{#fff}{f}$	Funktionsgleichung von $\(\color{#fff}{f$
$f(x)=(x+1)(x-1)$
$f(x)=4\sqrt{x}$
$f(x)=x\cdot \mathrm e^x$
	$\(f$
	$\(f$

(5 BE)

Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x) = \sin(x)$ mit $x \in \mathbb{R}$ .

Skizziere den Graphen von $f.$
Berechne den Inhalt der Fläche, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse im Intervall $-\pi \leq x \leq \pi$ vollständig begrenzt.

(3 BE)

Alle Ursprungsgeraden mit positivem Anstieg haben mit dem Graphen von $f$ im Intevall $-\pi \leq x \leq \pi$ gemeinsame Punkte.

Gib die Anzahl der gemeinsamen Punkte in Abhängigkeit vom Anstieg der Ursprungsgeraden an.

(2 BE)

Gegeben sind die Funktion $g$ mit $g(x) = -x+1$ sowie die Scharen der Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=ax^2$ und $p_a$ mit $p_a(x)=f_a(x) \cdot g(x) \;\; (a, x \in \mathbb{R}; a \neq 0).$

Begründe, dass jede Funktion $p_a$ die Nullstellen $x_1 = 0$ und $x_2 = 1$ besitzt.

(2 BE)

Es gibt einen Wert von $a$ , sodass der Graph von $p_a$ in einem Schnittpunkt mit der $x$ -Achse die Tangente mit $g(x)=-x+1$ besitzt.
Berechne diesen Wert für $a$ .

(3 BE)

Dargestellt sind Graphen der Schar $f_t$ mit $f_t(x) = \dfrac{10}{1+10 \cdot \mathrm e^{-t \cdot x}} \; (t \gt0)$ für zwei Werte $t_1$ und $t_2$ $(t_1 \neq t_2)$ sowie die Asymptote $y=b$ .
Die Graphen der Schar $f_t$ schneiden die $y$ -Achse im Punkt $P(0 \mid a)$ .

Gib die Werte von $a$ und $b$ an.

(2 BE)

Jeder Graph von $f_t$ besitzt einen Wendepunkt $W_t(x_w \mid y_w).$
Trage jeweils das richtige Relationszeichen ein.

$\(f$



$\(f$

$f_{t_1}(1)$



$f_{t_2}(1)$

$t_1$



$t_2$

(3 BE)

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $A(4 \mid 6 \mid 3), B(2 \mid 8 \mid 5)$ und $C(0 \mid 0 \mid 4)$ .

Berechne die Länge der Seitenhalbierenden vom Eckpunkt $C$ zur Seite $\overline{AB}.$

(3 BE)

Bei Spiegelung von $C$ am Mittelpunkt der Seite $\overline{AB}$ entsteht der Bildpunkt $\(C$ .
Ermittle die Koordinaten von $\(C$ .

(2 BE)

Für jede reelle Zahl $k$ sind die Vektoren $\overrightarrow{a_k} = \pmatrix{2\\k\\1}$ und $\overrightarrow{b_k} = \pmatrix{1\\-k\\k}$ gegeben.

Berechne die Werte für $k$ so, dass die Vektoren $\overrightarrow{a_k}$ und $\overrightarrow{b_k}$ orthogonal zueinander sind.

(3 BE)

Der Koordinatenursprung und die Vektoren $\overrightarrow{a_k}$ und $\overrightarrow{b_k}$ erzeugen für jedes $k$ eine Ebene $\epsilon_k$ .
Ermittle den Wert für $k$ so, dass $\epsilon_k$ die $xz$ -Ebene ist.

(2 BE)

Der Punkt $M$ ist Schnittpunkt der Diagonalen eines Quadrates $ABCD$ mit $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{e}$ .
Der Punkt $R$ ist der Mittelpunkt der Seite $\overline{AB}.$
Auf der Seite $\overline{CD}$ liegt ein Punkt $S$ , der diese Seite im Verhältnis $\overline{DS}: \overline{SC} = 1:4$ teilt.

Stelle den Sachverhalt graphisch dar.

(2 BE)

Gib die folgenden Vektoren nur unter Verwendung der Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{e}$ an.

$\overrightarrow{CD} =$

$\overrightarrow{MR} =$

$\overrightarrow{SM} =$

(3 BE)

In einem Restaurant wird ein Drei-Gänge-Menü gereicht. Erfahrungsgemäß wählen von 100 Gästen 60 keine Vorspeise, 40 verzichten auf die Nachspeise und 20 wählen weder Vorspeise noch Nachspeise. Alle Gäste wählen den Hauptgang.

Vervollständige folgende Vierfeldertafel.

	$\color{#fff}{\overline{V}}$	Gesamt
$\color{#fff}{N}$
$\color{#fff}{\overline{N}}$	$20$
Gesamt	$60$	$100$

Vorspeise $(V)$

Nachspeise $(N)$

(2 BE)

Gib die Anzahl der Gäste an, die alle drei Gänge wählen.

