Teil A

Gib in der Tabelle je eine zugehörige Funktionsgleichung an.

Funktion	Ableitungsfunktion
	$\(f$
	$\(f$
$f(x)= \sqrt{x}$
$f(x) = 4\cdot \sin(2x)$
$f(x)= x\cdot \mathrm e^{x}$

(5 BE)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)= 1-\dfrac{1}{x^2}$ $(x \in \mathbb{R}; x \neq0),$ die die Nullstellen $x_1= -1$ und $x_2 = 1$ hat. Die Abbildung zeigt den Graphen von $f,$ der symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse ist. Weiterhin ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-3$ gegeben.

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 1 funktion f

Zeige, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die $x$ -Koordinate $\dfrac{1}{2}$ hat.

(1 BE)

Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f,$ die $x$ -Achse und die Gerade $g$ einschließen.

(4 BE)

Der abgebildete Graph $G_f$ stellt eine Funktion $f$ dar.

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 2

Einer der folgenden Graphen $\text I,$ $\text{II}$ oder $\text{III}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$
Kreuze diesen Graphen an und begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 3

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 4

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 5

$\text{I}$

$\text{II}$

$\text{III}$



(3 BE)

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f.$ Gib das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1;3]$ an.
Begründe deine Angabe.

(2 BE)

Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x=3$ sowohl eine Nullstelle als auch einen Wendepunkt mit dem Anstieg null.
Die Abbildung zeigt den Graphen ihrer zweiten Ableitungsfunktion.

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 6

Skizziere je einen möglichen Graphen für die Funktionen $f$ und $f‘$ in das gegebene Koordinatensystem.

(2 BE)

Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x=1$ den Anstieg $-3.$ Ermittle eine Gleichung einer solchen Funktion $f.$

(3 BE)

Gegeben sind die Geraden

$g:\,\overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\2\\3} + r\cdot \pmatrix{2\\4\\1}$ und $h: \, \overrightarrow{x} = \pmatrix{2\\4\\1} +s\cdot \pmatrix{1\\2\\0}$ mit $r,s\in \mathbb{R}.$

Weise nach, dass sich die Geraden $g$ und $h$ schneiden.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $S.$

(3 BE)

Der Punkt $P_1$ liegt auf $g,$ aber nicht auf $h.$
Die Abbildung zeigt die Geraden $g$ und $h,$ die sich im Punkt $S$ schneiden, sowie einen Repräsentanten des Vektors $\overrightarrow{SP_1}.$ Für den Punkt $P_2$ gilt $\overrightarrow{OP_2} = \overrightarrow{OP_1} -4\cdot \overrightarrow{SP_1},$ wobei $O$ den Koordinatenursprung bezeichnet.
Zeichne die Punkte $S,$ $P_1$ und $P_2$ in die Abbildung ein.

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 7

(2 BE)

Der Punkt $P(3\mid 8\mid2)$ liegt auf der Oberfläche einer Kugel, die den Mittelpunkt $M(3\mid 4\mid 5)$ hat.

Weise nach, dass die Kugel genau eine Koordinatenebene berührt.

(3 BE)

Bestimme die Koordinaten des Punkts $Q$ so, dass die Strecke $\overline{PQ}$ ein Durchmesser der Kugel ist.

(2 BE)

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0“ beschriftet, einer mit „1“ und einer mit „2“, die beiden anderen Sektoren sind mit „9“ beschriftet.

Das Glücksrad wird viermal gedreht.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen in der Reihenfolge $2,$ $0,$ $1, 9$ erzielt werden.

(2 BE)

Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens $11$ beträgt.

(3 BE)

Dargestellt sind die Dichtefunktionen normalverteilter Zufallsgrößen $X$ für verschiedene Werte von $\mu$ und $\sigma.$

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 8

Ordne die Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ und $\text{III}$ den Wertepaaren zu.

$\color{#fff}{\mu =10; \sigma =1}$	$\color{#fff}{\mu =10; \sigma =3}$	$\color{#fff}{\mu =7; \sigma =3}$

(2 BE)

Skizziere den Graphen der Dichtefunktion für $\mu=18;$ $\sigma = 1$ in die gegebene Darstellung.

(2 BE)

Beschreibe den Einfluss von $\mu$ auf den Graphen der Dichtefunktion.

(1 BE)

Tabelle anzeigen

Funktion	Ableitungsfunktion
$f(x)=x^2+x$	$\( f$
$f(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot x^{-2}$	$\( f$
$f(x)= \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$	$\( f$
$f(x) = 4\cdot \sin(2x)$	$\( f$
$f(x)= x\cdot \mathrm e^{x}$	$\( f$

Gleichsetzen von $f(x)$ mit $-3$ liefert die $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte:

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& -3 \\[5pt] 1-\dfrac{1}{x^2} &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{1}{x^2} \\[5pt] 1 &=& -3+\dfrac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] 4 &=& \dfrac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x^2 \\[5pt] 4x^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x^2 &=& \dfrac{1}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 &=& -\dfrac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$

Aus der folgenden Hilfsabbildung wird deutlich, dass die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufgeteilt werden kann, wobei die beiden grün eingefärbten Flächen wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur $y$ -Achse gleichgroß sind:

