Teil C2

Auf einem ebenen Gelände befindet sich ein $15\,\text{m}$ hoher Antennenmast. Dieses Gelände wird durch die $xy$ -Ebene eines Koordinatensystems dargestellt. Der Punkt $F(4 \mid 3 \mid 0)$ beschreibt den Fußpunkt des Antennenmastes. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors $\overrightarrow{v} = \pmatrix{-1 \\ 10 \\ -5}.$ Sie erzeugen auf dem Boden einen Schatten des Antennenmastes.

Die Gerade $g$ beschreibt den Verlauf des Lichtstrahles, der auf die Spitze des Antennenmastes trifft.
Gib eine Gleichung für $g$ an.

(1 BE)

Berechne die Koordinaten des Durchstoßpunktes $D$ von $g$ mit der $xy$ -Ebene sowie die Länge des Schattens in Metern.

(2 BE)

Bestimme die Größe des Winkels, unter dem das Licht auf den Boden fällt.

(1 BE)

Eine kleine Pflanze wächst in der Nähe des Antennenmastes. Ihr Standort kann im Koordinatensystem durch den Punkt $P(5,5 \mid -12 \mid 0)$ beschrieben werden. Es soll untersucht werden, ob sich die Pflanze zu dem bestimmten Zeitpunkt im Schatten des Antennenmastes befindet.

Beurteile dazu die beiden folgenden Lösungsansätze:

(A)

Der Abstand zwischen Pflanze und Antennenmast wird berechnet und das Ergebnis wird mit der Schattenlänge des Antennenmastes verglichen.

(B)

Die Gleichung der Geraden durch die Punkte $F$ und $D$ wird aufgestellt. Anschließend wird überprüft, ob der Punkt $P$ auf dieser Geraden liegt.

(3 BE)

Gib an, ob sich die Pflanze im Schatten des Antennenmastes befindet.

(1 BE)

Seit einiger Zeit wird in Politik und Medien diskutiert, ob es sinnvoll ist, dass Kinder in der Schule die Schreibschrift erlernen. Die Position, dass durch Computer und Smartphone für Kinder der Umgang mit der Druckschrift Alltag ist, kaum dass sie das Alphabet kennen, steht der Ansicht gegenüber, dass das Schreiben mit der Hand kreative Prozesse unterstützt oder, wie Cornelia Funke poetisch ausdrückte: „Die Schreibschrift bringe die ‚Gedanken zum Fliegen.‘“

Ein IT-Unternehmen hat hierzu eine Studie in Auftrag gegeben, die folgende Ergebnisse lieferte:

Nach: Rauch, Elena: Mehrheit überzeugt: Handschrift fördert Kreativität.
In Ostthüringer Zeitung. 21.05.2015.

Begründe, dass es nicht möglich ist, die Verteilung zur Frage „Was erledigen Sie gern handschriftlich?“ in einem Kreisdiagramm darzustellen.

(1 BE)

Beschreibe unter Verwendung der obigen Statistik ein Ereignis $D$ , dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term $P(D) = 0,78^{10} + 10\cdot 0,22\cdot 0,78^9$ berechnet werden kann.

(2 BE)

In einer Schule werden 96 Abiturienten befragt, was sie gern handschriftlich erledigen.

Berechne unter der Annahme des Modells der Binomialverteilung und unter Verwendung der obigen Statistik die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

$A:$ $=$

„Genau 80 Abiturienten schreiben Merkzettel mit der Hand.“

$B:$ $=$

„Mindestens 10 aber weniger als 80 Abiturienten schreiben Merkzettel mit der Hand.“

$C:$ $=$

„Höchstens 40 Abiturienten ordnen ihre Gedanken handschriftlich.“

(3 BE)

Ermittle die zu erwartende Anzahl unter den $96$ Abiturienten, die handschriftlich Briefe schreiben.
Gib eine mögliche Ursache dafür an, dass dieses Ergebnis deinen Alltagsbeobachtungen widerspricht.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses:

$E:$ $=$

„Die Anzahl der Abiturienten, die handschriftlich Briefe schreiben, weicht um höchstens fünf Abiturienten vom Erwartungswert ab.“

(3 BE)

Die Frage „Machen Sie sich handschriftliche Notizen?“ wird vermutlich in zehn Jahren nur noch zu $50\,\%$ mit „Ja“ beantwortet $(H_0)$ statt der $78\,\%$ aus dem Jahr 2015 $(H_1).$
Konstruiere einen Alternativtest mit dem Stichprobenumfang $n=100,$ der diese Hypothese zu höchstens $10\,\%$ zu Unrecht ablehnt.