(1 BE)

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Gast, der keine Vorspeise wählt, auch auf die Nachspeise verzichtet.

(2 BE)

Die Füllmenge einer Abfüllmaschine für Milch wird normalverteilt mit einem Erwartungswert von $1000\;\text{ml}$ und einer Standardabweichung von $5\;\text{ml}$ modelliert.

Die Gleichung der Dichtefunktion einer Normalverteilung ist $\varphi(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \cdot \mathrm e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ .

Gegeben sind die Dichtefunktionen $\varphi_1,$ $\varphi_2,$ $\varphi_3$ durch:



$\varphi_1(x) = \dfrac{1}{\sqrt{50 \pi}} \cdot \mathrm e^{-\frac{(x-1005)^2}{50}}$



$\varphi_2(x) = \dfrac{1}{\sqrt{50 \pi}} \cdot \mathrm e^{-\frac{(x-1000)^2}{50}}$



$\varphi_3(x) = \dfrac{1}{\sqrt{8 \pi}} \cdot \mathrm e^{-\frac{(x-1000)^2}{8}}$

Kreuze die Gleichung an, die den obigen Sachverhalt korrekt beschreibt.
Ordne jedem Graphen die zugehörige Dichtefunktion zu.

(3 BE)

Gib die $2\sigma$ -Umgebung um den Erwartungswert an.
Beschreibe deren Bedeutung im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Die Abbildung zeigt ein zweistufiges Baumdiagramm für die Ereignisse $A$ und $B.$

thüringen mathe abi 2022 teil a abbildung 3 baumdiagramm

Berechne für $x = 0,5$ die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ .

(2 BE)

Berechne $x$ so, dass die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ minimal wird.

(3 BE)

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Tabelle anzeigen

Funktionsgleichung von $\color{#fff}{f}$	Funktionsgleichung von $\(\color{#fff}{f$
$f(x)=(x+1)(x-1)$	$\(f$
$f(x)=4\sqrt{x}$	$\(f$
$f(x)=x\cdot \mathrm e^x$	$\(f$
$f(x)=-\dfrac{3}{x^2}$	$\(f$
$f(x)=\dfrac{1}{12}(4x+1)^3$	$\(f$

Aufgrund der Punktsymmetrie von $f$ zum Ursprung gilt:

$A=2\cdot\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin(x)\;\mathrm dx$ $=2\cdot\left[-\cos(x)\right]_0^{\pi}$ $=2\cdot \left(-\cos(\pi)-(-\cos(0)\right)$ $=2\cdot (1+1)=4\;\left[\text{FE}\right]$

Ist die Steigung der Ursprungsgerade größer oder gleich der Steigung der Tangente an $f$ durch den Ursprung, so gibt es einen gemeinsamen Punkt. Für diese Steigung folgt:

$\(m=f$

Wenn die Steigung positiv und kleiner als $m$ ist, gibt es drei gemeinsame Punkte. Insgesamt gilt somit:

$m\geq 1$ ein gemeinsamer Punkt
$0\lt m\lt1$ drei gemeinsame Punkte

Aufgrund des Satzes vom Nullprodukt genügt es, die Nullstellen der einzelnen Faktoren zu betrachten:

$ax^2=0,$ also $x_1=0$

$-x+1=0,$ also $x_2=1$

Ausmultiplizieren der Funktionsgleichung und ableiten liefert:

$\(p_a$

Die Steigung der Tangente kann als $m=-1$ abgelesen werden und $g$ schneidet die $x$ -Achse in $x=1.$ Einsetzen in $\(p$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$a = 1$

$a=f_t(0)$ $=\dfrac{10}{1+10\cdot \mathrm e^{-t\cdot 0}}$ $=\dfrac{10}{11}$

Da $\lim\limits_{x\to\infty}\mathrm e^{-t\cdot x} = 0$ für $t\gt0$ gilt, folgt:

$b$ $=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{10}{1+10\cdot \underbrace{\mathrm e^{-t\cdot x}}_{0}}$ $=10$

$\(f_{t_1}$

$f_{t_1}(1)\gt f_{t_2}(1)$

$t_1\gt t_2$

$\overrightarrow{OM_{\overline{AB}}}$ $= \dfrac{1}{2}\cdot\left(\pmatrix{4\\6\\3}+\pmatrix{2\\8\\5}\right)$ $= \pmatrix{3\\7\\4}$

Für die Länge der Seitenhalbierenden folgt somit:

$\left|\overrightarrow{M_{\overline{AB}}C}\right|$ $=\left|\pmatrix{0\\0\\4}-\pmatrix{3\\7\\4}\right|$ $=\left|\pmatrix{-3\\-7\\0}\right|$ $=\sqrt{58}\,\left[\text{LE}\right]$