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Lerninhalte in Mathe
Digitales Schulbuch
Inhaltsverzeichnis

Punkte im Raum

Räumliches Koordinatensystem

In einem räumlichen kartesischen Korrdinatensystem mit drei Achsen können Punkte im Raum dargestellt werden. Dabei gilt:
  • Die Achsen stehen paarweise orthogonal zueinander.
  • Auf den Achsen werden Einheitsstrecken mit gleicher Länge festgelegt. Diese Länge wird als Einheit des Koordinatensystems bezeichnet.
  • Der Ursprung ist der gemeinsame Nullpunkt \(0\) aller Achsen.
  • Zwei Achsen spannen gemeinsam eine Koordinatenebene auf. Die Koordinatenebenen stehen ebenfalls paarweise orthogonal zueinander.
  • Die Koordinatenebenen zerlegen den Raum in acht Teile, die sogenannten Oktanten.
punkte im raum, räumliches kartesisches koordinatensystem

Zeichnen des räumlichen Koordinatensystems

  • Die \(y\)- und \(z\)-Achse werden wie bei einem ebenen Koordinatensystem gezeichnet und eine geeignete Längeneinheit gewählt.
  • Die \(x\)-Achse wird in einem \(45°\)-Winkel zur \(y\)-Achse nach vorne geneigt eingezeichnet.
  • Die Einheiten auf der \(x\)-Achse werden um den Faktor \(k=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\approx 0,7\) verkürzt dargestellt.
    In der Regel wird die Längeneinheit \(1\,\text{cm}\) (zwei Kästchen) gewählt. Auf der \(x\)-Achse entpricht dann die Länge einer Kästchendiagonalen einer Längeneinheit.
punkte im raum, räumliches kartesisches koordinatensystem

Punkte im räumlichen Koordinatensystem

Ein Punkt mit beispielsweise den Koordinaten \(P(2\mid 4\mid 3)\) kann mithilfe eines Polygonzuges in das Koordinatensystem eingezeichnet werden. Dabei wird vom Ursprung aus
  • \(2\) Einheiten in Richtung der \(x\)-Achse,
  • \(4\) Einheiten in Richtung der \(y\)-Achse und
  • \(3\) Einheiten in Richtung der \(z\)-Achse gegangen.
Ein Punkt kann jedoch im Allgemeinen nicht ohne weitere Angaben eindeutig aus dem Koordinatensystem abgelesen werden. Der Punkt \(P\) könnte zum Beispiel auch die Koordinaten \((4\mid 5\mid 4)\) haben.
punkte im raum, räumliches kartesisches koordinatensystem