Teil B1
Gegeben ist die Funktion 
mit 
Die Höhenprofillinie längs des Grundstückes kann näherungsweise durch die Funktion im Intervall 
beschrieben werden.
Die Werte von
und 
sind Längen in Meter.
eine Funktion 
durch 
.
Jeder zugehörige Graph besitzt zwei Extrempunkte.
a)
Berechne die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und des Punktes mit dem größten Anstieg.
(4 BE)
b)
Untersuche, ob auf dem Graphen von Punkte existieren, die gleichweit von der Geraden 
entfernt sind und in denen sich die Anstiege nur durch das Vorzeichen unterscheiden.
Eine Familie möchte auf ihrem Grundstück ein Wohnhaus errichten. Der Grundriss des Grundstückes ist ein Rechteck.
(2 BE)
Die Höhenprofillinie längs des Grundstückes kann näherungsweise durch die Funktion
Die Werte von
c)
Skizziere die Profillinie in einem Koordinatensystem mit geeignet eingeteilten Achsen.
Gib den größten Anstieg des Geländes in Prozent an.
Das Haus soll auf einer waagerechten Fläche errichtet werden. Dazu soll parallel zur linken Grundstücksgrenze eine Mauer errichtet werden. Ausgehend von der Höhe der rechten Grundstücksgrenze wird das Grundstück planiert. Die abgetragene Erde soll rechts der Mauer aufgefüllt werden, so dass eine waagerechte Fläche vom rechten Grundstücksrand bis zur Mauer entsteht.
Gib den größten Anstieg des Geländes in Prozent an.
(3 BE)
d)
Veranschauliche den Sachverhalt in deiner Skizze aus Aufgabe c).
Berechne die Größe des zu bewegenden Erdvolumens und die Entfernung der Mauer vom linken Grundstücksrand.
Gegeben ist für jede reelle Zahl Berechne die Größe des zu bewegenden Erdvolumens und die Entfernung der Mauer vom linken Grundstücksrand.
(5 BE)
Jeder zugehörige Graph besitzt zwei Extrempunkte.
e)
Begründe ohne Verwendung der Mittel der Differentialgleichung, dass die 
-Koordinaten der Extrempunkte unabhängig von 
sind und ein Extrempunkt immer im Ursprung liegt.
(2 BE)
f)
Gib den Wertebereich von in Abhängigkeit von an.
(2 BE)
g)
Die Graphen der Funktion 
entstehen durch Spiegelung der Graphen von an der Geraden 
Gib eine Gleichung für an.
Gib eine Gleichung für
(2 BE)
a)
Lokale Extrempunkte berechnen
Mit dem CAS folgt für die ersten zwei Ableitungen von 
1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1&=&0 \\[5pt]
x_2&=&40
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/14a53282bad0a9090d127f2a45f0a82dd66eb026e93cc350dd08d5ac347deb56?color=5a5a5a)
2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen
Einsetzen von 
und 
in 
liefert mit dem CAS:
Der Graph von 
besitzt also bei 
einen lokalen Tiefpunkt und bei 
einen lokalen Hochpunkt.
3. Schritt: Funktionswerte ausrechnen
Einsetzen von und in 
liefert mit dem CAS:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(0)&=&0 \\[5pt]
f(40)&\approx&3,9
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/130622d68011d745f09db6c2e289d5a6ce4623cb4d4d8d9cf5cdc0a58d63d6e1?color=5a5a5a)
Die Koordinaten der lokalen Extrempunkte von sind somit 
und ca. 
Punkt mit dem größten Anstieg berechnen
Für die dritte Ableitung von folgt mit dem CAS:
1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_3&\approx&11,7 \\[5pt]
x_4&\approx&68,3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e252c7e2ca55c9edb0c0806cb7dcaa55cbe01beb903398de60409c0048bdf30a?color=5a5a5a)
2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen
Einsetzen von 
und 
in 
liefert mit dem CAS:
besitzt also bei 
einen lokalen Hochpunkt.
