Teil A

Gib in der Tabelle je eine zugehörige Funktionsgleichung an.

Funktionsgleichung von $\color{#fff}{f}$	Funktionsgleichung von $\(\color{#fff}{f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
$f(x)=\dfrac{2}{x^4}$
$f(x)=2x\cdot \mathrm e^{-x}$

(5 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f(x)=-x^2+2ax$ mit $a\gt1$ . Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a.$

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, den Inhalt $\dfrac{4}{3}a^3$ hat.

(2 BE)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein. Bestimme den Wert von $a.$

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=x \cdot \mathrm e^x$ . Die Tangente an den Graphen der Funktion $f$ an der Stelle $x=1$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechne den Inhalt dieser Fläche.

(5 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ , dessen einzige Extrempunkte $(-1 \mid 1)$ und $(0 \mid 0)$ sind, sowie den Punkt $P.$

Gib die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)=-f(x-3)$ an.

(2 BE)

Der Graph einer Stammfunktion von $f$ verläuft durch $P$ .
Skizziere diesen Graphen in der Abbildung.

(3 BE)

Gegeben ist eine gerade Pyramide $ABCDS.$ Die Grundfläche $ABCD$ der Pyramide ist ein Rechteck mit den Eckpunkten $A(-2\mid-3\mid 1)$ , $B(2\mid-5\mid 3)$ und $D(0\mid-1\mid-1)$ sowie dem Mittelpunkt $M.$ Der Punkt $E$ teilt die Strecke $\overline{AB}$ in zwei Teilstrecken so, dass $\overline{AE}: \overline{EB}=1: 3$ gilt.

Gib die Koordinaten von $M$ an.

(1 BE)

Bestimme die Koordinaten von $E.$

(2 BE)

Stelle die Vektoren $\overrightarrow{SM}$ und $\overrightarrow{ES}$ als Linearkombination der Vektoren $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AS}$ dar.

(2 BE)

Gegeben ist die Gerade $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\1\\1}+\lambda\cdot\pmatrix{1\\0\\-1}$ mit $\lambda\in\mathbb{R}.$

Zeige, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x+y+z=2$ liegt.

(2 BE)

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_a: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\1}+\mu \cdot\pmatrix{1\\a\\0}$ mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}.$ Weise nach, dass $g$ und $h_a$ für jeden Wert von $a$ windschief sind.

(3 BE)

Gegeben sind der Quader $ABCDEFGH$ und die Ebene $\varepsilon$ durch $\varepsilon: 6 x+4 y+3z=32$ . Die Ebene $\varepsilon$ enthält die Punkte $B$ und $G.$ Sie schneidet die Kante $\overline{EF}$ im Punkt $S$ . Berechne das Volumen der Pyramide $BGFS.$

(5 BE)

Eine normalverteilte Zufallsgröße $X$ hat die Dichtefunktion $f$ . Der Graph von $f$ besitzt den Hochpunkt $H(10 \mid 0,16)$ und einen Wendepunkt $W(7,5 \mid 0,1).$

Skizziere den Graph dieser Dichtefunktion und gib für die Zufallsgröße $X$ den Erwartungswert und die Standardabweichung an.

(3 BE)

Beschreibe den Einfluss einer Vergrößerung von $\sigma$ auf die Koordinaten des Punktes $H.$

(2 BE)

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl $2,$ auf zwei der Kugeln die negative Zahl $a.$ Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}$ berechnet werden kann.

(1 BE)

Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von $X$ ist $4.$ Bestimme den Wert von $a.$

(4 BE)

Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ hat die $2 \sigma$ -Umgebung $[78; 102].$ Berechne die Parameter $n$ und $p$ der Zufallsgröße $X.$

(5 BE)

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Tabelle anzeigen

Funktionsgleichung von $\color{#fff}{f}$	Funktionsgleichung von $\(\color{#fff}{f$
$f(x)=\dfrac{1}{8}x^4-4x$	$\(f$
$f(x)=-2\cdot \cos(x)$	$\(f$
$f(x)=\dfrac{2}{3}(x-3)^{\frac{3}{2}}$	$\(f$
$f(x)=\dfrac{2}{x^4}$	$\(f$
$f(x)=2x\cdot \mathrm e^{-x}$	$\(f$

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{2a}f(x)\;\mathrm dx = \dfrac{4}{3}a^3\;[\text{FE}]$

1. Schritt: Koordinaten des Hochpunkts bestimmen

$f$ ableiten:

$\(f$

Notwendige Bedinung für eine Nullstelle prüfen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Auf das Überprüfen der hinreichenden Bedinung kann verzichtet werden, da der Aufgabenstellung entnommen werden kann, dass es sich bei dem Extremum um einen Hochpunkt handelt.

