Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

Linearkombination von Vektoren

Eine Linearkombination ist eine Summe von Vielfachen der Vektoren $\overrightarrow{v_1},\,\overrightarrow{v_2},\,...,\,\overrightarrow{v_n}$ der Art $k_1\cdot \overrightarrow{v_1}+k_2\cdot \overrightarrow{v_2}+...+k_n\cdot \overrightarrow{v_n}$ mit $k_1,\,k_2,\,...,\,k_n \in \mathbb R.$

Beispiel
Der Vektor $\pmatrix{5\\11\\-2}$ ist eine Linearkombination der Vektoren $\pmatrix{1\\8\\3},$ $\pmatrix{-1\\1\\3},$ $\pmatrix{0\\-2\\1}:$

$\pmatrix{5\\11\\-2}=2\cdot \pmatrix{1\\8\\3}+(-3)\cdot \pmatrix{-1\\1\\3}+\pmatrix{0\\-2\\1}$

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

Vektoren sind linear abhängig voneinander, wenn mindestens einer von ihnen als eine Linearkombination der anderen dargestellt werden kann.

Vektoren sind linear unabhängig voneinander, wenn keiner von ihnen als eine Linearkombination der anderen dargestellt werden kann.

Test auf lineare Unabhängigkeit
Drei Vektoren $\overrightarrow{u},$ $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ sind linear unabhängig voneinander, wenn die Gleichung $r\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}+t\cdot \overrightarrow{w}=\overrightarrow{o}$ nur die Lösung $r=s=t=0$ hat.