Lerninhalte in Mathe

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Einsetzungsverfahren

Vorgehen zur rechnerischen Lösung von LGS

Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen.
Durch Einsetzen dieses Terms in die andere Gleichung ergibt sich eine Gleichung mit einer Variablen. Außerdem wird die nach der Variablen umgestellte Gleichung beibehalten.
Auflösen der Gleichung mit einer Variable nach der Unbekannten liefert eine Koordinate der Lösung.
Bekannte Variable in zweite Gleichung mit zwei Variablen einsetzen und nach der Unbekannten auflösen. Das liefert die andere Koordinate der Lösung.
Lösungsmenge angeben.

Beispiel

$\begin{array}{|lrr|} & 2x+3y&=& 5 &\\ & -4x+y&=& -3 &\\ \end{array}$

1. Zweite Gleichung nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & 2x+3y&=& 5 &\\ & y&=& -3+4x & \\ \end{array}$

2. Einsetzen und umgestellte Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & 2x+3(-3+4x)&=& 5 &\\ & y&=& -3+4x &\\ \end{array}$

3. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& 1 &\\ & y&=& -3+4x &\\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{x}$ -Wert in zweite Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{y}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & x &=& 1 &\\ & y&=& 1 &\\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\{(1\mid 1)\}$

1

a)

1. Zweite Gleichung nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & 2x+y&=& 4 &\\ & y&=& -3x+2 & \\ \end{array}$

2. Einsetzen und umgestellte Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & 2x-3x+2&=& 4 &\\ & y&=& -3x+2 &\\ \end{array}$

3. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& -2 &\\ & y&=& -3x+2 &\\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{x}$ -Wert in zweite Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{y}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& -2 &\\ & y&=& 8 &\\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\{(-2\mid 8)\}$

b)

1. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& 2y+1 &\\ & 3x-2y&=& 0 &\\ \end{array}$

2. Einsetzen und umgestellte Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& 2y+1 &\\ & 3(2y+1)-2y&=& 0 &\\ \end{array}$

3. Zweite Gleichung nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& 2y+1 &\\ & y&=& -\dfrac{3}{4} &\\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{y}$ -Wert in erste Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{x}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& -\dfrac{1}{2} &\\ & y&=& -\dfrac{3}{4} &\\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\left\{\left(-\dfrac{1}{2}\,\bigg \vert \,-\dfrac{3}{4}\right)\right\}$

c)

1. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & y&=& -5-2x &\\ & -3x+3y&=& 3 &\\ \end{array}$

2. Einsetzen und umgestellte Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & y&=& -5-2x &\\ & -3x+3(-5-2x)&=& 3 &\\ \end{array}$

3. Zweite Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & y&=& -5-2x &\\ & x&=& -2 &\\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{x}$ -Wert in erste Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{y}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & y&=& -1 &\\ & x&=& -2 &\\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\{(-2\mid -1)\}$

2

a)

1. Zweite Gleichung nach $\boldsymbol{4y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & 3x+4y&=& 11 &\\ & 4y&=& 2x+1 &\\ \end{array}$

2. Einsetzen und umgestellte Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & 3x+2x+1&=& 11 &\\ & 4y&=& 2x+1 &\\ \end{array}$

3. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& 2 &\\ & 4y&=& 2x+1 &\\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{x}$ -Wert in zweite Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{y}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& 2 &\\ & y&=& \dfrac{5}{4} &\\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\left\{\left(2\,\bigg \vert \,\dfrac{5}{4}\right)\right\}$

b)

1. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{3y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & 3y&=& 7+2x &\\ & 4x-3y&=& 2 & \\ \end{array}$

2. Einsetzen und umgestellte Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & 3y&=& 7+2x &\\ & 4x-(7+2x)&=& 2 &\\ \end{array}$

3. Zweite Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & 3y&=& 7+2x &\\ & x&=& \dfrac{9}{2} & \\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{x}$ -Wert in erste Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{y}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & y&=& \dfrac{16}{3} &\\ & x&=& \dfrac{9}{2} & \\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\left\{\left(\dfrac{9}{2}\,\bigg \vert \,\dfrac{16}{3}\right)\right\}$

c)

1. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{2y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & 2y&=& 18-6x &\\ & -5x+8y&=& 14 &\\ \end{array}$

2. Einsetzen und umgestellte Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & 2y&=& 18-6x &\\ & -5x+4(18-6x)&=& 14 &\\ \end{array}$

3. Zweite Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & 2y&=& 18-6x &\\ & x&=& 2 &\\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{x}$ -Wert in erste Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{y}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & y&=& 3 &\\ & x&=& 2 &\\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\{(2\mid 3)\}$

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