$x = a$ in $f(x)$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} f(a)&=&-a^2 + 2a \cdot a \\[5pt] &=& -a^2 + 2 a^2 \\[5pt] &=& a^2 \end{array}$

Der Hochpunkt von $f$ hat also die Koordinaten $(a \mid a^2).$

2. Schritt: Flächinhalt berechnen

Da der Hochpunkt von $f$ auf der oberen Seite des Quadrats liegt, muss die Seitenlänge des Quadrats $a^2$ betragen. Der Flächeninhalt des Quadrats ist somit $a^2 \cdot a^2 = a^4 \; [\text{FE}].$

3. Schritt: $a$ bestimmen

Gleichsetzen und nach $a$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} a^4&=& \dfrac{4}{3}a^3&\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{4}{3}a^3 \\[5pt] a^4 -\dfrac{4}{3}a^3 &=& 0 \\[5pt] a^3\left(a- \dfrac{4}{3}\right) &=& 0 \\[5pt] a_1 &=& 0 \\[5pt] a_2 &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$

Da $a\gt1$ gelten soll, folgt $a = \dfrac{4}{3}.$

1. Schritt: Ableitung von $f$ bestimmen

Mit der Produktregel folgt:

$\(f$

2. Schritt: Tangentengleichung aufstellen

Steigung an der Stelle $x=1:$

$\(m=f$ $= 1$ $\cdot\mathrm e^1$ $+\mathrm e^1$ $= 2\mathrm e$

Es folgt $t(x)=2\mathrm e\cdot x+b.$ Koordinaten des Punktes $(1\mid t(1))=(1\mid f(1))=(1\mid \mathrm e)$ in $t(x)$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$b=-\mathrm e$

Für die Gleichung der Tangente folgt $t(x)=2\mathrm e\cdot x - \mathrm e.$ Für den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse gilt:

Rechenweg anzeigen

$x=\dfrac{1}{2}$

3. Schritt: Flächeninhalt $A$ der eingeschlossenen Fläche berechnen

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}2\mathrm e\cdot x - \mathrm e\;\mathrm dx = -\dfrac{1}{4}$

Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche ergibt sich als der Betrag des Integrals, das heißt es gilt $A=\dfrac{1}{4}\cdot \mathrm e\;[\text{FE}].$

Der Graph von $g(x)$ enspricht dem an der $x$ -Achse gespiegelten und um $3\; \text{LE}$ in $x$ -Richtung verschobenen Graphen von $f.$ Der Tiefpunkt des Graphen $g$ hat die Koordinaten $(2 \mid -1).$

Da die Pyramide gerade ist, liegt $M$ in der Mitte zweier gegenüberliegenden Eckpunkte.

$\overrightarrow{OM}$ $= \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OB}$ $+\overrightarrow{OD})$ $= \dfrac{1}{2}\left(\pmatrix{2\\-5\\3}+\pmatrix{0\\-1\\-1}\right)$ $= \pmatrix{1\\-3\\1}$

Für die Koordinaten von $M$ folgt $M(1\mid -3 \mid 1).$

Da $\overline{AE}:\overline{EB}=1:3$ gelten soll, folgt für $E:$

$\overrightarrow{OE}$ $= \overrightarrow{OA}$ $+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-2\\-3\\1}$ $+ \dfrac{1}{4}\pmatrix{4\\-2\\2}$ $= \pmatrix{-1\\-3,5\\1,5}$

Der Punkt $E$ hat damit die Koordinaten $E(-1\mid -3,5\mid 1,5).$

Vektor $\overrightarrow{SM}$ darstellen

Da $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OB}$ $+\overrightarrow{OD})$ gilt, ergibt sich:

$\overrightarrow{SM}$ $=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{a}$ $+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{b}$ $-\overrightarrow{c}$

Vektor $\overrightarrow{ES}$ darstellen

Aus Aufgabenteil b) folgt:

$\overrightarrow{ES}=-\dfrac{1}{4} \overrightarrow{a}$ $+\overrightarrow{c}$

Ablesen aus der Geradengleichung von $g$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} x&=&\lambda \\[5pt] y&=&1 \\[5pt] z&=&1-\lambda \end{array}$

Koordinaten in die Ebenengleichung einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} x+y+z&=& 2& \\[5pt] \lambda+1+1-\lambda&=& 2& \\[5pt] 2&=& 2 \end{array}$

Somit liegt die Gerade $g$ in der Ebene.

