Teil C2

Das Berliner Robert-Koch-Institut (RKI) rechnete für das Jahr 2017 mit einem größeren Masernproblem als im Vorjahr. Bis März 2017 waren bundesweit bereits $203$ Fälle bestätigt, während 2016 insgesamt nur $326$ registriert wurden. Grund für diesen Anstieg ist eine zunehmende Impfmüdigkeit der Bevölkerung. Nur rund $70\,\%$ der Zweijährigen in Deutschland sind ausreichend gegen Masern geimpft, wünschenswert wären $95\,\%.$

Nach: Ostthüringer Zeitung, 11.03.2017, S. 8.

Es werden $n$ Zweijährige zufällig ausgewählt und auf ihren Masernimpfschutz überprüft. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Zweijährigen mit ausreichendem Masernimpfschutz.

Das exakte Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen aufgrund einer solchen Studie ist das Modell „Ziehen ohne Zurücklegen“.
Begründe, dass für diese Berechnungen trotzdem das Modell der Binomialverteilung angewendet werden kann.

(3 BE)

Verwende das Modell der Binomialverteilung mit $n=100$ und $p=0,7.$

Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

$A:\,=$

„Die Anzahl der Zweijährigen mit ausreichendem Masernimpfschutz weicht um höchstens $10\,\%$ vom Erwartungswert ab.“

$B:\,=$

„Bei mindestens der Hälfte aller Zweijährigen ist der Masernimpfschutz ausreichend.“

(4 BE)

Betrachtet wird das Ereignis:

$C:\,=$

„Bei mindestens $k$ der Zweijährigen ist der Masernimpfschutz ausreichend.“

Bestimme den Wert für $k$ so, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $C$ mindestens $90\,\%$ beträgt.

(3 BE)

Da die Masern eine ernstzunehmende Kinderkrankheit mit möglichen schwerwiegenden Komplikationen sind, wurde in den Medien 2017 verstärkt aufgeklärt.
Im Jahr 2018 soll dazu eine Studie in mehreren Kinderarztpraxen Deutschlands durchgeführt werden, die die Wirksamkeit der Aufklärungskampagne überprüft. Dabei wird untersucht, ob die Impfungsrate unter den Zweijährigen größer geworden ist. Hierzu werden die Impfdaten von $1000$ Zweijährigen erhoben. Der Test soll auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ durchgeführt werden.

Für die Variante 1 gilt: $H_0:\; p_0 \leq 0,7$ und $h_1:\, p_1\gt 0,7.$
Ermittle den zugehörigen Annahme- und Verwerfungsbereich für diese Variante und gib eine geeignete Entscheidungsregel bezogen auf den Sachverhalt an.

(4 BE)

Für die Variante 2 gilt: $H_0:\, p_0\geq 0,7$ und $H_1:\, p_1\lt 0,7.$
Ermittle nun den zugehörigen Annahme- und Verwerfungsbereich für diese Variante.

(3 BE)

Nimm an, du wärst für die Durchführung der Studie verantwortlich.
Gib die Variante an, für die du dich entscheiden würdest. Begründe deine Entscheidung.

(2 BE)

Der $\beta$ -Fehler (Fehler 2. Art) für Variante 1 lässt sich für jedes $p_1\gt 0,7$ mit $\beta_1 = B_{1000;p_1}(X\leq 724)$ berechnen.
Begründe diesen Ansatz.

(2 BE)

Stelle die Abhängigkeit des $\beta$ -Fehlers von der unbekannten Wahrscheinlichkeit $p_1$ für $p_1\gt 0,7$ graphisch dar (Variante 1).
Interpretiere den Verlauf des Graphen.

(4 BE)

Für jede reelle Zahl $a$ ist eine Gerade $g_a$ durch $g_a: \, \overrightarrow{x}= \pmatrix{3\\4\\6} +r\cdot \pmatrix{1\\0\\a}$ $(r\in \mathbb{R})$ gegeben.

Zeige, dass keine Gerade $g_a$ durch den Koordinatenursprung verläuft.

(2 BE)

Begründe, dass alle Geraden $g_a$ parallel zur $xz$ -Ebene verlaufen.
Gib den Abstand der Schar zur $xz$ -Ebene an.