(3 BE)

Die Mastspitze befindet sich $15\;\text{m}$ über $F,$ das heißt die $x$ - und $y$ -Koordinaten der Spitze stimmen mit denen des Fußpunktes überein. Somit folgt für den Ortsvektor der Mastspitze:

$\overrightarrow{OS}=\pmatrix{4\\3\\15}$

Zusammen mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ aus der Aufgabenstellung ergibt sich für die gesuchte Geradengleichung:

$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\3\\15}+t\cdot\pmatrix{-1\\10\\-5}$

Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ berechnen

Ein allgemeiner Punkt der $xy$ -Ebene hat die Koordinaten $(x\mid y\mid 0).$ Gleichsetzen mit der Geradengleichung von $g$ liefert folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&x&=& 4-t &\quad \\ \text{II}\quad&y&=&3+10t &\quad \\ \text{II}\quad&0&=&15-5t &\quad \\ \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} t&=&3 \\[5pt] x&=&1 \\[5pt] y&=&33 \end{array}$

Mathematische Gleichungen und Lösungen auf einem Bildschirm dargestellt.

Der Durchstoßpunkt besitzt somit die Koordinaten $D(1\mid 33\mid 0).$

Länge des Schattens berechnen

Für den Vektor, der den Schatten beschreibt, ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FD}&=& \pmatrix{1\\33\\0}-\pmatrix{4\\3\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\30\\0} \end{array}$

Mit Hilfe des CAS folgt nun für die Länge des Schattens:

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{FD}\right\vert&=&3\cdot\sqrt{101} \\[5pt] &\approx&30,15\;[\text{m}] \end{array}$

Screenshot einer mathematischen Gleichungslösung mit Variablen und Norm-Berechnung in einer Software.

Der Einfallswinkel $\alpha$ des Lichtes ergibt sich durch folgende Formel:

$\sin(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{v}\circ \overrightarrow{n_{xy}} \right|}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_{xy}}\right|}$

Ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene ist gegeben durch:

$\overrightarrow{n_{xy}}=\pmatrix{0\\0\\1}$

Einsetzen von $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{n_{xy}}$ liefert mit Hilfe des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&\approx&26,45^\circ \end{array}$

Mathematische Berechnung mit Matrizen und Funktionen auf einem Bildschirm.

Das Licht fällt somit unter einem Winkel von ca. $26,45^\circ$ auf den Boden.

Lösungsansatz (A) beurteilen

Lösungsansatz (A) ergibt keine hinreichende Überprüfung dafür, dass sich die Pflanze im Schatten des Antennenmastes befindet, denn der Schatten des Mastes verläuft in der Richtung des Vektors $\overrightarrow{FD}.$ In Ansatz (A) wird aber lediglich der Abstand zum Antennenmast betrachtet.

Lösungsansatz (B) beurteilen

Auch Lösungsansatz (B) ergibt keine hinreichende Überprüfung dafür, dass sich die Pflanze im Schatten des Antennenmastes befindet. Hier wird nur überprüft, ob die Pflanze in der gleichen Richtung wächst, in der auch der Schatten des Mastes verläuft. Da der Schatten allerdings nicht unbegrenzt lang ist, fehlt die Überprüfung des Abstandes der Pflanze zum Mast.

Damit sich die Pflanze im Schatten des Antennenmastes befindet, muss sie auf der Strecke $\overline{FD}$ liegen. Die Gleichung $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OF}+s\cdot\overrightarrow{FD}$ die dazu betrachtet wird, liefert folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&5,5&=&4-3s &\quad \\ \text{II}\quad&-12&=&3+30s &\quad \\ \text{III}\quad&0&=&0 &\quad \\ \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} s&=&-0,5 \end{array}$

Da $s\notin[0;1]$ gilt, liegt die Pflanze nicht auf der Strecke $\overline{FD},$ und befindet sich somit nicht im Schatten des Antennenmastes.

Eine Person kann z.B. sowohl einen Merkzettel als auch einen Brief gerne handschriftlich verfassen, das heißt Mehrfachnennungen sind möglich. Somit beträgt die Summe der Prozentsätze über $100\%$ und ein Kreisdiagramm ist eher ungeeignet.

Das Ereignis steht im Zusammenhang mit der im Kreisdiagramm dargestellten Statistik, da nur die beiden Wahrscheinlichkeiten $p=0,78$ für die Antwortmöglichkeit „Ja“ und $q=1-p=0,22$ für die Antwortmöglichkeit „Nein“ vorkommen. Ein Vergleich mit der allgemeinen Schreibweise der Wahrscheinlichkeit eines binomialverteilten Ereignisses liefert als alternative Schreibweise des Terms:

$P(D)=\pmatrix{10\\0} \cdot 0,78^{10} \cdot 0,22^0$ $+\pmatrix{10\\1} \cdot 0,78^9 \cdot 0,22^1$

Diese Gleichung verdeutlicht den Bezug zu einer binomialverteilten Zufallsgröße mit Parametern $n=10$ und $p=0,78.$ Ein mögliches Ereignis $D$ ist somit gegeben durch:

„Von zehn zufällig ausgewählten Personen gaben mindestens neun an, sich handschriftliche Notizen zu machen“

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Abiturienten, die Merkzettel mit der Hand schreiben, und ist binomialverteilt mit den Paramertern $n=96$ und $p=0,86.$ Mit dem CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&B_{96;0,86}(X=80) \\[5pt] &\approx&0,083 \\[5pt] &=&8,3\,\% \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&B_{96;0,86}(10\leq X\leq79) \\[5pt] &\approx&0,1820 \\[5pt] &=&18,2\,\% \end{array}$

Die Zufallsgröße $Y$ beschreibt die Anzahl der Abiturienten, die ihre Gedanken gerne handschriftlich ordnen, und ist binomialverteilt mit den Paramertern $n=96$ und $p=0,48.$ Mit dem CAS folgt somit für die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $C:$

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=&B_{96;0,48}(Y\leq40) \\[5pt] &\approx&0,1270 \\[5pt] &=&12,7\,\% \end{array}$

Zu erwartende Anzahl ermitteln

Die zu erwartende Anzahl beträgt $96\cdot0,36\approx37,44,$ und somit ca. $37$ Abiturienten.

