Teil A

Kreuze jeweils die Aussage an, die richtig ist.

$(\text I)$

Nullstellen der Funktion $f$ mit $f(x)=(3+x)\cdot(4-x)$ sind:

	$x_1=-3$ und $x_2=4$
	$x_1=-4$ und $x_2=3$
	$x_1=-4$ und $x_2=-3$

$(\text{II})$

Die Polstelle(n) der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{x+4}{x^2-9}$ ist (sind):

	$x=-4$
	$x_1=-3$ und $x_2=3$
	$x_1=9$ und $x_2=-4$

$(\text{III})$

Lösung der Gleichung $\text e^{x+2}=1$ ist:

	$x=\text{ln}(3)$
	$x=-2$
	die leere Menge

(3 BE)

Ermittle eine Stammfunktion der Funktion $f$ mit $f(x)=(4x+5)^2.$

(2 BE)

Gegeben ist eine Funktion $f$ durch $f(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot x +4$ $(x\in\mathbb{R}).$
Ein Punkt $Q$ liegt im $\text I.$ Quadranten auf dem Graphen von $f.$
Die Parallelen durch $Q$ zu den Koordinatenachsen und die Koordinatenachsen begrenzen ein Rechteck.
Berechne den größtmöglichen Flächeninhalt, den dieses Rechteck besitzen kann.

(5 BE)

Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=\dfrac{1}{2}x+\mathbb e^x$ $(x\in\mathbb{R}.)$

Ermittle eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x_0=0.$

(3 BE)

Weise nach, dass am Graphen von $f$ keine Tangenten mit negativem Anstieg existieren.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+12x$ $(x\in\mathbb{R}).$
Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen von $f$ sowie dessen Hochpunkt $H(2\mid 16).$

Der Graph von $f$ , die $x$ -Achse und die Gerade der Gleichung $x=2$ schließen für $0\leq x\leq2$ eine Fläche ein.
Zeige, dass diese Fläche den Inhalt $20\;\text{FE}$ besitzt.

(2 BE)

Die Gerade $g$ verläuft durch den Punkt $H$ und besitzt eine negative Steigung. Der Graph von $f,$ die $y$ -Achse und die Gerade $g$ schließen für $0\leq x\leq2$ eine Fläche mit dem Inhalt $20\;\text{FE}$ ein.
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts der Gerade $g$ mit der $y$ -Achse.

(3 BE)

thüringen mathe abi 2017 teil a abbildung 1 funktion von f

Das Dreieck $ABC$ mit den Punkten $A(3\mid 3\mid 3),$ $B(6\mid 7\mid 3)$ und $C(2\mid 10\mid 3)$ ist im Punkt $B$ rechtwinklig und liegt in der Ebene mit der Gleichung $z=3.$

Weise nach, dass das Dreieck $ABC$ den Flächeninhalt $\dfrac{25}{2}\,\text{FE}$ besitzt.

(2 BE)

Bestimme die Koordinaten eines Punkts $D$ so, dass das Volumen der Pyramide $ABCD$ gleich $25\,\text{VE}$ ist.

(3 BE)

Gegeben sind die Punkte $A(2\mid 2\mid 2)$ und $B(3\mid 4\mid 2).$ Das Quadrat $ABCD$ der Seite $\overline{AB}$ liegt parallel zur $xy$ -Ebene.

Berechne den Flächeninhalt des Quadrats $ABCD.$

(2 BE)

Ermittle die Koordinaten eines weiteren Eckpunkts des Quadrats.

(3 BE)

Jedes Überraschungsei eines Herstellers enthält entweder eine Figur oder keine Figur, wobei der Anteil der Überraschungseier mit einer Figur $25\;\%$ beträgt.

Zehn Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt.
Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur in den letzten beiden Überraschungseiern jeweils eine Figur enthalten ist.