(2 BE)

Bestimme eine Gleichung der Gerade $g_a,$ die die $y$ -Achse schneidet.

(2 BE)

Alle Geraden $g_a$ mit $a\neq 0$ durchstoßen die $xy$ -Ebene.
Die Durchstoßpunkte liegen auf einer Geraden.
Ermittle eine Gleichung für diese Gerade.

(3 BE)

Alle Geraden $g_a$ schneiden sich im Punkt $P(3\mid 4\mid 6).$
Ermittle alle Werte für $a$ so, dass sich die Geraden $g_1$ und $g_a$ unter einem Winkel von $60^{\circ}$ schneiden.

(3 BE)

Der Punkt $\(P$ ist der Spiegelpunkt des Punktes $P(3\mid 4\mid 6)$ an der $xz$ -Ebene. Der Koordinatenursprung und die Punkte $P$ und $\(P$ bilden ein Dreieck.
Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

(3 BE)

Im vorliegenden Fall besitzt jedes untersuchte zweijährige Kind entweder einen ausreichenden Masernimpfschutz oder nicht, das Zufallsexperiment hat also nur zwei Ausgänge.
Wird davon ausgegangen, dass die Eltern sich nicht untereinander absprechen, kann zudem davon ausgegangen werden, dass der Impfschutz der Zweijährigen unabhängig von einander ist.
Da die Gesamtanzahl aller Zweijährigen in Deutschland sehr groß ist, kann außerdem trotz „Ziehen ohne Zurücklegen“ von einer konstanten Wahrscheinlichkeit $p$ ausgegangen werden.
Insgesamt kann somit für die Berechnungen das Modell der Binomialverteilung angewendet werden.

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der Zweijährigen mit ausreichendem Masernimpfschutz beschreibt und binomialverteilt mit $n=100$ und $p = 0,7$ ist. Für den Erwartungswert von $X$ ergibt sich $\mu = n\cdot p$ $= 100\cdot 0,7 = 70.$ Mit dem CAS folgt:

$P(A)$ $= B_{100;0,7}(63\leq X \leq 77)$ $\approx 0,8991 = 89,91\,\%$

$P(B)$ $= B_{100;0,7}( X \geq 50)$ $= 1-B_{100;0,7}( X \leq 50)$ $\approx 1 = 100\,\%$

Gesucht ist der maximale Wert von $k$ so, dass folgendes gilt:

Rechenweg anzeigen

$B_{100;0,7}(X\leq k-1) \leq 0,1$

Systematisches Ausprobieren liefert mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} B_{100;0,7}(X\leq 63)&\approx& 0,0799 \\[5pt] B_{100;0,7}(X\leq 64)&\approx& 0,1161 \\[5pt] \end{array}$

Somit folgt $k = 64.$

Annahme- und Verwerfungsbereich ermitteln

Die Zufallsgröße $Y,$ die die Anzahl der Zweijährigen mit ausreichendem Masernimpfschutz beschreibt, wird als binomialverteilt mit $n=1000$ und $p=0,7$ angenommen.
Der Annahmebereich $A_1=\{0;\ldots;k_1\}$ und Verwerfungsbereich $V_1=\{k_1+1;\ldots;1000\}$ ergeben sich mit Hilfe des Wertes von $k_1,$ der aufgrund des Signifikanzniveaus von $5\,\%$ folgende Ungleichung erfüllt:

Rechenweg anzeigen

$B_{1000;0,7}(Y \leq k_1 ) \geq 0,95$

Systematisches Ausprobieren mit dem CAS liefert:

$\begin{array}[t]{rll} B_{1000;0,7}(Y \leq 724) &\approx& 0,9554 \\[5pt] B_{1000;0,7}(Y \leq 723) &\approx& 0,9484 \\[5pt] \end{array}$

Somit folgt $k_1= 724$ und damit:

$A_1= \{0;\ldots;724\}$

$V_1=\{725;\ldots;1000\}$

Entscheidungsregel angeben

Sind unter den $1000$ untersuchten Zweijährigen mindestens $725$ geimpfte Kinder, so kann man davon ausgehen, dass sich der Anteil der Zweijährigen mit einem ausreichenden Masernimpfschutz erhöht hat.