3. Schritt: Funktionswert ausrechnen
Einsetzen von in liefert mit dem CAS:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x_3)&\approx&1,38
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a28d6b3c044205215689cca80ff19069e78ba4122b45fcf569944c59717f9612?color=5a5a5a)
Der Punkt 
mit dem größten Anstieg hat somit ungefähr die Koordinaten 
b)
Der Hochpunkt 
des Graphen von liegt auf der Geraden 
Somit sind die Anstiege bei 
positiv, und bei 
negativ. Die gesuchten Punkte sollen gleichweit von der Geraden weg und auf dem Graphen von liegen und die Anstiege dort sich nur im Vorzeichen unterscheiden, das heißt es soll gelten:
mit 
Eingabe in den CAS liefert mit Hilfe des solve-Befehls:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1&=&10^{-38} \\[5pt]
x_2&=&38,3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f3b4e4650e481ace969afa3263b28fd108faa06c58c3c8c795f8777600864458?color=5a5a5a)
Die Lösung ist annähernd Null und kann somit vernachlässigt werden, da der Hochpunkt selber ausgeschlossen wird. Da 
gilt, existieren auf dem Graphen von also Punkte mit den gewünschten Eigenschaften.
c)
Skizze des Höhenprofils erstellen
Mit Hilfe einer Wertetabelle der Funktionswerte von im CAS folgt:
Größten Anstieg des Geländes bestimmen
Die Stelle des größten Anstiegs entspricht der Wendestelle. Mit Aufgabenteil a) folgt somit mit Hilfe des CAS für den größten Anstieg des Geländes:
d)
Skizze zur Aufgabenstellung erstellen
Zu bewegendes Erdvolumen berechnen
Das Volumen der Erde, die bewegt werden soll entspricht dem Inhalt der Fläche, die der Graph von im rechten Teil der Skizze mit der Geraden 
einschließt, multipliziert mit 
Mit dem solve-Befehl des CAS für 
ergeben sich die Schnittstellen von mit 
an denen 
gilt, wie folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1&\approx&25,03 \\[5pt]
x_2&=&60
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/c924b64e8ea600fe3a4c7b56f671fc7eacaf818067b06e9b1447bc3b24ed4f9f?color=5a5a5a)
Mit und als Integrationsgrenzen folgt für das Volumen der zu bewegenden Erde mit Hilfe des CAS:
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=&20\cdot A \\[5pt]
&=&20\cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}(f(x)-g(x))\;\mathrm dx \\[5pt]
&=&20\cdot \displaystyle\int_{25,03}^{60}(f(x)-f(60))\;\mathrm dx \\[5pt]
&\approx&306,46\;[\text{m}^3]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d1b25c89d1ae620a653748bfe4526817c79098f1dc0794a9ff2616da9d608597?color=5a5a5a)
Entfernung der Mauer bestimmen
Die Mauer soll an einer Stelle 
stehen, sodass gilt:
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt eine Lösung, die zwischen 
und 
liegt, nämlich 
Die Mauer ist somit 
von der linken Grundstücksgrenze entfernt.
e)
Da die Multiplikation mit dem Faktor eine Streckung oder Stauchung der Funktion in 
-Richtung oder eine Spiegelung an der -Achse bewirkt, sind die -Koordinaten aller Extrempunkte unabhängig von 
Der Faktor 
von 
ist stets ungleich Null und nach der Aufgabenstellung gilt 
Da 
gilt, wird somit genau dann Null, wenn Null wird. Nach Aufgabenteil a) besitzt eine lokale Extremstelle bei 
damit muss auch dort eine lokale Extremstelle besitzen. Ein Extrempunkt der Funktion liegt somit immer im Ursprung.
f)
Da 
sowie die Exponentialfunktion für alle größer oder gleich Null sind, muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden:
Fall 1: 
Der Wertebereich von 
für 
ist somit gegeben durch 
Fall 2: 
Der Wertebereich von für 
ist somit gegeben durch 
g)
Die Spiegelung an einer Geraden, die parallel zur -Achse verläuft, entspricht einer Spiegelung an der -Achse mit anschließender Verschiebung in -Richtung. Da die Gerade, an der gespiegelt wird, durch die Gleichung 
gegeben ist, wird zuerst an der -Achse gespiegelt und anschließend um 
Längeneinheiten in -Richtung verschoben. Somit folgt:
![\( \begin{array}[t]{rll}
s_{a}(x)&=& -h_a(x)+8 \\[5pt]
&=&- a\cdot x^2 \cdot \mathrm e^{- \frac{1}{20}x} +8
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/77ff0f10062e1a05c8a7851b48a7ccd6dd1a73413df367128e5dc70da49f5765?color=5a5a5a)
a)
Lokale Extrempunkte berechnen
Mit dem CAS folgt für die ersten zwei Ableitungen von
1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:
2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen
Einsetzen von und in liefert mit dem CAS:
Der Graph von besitzt also bei einen lokalen Tiefpunkt und bei einen lokalen Hochpunkt.
