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Lerninhalte in Mathe
Digitales Schulbuch
Inhaltsverzeichnis

Vektorprodukt

Definition

Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{u}=\pmatrix{u_x\\u_y\\u_z}\) und \(\overrightarrow{v}=\pmatrix{v_x\\v_y\\v_z}\) ist wie folgt definiert:
\(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\pmatrix{u_x\\u_y\\u_z}\times \pmatrix{v_x\\v_y\\v_z}\)\(=\pmatrix{u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x}\)
Dieser Vektor, der „\(u\) Kreuz \(v\)“ gelesen wird, heißt Normalenvektor.
Merkhilfe zur Berechnung des Vektorprodukts:
\(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\pmatrix{\color{#44B350}{u_yv_z}-\color{#2D6EC8}{u_zv_y}\\\color{#44B350}{u_zv_x}-\color{#2D6EC8}{u_xv_z}\\\color{#44B350}{u_xv_y}-\color{#2D6EC8}{u_yv_x}}\)
kreuzprodukt, vektorprodukt

Rechengesetze für das Vektorprodukt

Für alle Vektoren \(\overrightarrow{u},\) \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) und alle \(a\in \mathbb R\) gilt:
  1. Sind \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) Vielfache voneinander, so gilt \(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\overrightarrow{o}.\)
  2. \(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=-\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{u}\)
  3. \(\overrightarrow{u}\times \left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{w}\)
  4. \(\overrightarrow{u}\times \left(a\cdot \overrightarrow{v}\right)=a\cdot \left(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\right)\)

Flächeninhalt eines Parallelogramms

Das durch die beiden Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt \(A=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|.\)
flächeninhalt parallelogramm, kreuzprodukt, vektorprodukt