Gesucht sind nun Annahme- und Verwerfungsbereich der folgenden Form:

$A_2=\{k_2+1;\ldots;1000\}$

$V_2=\{0;\ldots;k_2\}$

Aufgrund des Signifikanzniveaus muss $k$ nun folgende Ungleichung erfüllen:

$B_{1000;0,7}(Y\leq k_2 ) \leq 0,05$

Systematisches Ausprobieren mit dem CAS liefert:

$\begin{array}[t]{rll} B_{1000;0,7}(Y\leq 675 )&\approx& 0,0462 \\[5pt] B_{1000;0,7}(Y\leq 676 )&\approx& 0,0532 \\[5pt] \end{array}$

Somit gilt $k_2= 675$ und für den Annahme- und Verwerfungsbereich folgt:

$A_2=\{676;\ldots;1000\}$

$V_2=\{0;\ldots;675\}$

Mit dem Test in Variante 2 wird nur überprüft, ob sich die Impfrate verschlechtert hat. Hier wird bereits ab $676$ Kindern mit ausreichendem Masernimpfschutz, also weniger als dem Erwartungswert von $700$ Kindern bei einer gleichgebliebenen Impfrate, davon ausgegangen werden, dass die Impfrate mindestens gleich hoch geblieben ist. Das führt zu einer hohen Fehlerwahrscheinlichkeit.
In Variante 1 wird erst von einer verbesserten Impfrate ausgegangen, wenn mindestens $725$ Kinder mit ausreichendem Impfschutz in der Stichprobe sind. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist hier somit deutlich geringer, da erst bei signifikant mehr Kindern mit ausreichendem Impfschutz von einer verbesserten Impfrate ausgegangen wird. Somit spricht mehr für Variante 1.

Der Fehler 2. Art wird begangen, wenn das Stichprobenergebnis die Nullhypothese bestätigt, obwohl eigentlich die Wahrscheinlichkeit $p_1$ der Gegenhypothese gilt, das heißt wenn die Nullhypothese fälschlicherweise nicht abgelehnt wird.
Die zugehörige Zufallsgröße $Y_1$ ist binomialverteilt mit $n=1000$ und $p=p_1.$ Die Wahrscheinlichkeit $\beta_1$ für den Fehler 2. Art ergibt sich somit als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Stichprobenergebnis trotzdem im Annahmebereich liegt:

$\begin{array}[t]{rll} \beta_1 &=& P(Y_1 \in A_1) \\[5pt] &=& B_{1000;p_1}(X \leq 724) \end{array}$

Fehler grafisch darstellen

Einsetzen einer Variable $x$ für die Wahrscheinlichkeit liefert mit der Verwendung des BinomCDf-Befehl des CAS im Graphik-Menü als Funktion folgenden Graphen:

TI nspire CAS

Casio Classpad II

Verlauf des Graphen interpretieren

Im betrachteten Bereich von $p_1\gt0,7$ bzw. $x\gt0,7$ fällt der Graph sehr steil gegen Null. Bereits ab ca. $x = 0,76$ erreicht der Graph annähernd die $x$ -Achse. Der Test besitzt somit eine hohe Güte, vorhandene Änderungen im Impfverhalten aufzudecken.

Der zweite Eintrag des Richtungsvektors beträgt $0,$ somit besitzt jeder Punkt auf den Geraden $g_a$ die $y$ -Koordinate $4 +r\cdot0 = 4.$ Der Koordinatenursprung mit den Koordinaten $(0\mid 0\mid 0)$ liegt damit auf keiner der Geraden $g_a.$

Nach Aufgabenteil a) besitzen alle Punkte auf den Geraden $g_a,$ unabhängig vom Parameter $a,$ die $y$ -Koordinate $4.$ Somit befinden sich alle Geraden $g_a$ in der Ebene mit der Gleichung $y=4.$ Da die $xz$ -Ebene durch die Gleichung $y=0$ beschrieben wird, verlaufen alle Geraden $g_a$ parallel zu dieser und haben einen Abstand von $4$ Längeneinheiten zu ihr.

