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Zinseszinsen

Wenn Zinsen nach einem Zeitraum zum Kapital dazugerechnet werden und im nächsten Zeitraum mitverzinst werden, wird das Zinseszinsen genannt.
Der Zinsfaktor bezieht sich auf den Zinssatz und gibt an, um wie viel das Kapital anwächst.
Z.B. gehört zum Zinssatz \(1\,\%\) der Zinsfaktor \(1,01.\)
Zinseszinsformel
Ein Kapital \(K\) wächst in \(n\) Jahren mit einem Zinsfaktor \(q\) auf \(\boldsymbol{K\cdot q^n}\) an.
Es gilt \(q=1+\dfrac{p}{100},\) wobei \(p\) dem Zinssatz entspricht. Das Startkapital wird mit \(K_0\) bezeichnet. \(K_n\) entspricht dem Kapital nach \(n\)-Jahren.
\(\boldsymbol{K_n=K_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n}\)

Beispiel

Ein Kapital von \(1\,000\,€\) wird mit einem Zinssatz von \(3\,\%\) für \(5\) Jahre angelegt.
\(K_5=1\,000\cdot \left(1+\dfrac{3}{100}\right)^5\approx 1\,159,27\,€\)
Nach \(5\) Jahren beträgt das Kapital also ca. \(1\,159,27\,€.\)
1
Caia möchte ihr Geld in Höhe von \(7.680\,€\), das ihre Eltern für sie angespart haben, bei einer Bank zu einem Zinssatz von \(3,5\,\%\) für \(4\) Jahre anlegen.
a)
Auf welchen Betrag wird das Kapital anwachsen?
b)
Berechne die gesamten Zinsen in den \(4\) Jahren.
c)
Caias Dad ist der Meinung, dass ein Invest in sogenannte ETFs mit einer erwarteten Rendite von \(8\,\%\) pro Jahr die bessere Wahl wäre. Auf welchen Betrag würde Caias Kapital im gleichen Zeitraum wie oben anwachsen? (Du kannst annehmen, dass die Rendite einem Zinssatz entspricht, bei dem die Zinsen mitverzinst werden.)
2
Mila möchte \(1\,500\,€\) zu einem Zinssatz von \(2,5\,\%\) anlegen.
a)
Nach wie vielen Jahren hat sie einen Betrag von \(1\,600\,€\) angespart?
b)
Wenn Mila nach \(5\) Jahren mindestens \(1\,900\,€\) angespart haben will, zu welchem Zinssatz müsste sie das Kapital anlegen?

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1
a)
\(K_4=7\,680\,€\cdot \left(1+\dfrac{3,5}{100}\right)^4\approx 8\,812,98\,€\)
b)
\(K_4-K_0=8\,812,98\,€-7\,680\,€\)\(=1\,132,98\,€\)
c)
\(K_4=7\,680\,€\cdot \left(1+\dfrac{8}{100}\right)^4\approx 10\,448,56\,€\)
Bei ETFs ist jedoch das Risiko da, dass das Kapital auch weniger werden kann.
2
a)
\(K_n=K_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n\)
Rechenweg anzeigen
\( n\approx 2,6 \)
\(\begin{array}[t]{rll} 1\,600\,€&=&1\,500\,€\cdot \left(1+\dfrac{2,5}{100}\right)^n & \scriptsize \mid\;:1\,500\,€ \\[5pt] \dfrac{16}{15}&=&1,025^n & \scriptsize \mid\;\log \\[5pt] \log_{1,025}\left(\dfrac{16}{15}\right)&=&n\\[5pt] n&\approx&2,6 \end{array}\)
Nach ca. 2 Jahren und 7 Monaten hat Mila den Betrag angespart. Werden die Zinsen erst am Ende des Jahres gutgeschrieben, nach 3 Jahren.
b)
\(K_n=K_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n\)
\(\begin{array}[t]{rll} 1\,900\,€&=&1\,500\,€\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^5 \scriptsize \mid\;:1\,500\,€ \\[5pt] \dfrac{19}{15}&=&\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^5 \scriptsize \mid\;\sqrt[5]{\,\,}\\[5pt] \sqrt[5]{\dfrac{19}{15}}&=&1+\dfrac{p}{100} \scriptsize \mid\;-1\\[5pt] \sqrt[5]{\dfrac{19}{15}}-1&=&\dfrac{p}{100} \scriptsize \mid\;\cdot 100\\[5pt] p&\approx& 4,84\,\% \end{array}\)
Würde man auf einen Zinssatz von \(4,8\,\%\) abrunden, dann hätte Mila nach 5 Jahren nur knapp unter \(1900\,€.\) Sie müsste das Geld daher zu einem Zinssatz von \(4,9\,\%\) anlegen.

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