Mit Hilfe der bekannten Nullstellen des Graphen von $f$ und den Schnittstellen mit dem Graphen von $g$ folgt für den Inhalt der rechten grünen Fläche:

$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}\left(1-\dfrac{1}{x^2} \right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left| \left[x+\dfrac{1}{x} \right]_{0,5}^1 \right| \\[5pt] &=& \left\vert1+\dfrac{1}{1} - \left(0,5+\dfrac{1}{0,5} \right)\right\vert\\[5pt] &=& \vert-0,5\vert\\[5pt] &=& 0,5\;[\text{FE}] \end{array}$

Der Flächeninhalt der grauen Fläche, eines Rechtecks mit den Seitenlängen $1$ und $3,$ ist gegeben durch $A_2 = 1\cdot 3 = 3\;[\text{FE}].$ Für den gesamten Flächeninhalt folgt somit:

$A$ $= 2\cdot A_1 +A_2$ $= 2\cdot 0,5 + 3 = 4\;[\text{FE}]$

Ankreuzen: Graph $\text{I}$

Wahl begründen

Graph $\text{I}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2.$ Der Graph von $f$ muss an diesen Stellen also die Steigung $0$ haben, was zutrifft, da der Graph von $f$ dort Extremstellen besitzt.
Der Graph $\text{I}$ schneidet die $y$ -Achse ca. im Punkt $(0\mid -0,8).$ An der Stelle $x=0$ muss der Graph von $f$ somit die Steigung $-0,8$ besitzen. Anlegen einer Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ lässt auf eine Steigung von ungefähr $-0,8$ schließen.
Graph $\text{II}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 \approx -3,5$ und $x_2\approx 3,5.$ An diesen Stellen müsste der Graph von $f$ also die Steigung $0$ haben. Da das nicht der Fall ist, kommt Graph $\text{II}$ nicht infrage.
Graph $\text{III}$ besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der $x$ -Achse wie Graph $\text{I},$ schneidet die $y$ -Achse aber im Punkt $(0\mid -2).$ Der Graph von $f$ müsste daher an der Stelle $x=0$ die Steigung $-2$ besitzen. Oben würde aber bereits nachgewiesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. $-0,8$ beträgt. Graph $\text{III}$ kann daher ebenfalls nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von $f$ gehören.

Somit gehört Graph $\text{I}$ zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$

$F$ ist eine Stammfunktion von $f,$ somit beschreibt $f$ die Steigung des Graphen von $F.$
Da der Graph von $f$ im Intervall $[1;3]$ unterhalb der $x$ -Achse liegt und die Funktionswerte von $f$ damit negativ sind, fällt die Funktion $F$ in diesem Intervall also streng monoton.

Die Abbildung liefert folgende Informationen für den Graphen von $\(f$

Der Graph der zweiten Ableitungsfunktion ist eine Gerade, somit ist der Graph von $\(f$ eine Parabel.
Links von der Nullstelle von $\(f$ veläuft der Graph über der $x$ -Achse, rechts davon unter der $x$ -Achse. Somit besitzt der Graph von $\(f$ an dieser Stelle einen Hochpunkt.
Laut Aufgabenstellung besitzt $f$ an der Stelle $x=3$ Steigung Null. Da die Ableitung $\(f$ die Steigung des Graphen von $f$ beschreibt, besitzt der Graph von $\(f$ an dieser Stelle eine Nullstelle.

Für den Graphen von $f$ ergibt sich zusätzlich zu den Informationen aus der Aufgabenstellung folgendes:

Da $\(f$ eine ganzrationale Funktion zweiten Grades ist, handelt es sich bei $f$ um eine ganzrationale Funktion dritten Grades.
Da der Graph von $\(f$ einen Hochpunkt besitzt, der auf der $x$ -Achse liegt, liegt die Parabel ansonsten vollständig unterhalb der $x$ -Achse. Die Steigung von $f$ ist somit an jeder Stelle, bis auf den Wendepunkt, negativ.

Mit diesen Informationen ergeben sich die folgenden möglichen Graphen:

Nach Aufgabenteil a) ist $f$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades, mit folgender allgemeiner Form:

$f(x)= ax^3 +bx^2+cx+d$

Für $f$ gilt:

$f(3)=0$
$f‘(3)=0$
$f‘‘(3)=0$
$f‘(1)=-3$

Ableiten von $f$ liefert:

$\(f$
$\(f$

Einsetzen liefert folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&27 a +9b +3c +d&=&0 \\ \text{II}\quad&27a + 6b + c&=&0 &\quad \\ \text{III}\quad&18a +2b&=&0 &\quad \\ \text{IV}\quad&3a +2b +c&=&-3 &\quad \\ \end{array}$

Umformen der dritten Gleichung nach $b$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 18a +2b &=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-18a \\[5pt] 2b&=& -18a &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] b &=& -9a \end{array}$

Einsetzen von $b=-9a$ in die vierte Gleichung und umformen nach $c$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$c = 15a-3$

