Teil C1

Bei einer Fahrt in den Thüringer Wald entdeckte Paul die abgebildeten Häuschen. Beide Dächer sind pyramidenförmig, werden von unterschiedlich langen Stützpfeilern getragen und sind dadurch gegenüber dem Boden gekippt.
Angeregt davon möchte Paul für den Schulhof seiner Schule einen Lesepavillon konzipieren.

Das Dach des Pavillons modelliert er als Mantelfläche einer geraden Pyramide mit den Eckpunkten $A(3\mid 0\mid 4),\;C(0\mid 3\mid 3)$ und $D(0\mid 0\mid 3,5)$ und einer Höhe von drei Längeneinheiten. Alle Seiten der Grundfläche $ABCD$ dieser Pyramide sind gleich lang. Die Stützpfeiler stehen senkrecht zum Boden, der durch die $xy$ -Ebene beschrieben wird. Die Breite der Stützpfeiler wird vernachlässigt. $(1\;\text{LE}$ entspricht $1\;\text{m})$

Bestimme eine Koordinatengleichung der Grundflächenebene der Pyramide und ermittle deren Neigungswinkel gegenüber der $xy$ -Ebene.

(5 BE)

Ermittle die Koordinaten des Punktes $B$ und der Spitze $S$ der Pyramide auf eine Dezimalstelle genau.
$\big[$ Kontrollergebnis: $S(1,0\mid 2,0\mid 6,4) \big]$

(6 BE)

Stelle die Pyramide in einem Koordinatensystem graphisch dar.

(2 BE)

Berechne den Flächeninhalt einer dreieckigen Dachfläche.

(3 BE)

Zwischen zwei diagonal gegenüberliegenden Stützpfeilern soll eine Sitzbank aufgestellt werden.
Berechne die maximale Länge einer solchen Sitzbank.

(2 BE)

Auf der gesamten Dachfläche befinden sich einige Glasziegel, um einen guten Lichteinfall bei Tag zu gewährleisten. Zu einem bestimmten Zeitpunkt verlaufen Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors $\overrightarrow{v}=\pmatrix{0\\1\\-2}.$

Der Punkt, in dem ein Sonnenstrahl auf einen Glasziegel trifft, wird durch $G(1\mid 1\mid 5,05)$ modelliert. Untersuche, ob das Licht innerhalb der Bodenfläche des Pavillons auf den Boden trifft, wenn die Lichtbrechung unberücksichtigt bleibt.

(4 BE)

Berechne den Einfallswinkel, unter dem die Sonnenstrahlen zu diesem Zeitpunkt auf die Dachfläche fallen, die im Modell der Fläche $CDS$ entspricht.

(3 BE)

In der Broschüre „Mehr Nachhaltigkeit im Alltag“ hat das Bundesministerium für Ernährung und Landwirtschaft im Februar 2022 folgende Daten veröffentlicht:
$82\,\%$ der Verbraucher legen Wert darauf, dass ihre Lebensmittel aus der Region stammen, $64\,\%$ achten beim Einkauf auf das Bio-Siegel.
https://www.bmel.de (14.11.2022)

Das Kaufverhalten von Kunden eines Supermarktes soll untersucht werden.
Dazu werden das Modell der Binomialverteilung und die relativen Häufigkeiten aus der Veröffentlichung als Wahrscheinlichkeiten verwendet.

Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

$A:=$

„Von 35 Kunden legen genau 29 Wert auf regionale Produkte.“

$B:=$

„Von 60 Kunden achtet mindestens die Hälfte auf Produkte mit Bio-Siegel.“

$C:=$

„Von 5 Kunden, die hintereinander den Supermarkt betreten, achten nur die letzten beiden auf Produkte mit Bio-Siegel.“

(6 BE)

Die Supermarktleitung möchte die Produktpalette an die Bedürfnisse der Kunden anpassen. Um zu überprüfen, ob der angegebene Anteil aus der Broschüre auch auf ihre Kunden zutrifft, sollen 200 Kunden zu ihrer Einstellung gegenüber regionalen Lebensmitteln befragt werden. Die Sicherheitswahrscheinlichkeit der Überprüfung soll $95\,\%$ betragen.
Bestimme die Mindestanzahl der Kunden, die bei dieser Befragung angeben, dass ihnen regionale Produkte wichtig sind, sodass der angegebene Anteil nicht angezweifelt werden muss.

(3 BE)

In der graphischen Darstellung sind die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit $n=25$ sowie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $D$ als grau markierte Fläche gegeben.
Beschreibe das Ereignis $D$ bezogen auf den Sachzusammenhang.
Gib unter Verwendung des Summenzeichens einen Term an, mit dessen Hilfe die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $D$ berechnet werden kann.

(4 BE)

Zur Ermittlung des Anteils der Verbraucher, die Wert auf regionale Produkte legen und ebenfalls auf das Bio-Siegel achten, wird folgender Ansatz vorgeschlagen:

$0,82 \cdot 0,64$

Beurteile diesen Ansatz.

