Lerninhalte in Mathe

BLF-Aufgaben (MMS)

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Logarithmusfunktion

Wird die Exponentialfunktion $y=b^x$ umgekehrt, so entsteht die Logarithmusfunktion $y=\log_b(x).$

Als Logarithmusfunktion zur Basis $\boldsymbol{b}$ wird die Funktion mit der Gleichung $\boldsymbol{y=\log_b(x)}$ (mit $b\gt 0, b\neq 1, D=\mathbb{R}_+^*)$ bezeichnet.

Die Logarithmusfunktion zur Basis $\mathrm e$ hat die Gleichung $\boldsymbol{y=\ln(x)}$ und wird natürliche Logarithmusfunktion genannt.

Es gelten dabei folgende Eigenschaften:

Der Graph der Funktion

steigt, wenn $b\gt 1,$
fällt, wenn $0\lt b\lt 1.$

Der Graph der Funktion verläuft rechts von der $\boldsymbol{y}$ -Achse. Für den Wertebereich gilt $W=\mathbb{R}.$
Für den Verlauf des Graphen gilt

für $b\gt1:$ Verlauf unterhalb der $x$ -Achse bis $x=1,$ danach oberhalb;
für $0\lt b\lt1:$ Verlauf oberhalb der $x$ -Achse bis $x=1,$ danach unterhalb.

Der Graph nähert sich links der $\boldsymbol{y}$ -Achse an.
Alle Graphen haben genau einen gemeinsamen Punkt und zwar $P(1\mid 0).$
Wird $x$ mit einem Faktor $s$ multipliziert, also $y=\log_b(s\cdot x),$ so kann stattdessen $y=\log_b(x)+\log_b(s)$ geschrieben werden.

Logarithmenfunktion

1

a)

Logarithmenfunktion

Eigenschaften:

Graph verläuft für $0\lt x\lt 1$ unterhalb der $x$ -Achse.
Graph verläuft für $x\gt 1$ oberhalb der $x$ -Achse.
Graph ist steigend, da $b\gt 1.$
Graph schneidet die $x$ -Achse im Punkt $P(1\mid 0).$

b)

Logarithmenfunktion

Eigenschaften:

Graph verläuft für $0\lt x\lt 1$ unterhalb der $x$ -Achse.
Graph verläuft für $x\gt 1$ oberhalb der $x$ -Achse.
Graph ist steigend, da $b\gt 1.$
Graph schneidet die $x$ -Achse im Punkt $P(1\mid 0).$

c)

Logarithmenfunktion

Eigenschaften:

Graph verläuft für $0\lt x\lt 1$ oberhalb der $x$ -Achse.
Graph verläuft für $x\gt 1$ unterhalb der $x$ -Achse.
Graph ist fallend, da $0\lt b\lt 1.$
Graph schneidet die $x$ -Achse im Punkt $P(1\mid 0).$

d)

Logarithmenfunktion

Eigenschaften:

Graph verläuft für $0\lt x\lt 1$ unterhalb der $x$ -Achse.
Graph verläuft für $x\gt 1$ oberhalb der $x$ -Achse.
Graph ist steigend, da $b\gt 1.$
Graph schneidet die $x$ -Achse im Punkt $P(1\mid 0).$
Natürliche Logarithmusfunktion, da Basis $\mathrm e.$

2

a)

$P(4\mid 2)$

$y=\log_b(x)$

$2=\log_b(4)$

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Daher muss gelten: $b^2=4$

$b_1=2,$ $b_2=-2$

$y=\log_2(x),$ da $b\gt 0$ sein muss laut Definition.

b)

$P(8\mid 3)$

$y=\log_b(x)$

$3=\log_b(8)$

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Daher muss gelten: $b^3=8$

$b=2$

$y=\log_2(x)$

c)

$P(1\mid 0)$

$y=\log_b(x)$

$0=\log_b(1)$

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Daher muss gelten: $b^0=1,$ also $1=1$

$y=\log_b(x),$ da jede Logarithmusfunktion den gemeinsamen Punkt $P(1\mid 0)$ hat.

d)

$P(2\mid -1)$

$y=\log_b(x)$

$-1=\log_b(2)$

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Daher muss gelten: $b^{-1}=2,$ also $\dfrac{1}{b}=2$ und damit $b=\dfrac{1}{2}$

$y=\log_{\frac{1}{2}}(x)$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?