Die Gerade $g_a$ schneidet die $y$ -Achse, wenn auf $g_a$ ein Punkt liegt, dessen $x$ - und $z$ -Koordinaten $0$ sind. Gleichsetzen liefert:

$\pmatrix{0\\y\\0}$ $= \pmatrix{3\\4\\6} +r\cdot \pmatrix{1\\0\\a}$

Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& 3+r &\quad \\ \text{II}\quad&y&=&4 &\quad \\ \text{III}\quad&0&=&6+a &\quad \\ \end{array}$

Lösen dieses linearen Gleichungssystems mit dem CAS liefert:

$\begin{array}[t]{rll} r&=&-3 \\[5pt] y&=&4 \\[5pt] a&=&2 \end{array}$

Die Gerade $g_{2}:\overrightarrow{x}$ $= \pmatrix{3\\4\\5} +r\cdot \pmatrix{1\\0\\2}$ schneidet somit die $y$ -Achse.

Nach der Aufgabenstellung liegen alle Durchstoßpunkte auf einer Geraden. Da eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, genügt die Berechnung beispielsweise der Durchstoßpunkte der Geraden $g_1$ und $g_2.$

1. Schritt: Durchstoßpunkte berechnen

Der Punkt, in dem die Gerade $g_1$ die $xy$ -Ebene durchstößt, hat die $z$ -Koordinate $0,$ es folgt:

$\pmatrix{x\\y\\0} = \pmatrix{ 3\\4\\6 } + r\cdot \pmatrix{1\\0\\1}$

Aus der dritten Zeile $0=6+r$ folgt direkt $r=-6.$ Für den Ortsvektor des Durchstoßpunkts von $g_1$ gilt somit:

$\overrightarrow{OD_1} = \pmatrix{ 3\\4\\6 } - 6\cdot \pmatrix{1\\0\\1}$ $= \pmatrix{-3\\4\\0}$

Für $g_2$ folgt analog:

$\pmatrix{x\\y\\0} = \pmatrix{ 3\\4\\6 } + r\cdot \pmatrix{1\\0\\2}$

Nun ergibt sich die dritte Zeile als $0=6+2r$ und somit folgt $r=-3.$ Der Ortsvektor des Durchstoßpunkts von $g_2$ ist damit gegeben als:

$\overrightarrow{OD_2} = \pmatrix{ 3\\4\\6 } - 3\cdot \pmatrix{1\\0\\2}$ $= \pmatrix{0\\4\\0}$

2. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Die Gerade durch $D_1$ und $D_2$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} d:\overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OD_1} +s\cdot \overrightarrow{D_1D_2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\4\\0} +s\cdot \pmatrix{3\\0\\0} \\[5pt] \end{array}$

Eine Gleichung der Geraden, auf der alle betrachteten Durchstoßpunkte der Geraden $g_a$ liegen, lautet somit:

$d:\overrightarrow{x} = \pmatrix{-3\\4\\0} +s\cdot \pmatrix{3\\0\\0}$

Der Richtungsvektor von $g_1$ ist gegeben durch $\overrightarrow{r_1} = \pmatrix{1\\0\\1},$ der Richtungsvektor von $g_a$ durch $\overrightarrow{r_a}= \pmatrix{1\\0\\a}.$ Es folgt:

Rechenweg anzeigen

$\cos(60^\circ) = \dfrac{\left| 1+a \right|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1+a^2}}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt weiter:

$\begin{array}[t]{rll} a_1&=& \sqrt{3}-2 \\[5pt] a_2&=& -\sqrt{3}-2 \end{array}$

Somit schneiden sich die Geraden $g_a$ und $g_1$ für $a_1 = \sqrt{3}-2$ und $a_2 = -\sqrt{3}-2$ unter einem Winkel von $60^\circ.$

Da der Punkt $\(P$ durch Spiegelung des Punkts $P(3\mid 4 \mid 6)$ an der $xz$ -Ebene entsteht, besitzt er die $x$ - und $z$ -Koordinate des Punktes $P,$ sowie dessen $y$ -Koordinate mit umgedrehtem Vorzeichen:

$\(P$

Der Flächeninhalt $A$ des Dreiecks wird mit Hilfe des Kreuzprodukts zweier Vektoren berechnet, die das Dreieck aufspannen und ergibt sich mit dem CAS wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot\left| \overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OP‘}\right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{3\\4\\6} \times \pmatrix{3\\-4\\6} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{ 48 \\ 0 \\ -24 } \right| \\[5pt] &=& 12\cdot \sqrt{5}\;[\text{FE}] \\[5pt] \end{array}$