(2 BE)

Sechs Überraschungseier werden zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie viele dieser Überraschungseier eine Figur enthalten. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße $X$ dar:

thüringen mathe abi 2017 teil a abbildung 2a

thüringen mathe abi 2017 teil a abbildung 2b

thüringen mathe abi 2017 teil a abbildung 2c

$(\text{I})$



$(\text{II})$



$(\text{III})$



Kreuze diese an.
Begründe, dass die beiden anderen Abbildungen dies nicht sind.

(3 BE)

Lena wird ein Glücksspiel mit zwei Würfeln angeboten. Bevor sie spielt, berechnet sie den Erwartungswert für ihren Gewinn:

Rechnung anzeigen

Beschreibe die Bedeutung dieses berechneten Werts im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Beschreibe ein zur Rechnung passendes Spiel mit den zugehörigen Gewinnregeln.

(3 BE)

Nullstellen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0 \\[5pt] (3+x)\cdot(4-x)&=& 0 \end{array}$

Mit dem Satz des Nullprodukts folgt $x_1=-3$ und $x_2=4$

Polstellen bestimmen

Polstellen sind die Werte von $x,$ für die der Nenner der Funktion $f(x)=\frac{x+4}{x^2-9}$ Null wird:

$\begin{array}[t]{rll} x^2-9&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +9\\[5pt] x^2&=&9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&= -3 \\[5pt] x_2&= 3 \end{array}$

Lösung der Gleichung $\mathrm e^\boldsymbol{{x+2}}\boldsymbol{=1}$ bestimmen

Es gilt $\mathrm e^0=1.$ Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x+2&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] x&=&-2 \end{array}$

Somit ist $x=-2$ die Lösung der Gleichung.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(4x+5)^2 \\[5pt] F(x)&=&\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot(4x+5)^3 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{12}\cdot(4x+5)^3 \end{array}$

Eine mögliche Stammfunktion von $f(x)$ ist somit $F(x)=\dfrac{1}{12}\cdot(4x+5)^3$ .

1. Schritt: Funktion aufstellen

Der gesuchte Punkt $Q$ mit den Koordinaten $Q(x\mid f(x))$ liegt auf dem Graphen von $f$ . Der Flächeninhalt kann somit mit der folgenden Funktion beschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=&x\cdot f(x) \\[5pt] &=&x \cdot \left(-\dfrac{1}{2}x+4 \right) \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{2}x^2+4x \end{array}$

2. Schritt: Maximum bestimmen

$A(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+4x$

$\(A$

Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} A$

Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen:

$\(A$

Da an den Randstellen der Funktion entweder $x=0$ oder $f(x)=0$ gilt, ist somit für $x=4$ der Flächeninhalt maximal. Einsetzen von $x=4$ in $f(x)$ liefert:

$f(4)=-\dfrac{1}{2}\cdot 4 +4 = 2$

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$A(4)=4\cdot 2=8$

Der maximale Flächeninhalt beträgt somit $8\;\text{FE}$ .

Ableiten von $f$ liefert:

$\(f$

Für die Steigung $m$ der Tangente $t(x) = m\cdot x + b$ folgt damit:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

An der Stelle $x_0=0$ gilt für den Funktionswert von $f:$

$f(0)=\dfrac{1}{2}\cdot 0+\mathrm e^0 = 1$

Einsetzen des Punktes $(0\mid1)$ in die Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 1&=&\dfrac{3}{2} \cdot 0 +b \\[5pt] 1&=&b \end{array}$

Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ lautet somit $t(x) = \frac{3}{2}x +1.$

Wenn die Funktion $\(f$ die die Steigung von $f$ angibt, für beliebiges $x$ größer als Null ist, existieren keine Tangenten mit negativer Steigung. Da stets $\mathrm e^x\gt0$ gilt, ist das erfüllt.