(2 BE)

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1. Schritt: Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ berechnen

Die Ebene wird von den Vektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{AD}$ aufgespannt. Für einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{n} = 1,5\cdot\pmatrix{-1\\1\\6}$

2. Schritt: Ebenengleichung aufstellen

$E:-x+y+6z=d$

Einsetzen der Koordinaten von $A$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} -3+0+6\cdot4&=& d\\[5pt] 21&=& d \end{array}$

Eine Koordinatengleichung der Grundflächenebene ist somit gegeben als $E:-x+y+6z=21.$

3. Schritt: Neigungswinkel ermitteln

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 13,3^\circ$

Koordinaten von $B$ ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB}&=&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{DC} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\0\\4}+\pmatrix{0\\3\\-0,5} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\3\\3,5} \end{array}$

Für die Koordinaten von $B$ gilt damit $B(3\mid 3\mid 3,5).$

Koordinaten von $S$ ermitteln

Da alle Seiten der Grundfläche gleich lang sind, folgt für den Mittelpunkt $M:$

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{OM} = \pmatrix{1,5\\1,5\\3,5}$

Da die Höhe der Pyramide 3 Längeneinheiten beträgt, folgt mit dem normierten Vektor:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{OS} \approx \pmatrix{1,0\\2,0\\6,4}$

Für die Koordinaten der Spitze gilt somit $S(1,0\mid 2,0\mid 6,4).$

Die Berechnung des Flächeninhalts $A$ einer dreieckigen Dachfläche ergibt mit dem Kreuzprodukt im CAS:

$A$ $= \dfrac{1}{2}\left\vert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AS}\right\vert$ $= \dfrac{1}{2}\left\vert\pmatrix{0\\3\\-0,5}\times\pmatrix{-2\\2\\2,4}\right\vert$ $\approx 5,1\;[\text{m}^2]$

Da die Stützpfeiler senkrecht zum Boden stehen, folgt besipielsweise für die Fußpunkte von $A$ und $C:$

$\(A$ $= \pmatrix{3\\0\\0}$

$\(C$ $= \pmatrix{0\\3\\0}$

Die maximale Länge einer Sitzbank beträgt damit $\(\left\vert\overrightarrow{A$ $\approx 4,24\;[\text{m}].$

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Mit $\overrightarrow{v}$ als Richtungsvektor und $\overrightarrow{G}$ als Stützvektor folgt für die Geradengleichung der Sonnenstrahlen:

$g:\overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\1\\5,05}+r\cdot\pmatrix{0\\1\\-2}$

2. Schritt: Schnittpunkt mit $xy$ -Ebene berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{1\\1\\5,05}+r\cdot\pmatrix{0\\1\\-2}&=&\pmatrix{x\\y\\0} \\[5pt] \pmatrix{1\\1+r\\5,05-2r}&=&\pmatrix{x\\y\\0} \end{array}$

Dieses LGS kann mit dem CAS gelöst werden. Es folgt $r=-2,525$ und damit für die Koordinaten des Schnittpunkts $P_{xy}(1\mid3,525 \mid0).$ Da die $y$ -Koordinate größer als drei ist, liegt der Punkt außerhalb der Bodenfläche des Pavillons.

1. Schritt: Einen Normalenvektor der Dachfläche bestimmen

$\overrightarrow{n}$ $= \overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CS}$ $= \pmatrix{-9,7\\0,5\\3,0}$

2. Schritt: Einfallswinkel der Sonnenstrahlen berechnen

$\sin(\alpha)=\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{v}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{v}\right\vert}$

Mit Hilfe des CAS folgt somit $\alpha \approx 14,0^\circ.$

$P(A)$ $= B_{35 ; 0,82}(X=29)$ $\approx 0,1748$

$P(B)$ $= B_{60 ; 0,64}(X \geq 30)$ $\approx 0,9907$

$P(C)$ $= 0,36^3 \cdot 0,64^2$ $\approx 0,0191$

Die Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt mit Parametern $n=200$ und $p=0,82$ und gibt die Anzahl der Kunden an denen regionale Produkte wichtig sind. Mit dem CAS folgt dann:

$P(X \leq 154)$ $\approx 0,043$ $= 4,3\%$

$P(X \leq 155)$ $\approx 0,062$ $= 6,2\%$

Da die Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\%$ betragen soll, folgt damit 154 als Mindestanzahl an Kunden die angeben, dass ihnen regionale Produkte wichtig sind.

Ereignis $D$

„Von 25 befragten Personen achten mindestens 13 und maximal 20 auf das Bio-Siegel.“

2. Schritt: Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit angeben

Da $X$ binomialverteilt mit $n=25$ und $p=0,64$ ist folgt:

$\displaystyle\sum\limits_{k=13}^{25}\pmatrix{25\\k} \cdot 0,64^{k} \cdot 0,36^{25-k}$

Der Ansatz ist falsch, da in der Rechnung von der Annahme ausgegangen wird, dass es keine Abhängigkeit der beiden Ereignisse gibt. Das muss aber im Allgemeinen nicht gelten.

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