Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert

Zufallsgröße

Bei einem Zufallsversuch wird jedem Ergebnis ein Wert zugeordnet. Diese Zuordnung wird als Zufallsgröße bezeichnet.

Zufallsgrößen werden oft mit $X$ bezeichnet.

Jeder Wert der Zufallsvariablen tritt dabei mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auf. Alle Werte der Zufallsgröße und deren Wahrscheinlichkeit werden als Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße bezeichnet.

Beispiel

Wird bei einem Glücksrad die Zahl $2$ gedreht, so beträgt der Gewinn $10\,€.$ $X=10$ beschreibt das Ereignis „Der Wert des Gewinns beträgt $10\,€.$ “

Beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine $2$ zu drehen z.B. $\dfrac{1}{10},$ so lautet die Schreibweise $P(X=10)=\dfrac{1}{10}.$

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Der Mittelwert für die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße wird Erwartungswert genannt.

Wenn eine Zufallsgröße $X$ die Werte $x_1,x_2,...,x_n$ mit den Wahrscheinlichkeiten $P(X=x_1),$ $P(X=x_2),...,$ $P(X=x_n)$ annimmt, dann bezeichnet $E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)$ $+x_2\cdot P(X=x_2)+...$ $+x_n\cdot P(X=x_n)$ den Erwartungswert.

Statt $E(X)$ kann auch $\mu$ (griechisch; „mü“ ausgesprochen) geschrieben werden.

	EINS	ZWEI	DREI	VIER	FÜNF	SECHS
EINS	2	3	4	5	6	7
ZWEI	3	4	5	6	7	8
DREI	4	5	6	7	8	9
VIER	5	6	7	8	9	10
FÜNF	6	7	8	9	10	11
SECHS	7	8	9	10	11	12

Wahrscheinlichkeiten für die Augensummen:

Wert Zufallsgröße	Wahrscheinlichkeit
$2$	$\dfrac{1}{36}$
$3$	$\dfrac{2}{36}$
$4$	$\dfrac{3}{36}$
$5$	$\dfrac{4}{36}$
$6$	$\dfrac{5}{36}$
$7$	$\dfrac{6}{36}$
$8$	$\dfrac{5}{36}$
$9$	$\dfrac{4}{36}$
$10$	$\dfrac{3}{36}$
$11$	$\dfrac{2}{36}$
$12$	$\dfrac{1}{36}$

Augensumme größer als $\boldsymbol{6}$ und kleiner als $\boldsymbol{11}$

$P(6\lt X\lt 11)=P(X=7)$ $+P(X=8)$ $+P(X=9)$ $+P(X=10)$ $=\dfrac{6}{36}+\dfrac{5}{36}$ $+\dfrac{4}{36}+\dfrac{3}{36}$ $=\dfrac{1}{2}$

Augensumme mindestens $\boldsymbol{8}$

$P(X\geq 8)=P(X=8)$ $+P(X=9)$ $+P(X=10)$ $+P(X=11)$ $+P(X=12)$ $=\dfrac{5}{36}+\dfrac{4}{36}$ $+\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{36}$ $=\dfrac{5}{12}$

Augensumme höchstens $\boldsymbol{8}$

$P(X\leq 8)=P(X=2)$ $+P(X=3)$ $+...$ $+P(X=8)$ $=\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}$ $+\dfrac{3}{36}+\dfrac{4}{36}+\dfrac{5}{36}+\dfrac{6}{36}$ $+\dfrac{5}{36}$ $=\dfrac{13}{18}$