Logistisches Wachstum
Definition
Wenn für einen Bestand 
mit einer Sättigungsgrenze 
die Gleichung 
gilt und der Zuwachs 
in jedem Zeitschritt die Bedingung 
mit 
erfüllt, so handelt es sich um logistisches Wachstum. Es gilt:
Beispiel
Die Verbreitung einer Nachricht kann durch logistisches Wachstum modelliert werden: Ein neues Produkt wird auf Social Media vorgestellt. Die Nachricht wird von den ersten Nutzern schnell geteilt und verbreitet sich nahezu exponentiell, da immer mehr Menschen die Nachricht sehen und teilen.Nach einer gewissen Zeit haben viele Nutzer die Nachricht bereits gesehen. Das Wachstum der Nachricht flacht immer weiter ab, da die meisten das Produkt schon kennen. Die Ausbreitung der Nachricht ist beschränkt durch die begrenzte Anzahl von Nutzern.
1
In einer Bakterienkultur befinden sich anfangs 
Bakterien. Sie wächst logistisch bei einer Sättigungsgrenze von 
Bakterien unter der Annahme, dass 
gilt.
Ein Zeitabschnitt ist 10 Minuten lang. Bestimme die Anzahl der Bakterien nach einer Stunde.
2
In einem Wohnheim mit 
Bewohnern infizieren sich zwei Personen mit einer ansteckenden Krankheit. Nach einem Tag hat sich eine weitere Personen angesteckt.
a)
Die Verbreitung der Krankheit wird mit logistischem Wachstum modelliert. Erläutere, warum dieses Modell geeignet ist.
b)
Bestimme eine rekursive Formel.
c)
Berechne, wie viele Personen in den ersten drei Tagen erkrankt sind.
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1
Nach einer Stunde sind ungefähr 
Bakterien vorhanden.
2
a)
Zu Beginn verbreitet sich die Krankheit schnell. Nach einer gewissen Zeit flacht das Wachstum jedoch ab, da einige Personen bereits infiziert sind oder eine Immunität entwickelt haben. Die Verbreitung ist außerdem durch die Anzahl der Bewohner begrenzt.
b)
c)