Durch einsetzen von $b=-9a$ und $c=15a-3$ in die zweite Gleichung folgt für $a:$

Rechenweg anzeigen

$a = -\dfrac{1}{4}$

Damit folgt weiter:

$b$ $= -9a$ $= -9\cdot \left(-\dfrac{1}{4} \right)$ $= \dfrac{9}{4}$

$c$ $= 15a -3$ $= 15\cdot \left(-\dfrac{1}{4} \right) - 3$ $= -\dfrac{27}{4}$

Einsetzen von $a,b$ und $c$ in die erste Gleichung liefert nun für $d:$

Rechenweg anzeigen

$d = \dfrac{27}{4}$

Eine mögliche Funktionsgleichung von $f$ ist somit $f(x)$ $= -\dfrac{1}{4}x^3$ $+ \dfrac{9}{4}x^2$ $- \dfrac{27}{4}x$ $+ \dfrac{27}{4}.$

Schnittpunkt nachweisen

Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen liefert:

$\pmatrix{1\\2\\3}$ $+ r\cdot \pmatrix{2\\4\\1}$ $= \pmatrix{2\\4\\1}$ $+ s\cdot \pmatrix{1\\2\\0}$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 1+2r &=& 2+s \\ \text{II}\quad& 2+4r &=& 4+2s \\ \text{III}\quad& 3+r &=& 1 \\ \end{array}$

Aus der dritten Gleichung folgt direkt $r= -2.$ Einsetzen in die erste Gleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} &1+2\cdot (-2) &=& 2+s \\[5pt] &-3 &=& 2+s &\quad \scriptsize \mid \; -2 \\[5pt] &-5 &=& s \end{array}$

Einsetzen von $r=-2$ und $s=-5$ in die zweite Gleichung als Probe liefert weiter:

$\begin{array}[t]{rll} &2+4\cdot (-2) &=& 4+2\cdot (-5) \\[5pt] &-6 &=& -6 \end{array}$

Die Werte $r = -2$ und $s = -5$ lösen das Gleichungssystem damit eindeutig, somit schneiden sich die Geraden $g$ und $h.$

Koordinaten berechnen

Einsetzen von z.B. $r=-2$ in die zugehörige Geradengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS} &=& \pmatrix{1\\2\\3} -2 \cdot \pmatrix{2\\4\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\-6\\1} \\[5pt] \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $h$ lauten somit $S(-3\mid -6\mid 1).$

Der Punkt $P_1$ ergibt sich aus $S,$ dem Schnittpunkt der Geraden, durch Anlegen des eingezeichneten Vektors $\overrightarrow{SP_1}$ an $S.$ Anschließend ergibt sich $P_2$ durch viermaliges Anlegen des Vektors $\overrightarrow{SP_1}$ in umgekehrter Richtung, ausgehend von dem Punkt $P_1:$

Der Radius der Kugel entspricht der Länge des Vektors $\overrightarrow{MP}:$

$\begin{array}[t]{rll} r &=&\left| \overrightarrow{MP} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{3-3\\8-4\\2-5} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+4^2 +(-3)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{25} \\[5pt] &=& 5 \end{array}$

Da die $z$ -Koordinate des Mittelpunktes $M$ als einzige den Wert $5$ besitzt, berührt die Kugel die $xy$ -Ebene und keine der beiden anderen Koordinatenebenen.

Die Punkte $P$ und $Q$ müssen genau gegenüberliegend auf der Kugel liegen. Es folgt:

$\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{MQ}$

Damit ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OQ}&=&\overrightarrow{OM}+ \overrightarrow{PM} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\4\\5} + \pmatrix{0\\-4\\3} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\0\\8} \end{array}$

Der Punkt $Q$ hat somit die Koordinaten $Q(3\mid 0\mid 8).$

Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$p$ $= \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{2}{5}$ $= \dfrac{2}{625}$

Die Summe der beiden erzielten Zahlen kann nur dann mindestens $11$ betragen, wenn es sich bei den erzielten Zahlen um eine $9$ und eine $2$ handelt oder zweimal eine $9$ gedreht wird. Mit den Pfadregeln folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$p$ $= \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{5}$ $= \dfrac{8}{25}$

Der Graph der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße liegt immer symmetrisch zum Erwartungswert $\mu.$ Je kleiner die Standardabweichung $\sigma,$ desto steiler bzw. spitzer verläuft der Graph. Somit folgt:

Tabelle anzeigen

$\color{#fff}{\mu =10;\sigma =1}$	$\color{#fff}{\mu =10;\sigma =3}$	$\color{#fff}{\mu =7;\sigma =3}$
$\text{II}$	$\text{III}$	$\text{I}$

Der Graph der Dichtefunktion mit $\mu =18$ und $\sigma = 1$ entsteht aus dem Graphen $\text{II}$ durch Verschiebung um $8$ Einheiten in positive $x$ -Richtung.

Der Graph der Dichtefunktion ist symmetrisch zum Erwartungswert $\mu$ und besitzt an dieser Stelle seinen Hochpunkt. Eine Veränderung von $\mu$ bewirkt daher eine Verschiebung des Graphen entlang bzw. entgegen der $x$ -Achse.