Ursache angeben

Eine mögliche Ursache dafür, dass dieses Ergebnis den Alltagsbeobachtungen widerspricht ist, dass Briefe meist zu Hause geschrieben werden, wo es nur ein kleiner Teil der Allgemeinheit mitbekommt. Im Hinblick auf die größtenteils digitale Kommunikation lässt das dann darauf schließen, dass die Alltagsbeobachtung nicht der erwarteten Anzahl an Abiturienten entspricht.

Wahrscheinlichkeit bestimmen

Die Zufallsvariable $Z$ gibt die Anzahl der Abiturienten an, die handschriftlich Briefe schreiben, und ist binomialverteilt mit den Parametern $n=96$ und $p=0,39.$ Mit der eben berechneten zu erwarteten Anzahl ergibt sich mit Hilfe des CAS für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Rechenweg anzeigen

$P(E) \approx 70,45\,\%$

Der Alternativtest besitzt einen Stichprobenumfang von $n=100,$ ein Signifikanzniveau von $\alpha =10\,\%,$ eine Nullhypothese $H_0$ mit $p_0=0,5$ und eine Alternativhypothese $H_1$ mit $p_1=0,78.$ Da $p_0\lt p_1$ gilt, hat der gesuchte Verwerfungsbereich somit folgende Form:

$V=\{k;\ldots;100\}$

Die Zufallsvariable $X_1$ gibt die Anzahl der Befragten an, die sich handschriftliche Notizen machen, und ist binomialverteilt mit den Parametern $n=100$ und $p=p_0=0,5.$ Für den gesuchten Test soll nun $P(X_1\geq k)\leq0,1$ erfüllt sein. Systematisches Ausprobieren mit dem CAS liefert:

$B_{100;0,5}(X_1\geq56)\approx 0,1356$

$B_{100;0,5}(X_1\geq57)\approx 0,0967$

Der Verwerfungsbereich ist somit gegeben durch $V=\{57;\ldots;100\},$ das heißt die Nullhypothese des Tests wird abgelehnt, wenn mindestens $57$ der $100$ Befragten angeben, handschriftliche Notizen zu machen.

Die Mastspitze befindet sich $15\;\text{m}$ über $F,$ das heißt die $x$ - und $y$ -Koordinaten der Spitze stimmen mit denen des Fußpunktes überein. Somit folgt für den Ortsvektor der Mastspitze:

$\overrightarrow{OS}=\pmatrix{4\\3\\15}$

Zusammen mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ aus der Aufgabenstellung ergibt sich für die gesuchte Geradengleichung:

$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\3\\15}+t\cdot\pmatrix{-1\\10\\-5}$

Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ berechnen

Ein allgemeiner Punkt der $xy$ -Ebene hat die Koordinaten $(x\mid y\mid 0).$ Gleichsetzen mit der Geradengleichung von $g$ liefert folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&x&=& 4-t &\quad \\ \text{II}\quad&y&=&3+10t &\quad \\ \text{II}\quad&0&=&15-5t &\quad \\ \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} t&=&3 \\[5pt] x&=&1 \\[5pt] y&=&33 \end{array}$

Mathematische Gleichungen und Variablen in einer Software-Oberfläche dargestellt.

Der Durchstoßpunkt besitzt somit die Koordinaten $D(1\mid 33\mid 0).$

Länge des Schattens berechnen

Für den Vektor, der den Schatten beschreibt, ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FD}&=& \pmatrix{1\\33\\0}-\pmatrix{4\\3\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\30\\0} \end{array}$

Mit Hilfe des CAS folgt nun für die Länge des Schattens:

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{FD}\right\vert&=&3\cdot\sqrt{101} \\[5pt] &\approx&30,15\;[\text{m}] \end{array}$

Mathematische Gleichungen und Ausdrücke in einem Computer-Algebra-System dargestellt.

Der Einfallswinkel $\alpha$ des Lichtes ergibt sich durch folgende Formel:

$\sin(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{v}\circ \overrightarrow{n_{xy}} \right|}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_{xy}}\right|}$

Ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene ist gegeben durch:

$\overrightarrow{n_{xy}}=\pmatrix{0\\0\\1}$

Einsetzen von $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{n_{xy}}$ liefert mit Hilfe des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&\approx&26,45^\circ \end{array}$

Mathematische Gleichung mit Vektoren und Funktionen in einem interaktiven Editor.