Da die betrachtete Fläche vollständig oberhalb der $x$ -Achse liegt, ergibt sich der gesuchte Flächeninhalt wie folgt:

Rechenweg anzeigen

$A = 20\;\text{FE}$

Die Gerade $g(x)=m\cdot x+b$ schneidet die $y$ -Achse in einem Punkt $S(0\mid y_S)$ und verläuft durch den Punkt $H(2\mid 16).$ Für die Steigung von $g$ folgt damit:

$m= \dfrac{16-y_S}{2-0} = \dfrac{16-y_S}{2}$

Da $b$ den $y$ -Achsenabschnitt angibt, gilt $b=y_S.$ Die Gleichung der Geraden in Abhängigkeit von $y_S$ lautet daher:

$g(x) = \dfrac{16-y_S}{2}x+y_S$

Mit dem Integral über die Differenzenfunktion $g-f$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$y_S = 24$

Die Gerade $g$ schneidet die $y$ -Achse somit im Punkt $S(0\mid 24).$

Rechenweg anzeigen

$A = \dfrac{25}{2}\;\text{FE}$

Mit $ABC$ als Grundfläche der Pryamide gilt nach Teilaufgabe a) direkt $A_G=\frac{25}{2}.$ Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3}\cdot A_G\cdot h \\[5pt] 25&=&\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{25}{2} \cdot h \\[5pt] 6&=&h \end{array}$

Die Höhe $h$ entspricht dem Abstand von $D$ zur Ebene, in der die Grundfläche liegt. Diese besitzt die Gleichung $z=3,$ somit haben alle Punkte mit einer $z$ -Koordinate von $3+6=9$ und $3-6=-3$ einen Abstand von $6\;\text{LE}$ zu dieser Ebene.
Ein Punkt der diese Bedingung erfüllt ist beispielsweise $D(3\mid 3\mid 9).$

Rechenweg anzeigen

$A = 5\;\text{FE}$

Durch Vertauschen der $x$ - und $y$ -Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ und Veränderung des Vorzeichens bei einer der beiden, wird ein Vektor erhalten, der senkrecht auf $\overrightarrow{AB}$ steht und den gleichen Betrag besitzt:

$\overrightarrow{x}=\pmatrix{-2\\1\\0}$

Somit ergibt sich:

$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{x}$ $= \pmatrix{2\\2\\2}+\pmatrix{-2\\1\\0} = \pmatrix{0\\3\\2}$

Ein weiterer Eckpunkt ist somit zum Beispiel gegeben durch $D(0\mid3\mid2).$

Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p:$

$p=0,75^8\cdot 0,25^2$

Da $25\,\%$ aller Überraschungseier unabhängig von einander eine Figur enthalten oder nicht, ist die Wahrscheinlichkeit dafür eine Figur zu enthalten bei jedem Überraschungsei gleich und $X$ kann als binomialverteilt mit den Parametern $n=6$ und $p = 0,25$ angenommen werden. Der Erwartungswert von $X$ beträgt somit $\mu = 6\cdot 0,25$ $= 1,5.$

Das zweite Diagramm stellt eine Gleichverteilung dar. Da $X$ binomialverteilt ist, kann diese Abbildung nicht die gesuchte sein.
Die beiden höchsten Balken im dritten Diagramm befinden sich bei $X=4$ und $X=5,$ nicht bei $X=1$ und $X=2,$ nahe dem Erwartungswert der Zufallsgröße. Abbildung 3 kann somit ebenfalls nicht die gesuchte sein.
Damit stellt das erste Diagramm die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ dar.

Der errechnete Erwartungswert zeigt, dass Lena auf lange Sicht einen durschnittlichen Verlust von $\frac{6}{36}\,€$ pro Spiel macht.

Es wird mit zwei Würfeln geworfen, die mit den Zahlen von $1$ bis $6$ beschriftet sind. Der Spieleinsatz bei dem Spiel beträgt $1$ Euro, die Gewinnauszahlung $5$ Euro. Der Gewinn wird ausgezahlt, wenn zwei gleiche Zahlen gewürfelt werden, dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$ Werden zwei unterschiedliche Zahlen gewürfelt, verfällt der Einsatz.