Zwei Geraden sind genau dann windschief, wenn sie nicht parallel sind und keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben.

Parallelität überprüfen:

$\pmatrix{1\\0\\-1}= n\cdot \pmatrix{1\\a\\0}$

Da aus der ersten Zeile $n=1$ , aus der zweiten Zeile $n=0$ und aus der dritten Zeile $-1\neq n\cdot 0$ folgt, sind die Richtungsvektoren der Geraden linear unabhängig, das heißt die Gerade $g$ und die Geraden der Schar $h_a$ sind somit für alle $a$ nicht parallel zueinander.

Schnittpunkt prüfen:

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{\lambda\\1\\-\lambda} = \pmatrix{\mu\\ \mu\cdot a\\0}$

Aus der dritten Zeile folgt $\lambda=0$ und eingesetzt in die erste Zeile $\lambda=\mu=0.$

Einsetzen in die zweite Zeile ergibt jedoch $1=0\cdot a,$ was einen Widerspruch ergibt.

Die Gerade $g$ und die Geraden der Schar $h_a$ haben somit keinen Schnittpunkt und sind damit insgesamt für jeden Wert von $a$ windschief.

1. Schritt: Koordinaten des Punktes $S$ bestimmen

Da $\overrightarrow{OE}$ und $\overrightarrow{OF}$ gleiche $x$ - und $z$ -Koordinaten besitzen, ist ein allgemeiner Punkt auf der Kante $\overline{EF}$ von der Form $\pmatrix{2\\y\\4},$ wobei $y\in[0;5].$ Einsetzen in die Ebenengeichung liefert für $S:$

Rechenweg anzeigen

$y=2$

Der gesuchte Punkt hat damit die Koordinaten $S(2\mid 2\mid 4).$

2. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen

Da die Spitze $S$ der Pyramide auf der Kante $\overline{EF}$ liegt, ergibt sich die Höhe der Pyramide wie folgt:

$h$ $= \vert\overline{SF}\vert$ $= \left\vert \,\pmatrix{2\\5\\4}-\pmatrix{2\\2\\4} \right\vert \,$ $= \sqrt{0^2+3^2+0^2}$ $= 3\;[\text{LE}]$

In der Abbildung des Quaders ist erkennbar, dass sich $B$ bzw. $G$ sich nur durch die $z$ - bzw. $x$ -Koordinate von $F$ unterscheiden. Für den Inhalt der Grundfläche der Pyramide gilt daher:

Rechenweg anzeigen

$G=4\;[\text{FE}]$

Für das Volumen der Pyramide folgt damit:

$V$ $= \dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$ $= \dfrac{1}{3}\cdot 4\cdot 3$ $= 4\;[\text{VE}]$

Mit Hilfe der $x$ -Werte des Hochpunktes $H(10\mid 0,16)$ und des Wendepunktes $W(7,5\mid 0,1)$ folgt $\mu = 10$ und $\sigma = 10-7,5 = 2,5.$

Mit einer Vergrößerung der Standardabweichung $\sigma$ flacht die Kurve der Dichtefunktion ab, der Erwartungswert ändert sich jedoch aufgrund der Symmetrie nicht, das heißt der $y$ -Wert von $H$ wird kleiner, während der $x$ -Wert gleich bleibt.

„Es werden zwei Kugeln aus dem Behälter gezogen, die mit unterschiedlichen Zahlen beschriftet sind."

$X:$ Produkt der Zahlen, die auf den beiden gezogenen Kugeln stehen

Die Produkte ergeben sich zu:

$2\cdot a=2a$

$2\cdot 2=4$

$a\cdot a=a^2$

$\color{#fff}{X}$	$\color{#fff}{P(X)}$
$2a$	$2\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{25}$
$4$	$\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}$
$a^2$	$\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{25}$

Der Erwartungswert folgt also mit:

$E(X)=4$

Rechnung anzeigen

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2+16}& \\[5pt] &=& -\dfrac{6}{2}\pm\sqrt{9+16}&\\[5pt] &=& -\dfrac{6}{2}\pm5&\\[5pt] \end{array}$