3. Schritt: Funktionswerte ausrechnen
Einsetzen von und in liefert mit dem CAS:
Die Koordinaten der lokalen Extrempunkte von sind somit und ca.
Punkt mit dem größten Anstieg berechnen
Für die dritte Ableitung von folgt mit dem CAS:
1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:
2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen
Einsetzen von und in liefert mit dem CAS:
besitzt also bei einen lokalen Hochpunkt.
3. Schritt: Funktionswert ausrechnen
Einsetzen von in liefert mit dem CAS:
Der Punkt mit dem größten Anstieg hat somit ungefähr die Koordinaten
b)
Der Hochpunkt des Graphen von liegt auf der Geraden Somit sind die Anstiege bei positiv, und bei negativ. Die gesuchten Punkte sollen gleichweit von der Geraden weg und auf dem Graphen von liegen und die Anstiege dort sich nur im Vorzeichen unterscheiden, das heißt es soll gelten:
mit
Eingabe in den CAS liefert mit Hilfe des solve-Befehls:
Die Lösung ist annähernd Null und kann somit vernachlässigt werden, da der Hochpunkt selber ausgeschlossen wird. Da gilt, existieren auf dem Graphen von also Punkte mit den gewünschten Eigenschaften.
c)
Skizze des Höhenprofils erstellen
Mit Hilfe einer Wertetabelle der Funktionswerte von im CAS folgt:
Größten Anstieg des Geländes bestimmen
Die Stelle des größten Anstiegs entspricht der Wendestelle. Mit Aufgabenteil a) folgt somit mit Hilfe des CAS für den größten Anstieg des Geländes:
d)
Skizze zur Aufgabenstellung erstellen
Zu bewegendes Erdvolumen berechnen
Das Volumen der Erde, die bewegt werden soll entspricht dem Inhalt der Fläche, die der Graph von im rechten Teil der Skizze mit der Geraden einschließt, multipliziert mit Mit dem solve-Befehl des CAS für ergeben sich die Schnittstellen von mit an denen gilt, wie folgt:
Mit und als Integrationsgrenzen folgt für das Volumen der zu bewegenden Erde mit Hilfe des CAS:
Entfernung der Mauer bestimmen
Die Mauer soll an einer Stelle stehen, sodass gilt:
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt eine Lösung, die zwischen und liegt, nämlich Die Mauer ist somit von der linken Grundstücksgrenze entfernt.
e)
Da die Multiplikation mit dem Faktor eine Streckung oder Stauchung der Funktion in -Richtung oder eine Spiegelung an der -Achse bewirkt, sind die -Koordinaten aller Extrempunkte unabhängig von
Der Faktor von ist stets ungleich Null und nach der Aufgabenstellung gilt Da gilt, wird somit genau dann Null, wenn Null wird. Nach Aufgabenteil a) besitzt eine lokale Extremstelle bei damit muss auch dort eine lokale Extremstelle besitzen. Ein Extrempunkt der Funktion liegt somit immer im Ursprung.
f)
Da sowie die Exponentialfunktion für alle größer oder gleich Null sind, muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden:
Fall 1:
Der Wertebereich von für ist somit gegeben durch
Fall 2:
Der Wertebereich von für ist somit gegeben durch
g)
Die Spiegelung an einer Geraden, die parallel zur -Achse verläuft, entspricht einer Spiegelung an der -Achse mit anschließender Verschiebung in -Richtung. Da die Gerade, an der gespiegelt wird, durch die Gleichung gegeben ist, wird zuerst an der -Achse gespiegelt und anschließend um Längeneinheiten in -Richtung verschoben. Somit folgt: