Lerninhalte in Mathe

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Gleichsetzungsverfahren

Vorgehen zur rechnerischen Lösung von LGS

Beide Gleichungen nach gleicher Variable auflösen.
Durch Gleichsetzen ergibt sich eine Gleichung mit einer Variablen. Außerdem wird eine der Gleichungen mit zwei Variablen beibehalten.
Auflösen der Gleichung mit einer Variable nach der Unbekannten liefert eine Koordinate der Lösung.
Bekannte Variable in zweite Gleichung mit zwei Variablen einsetzen und nach der Unbekannten auflösen. Das liefert die andere Koordinate der Lösung.
Lösungsmenge angeben.

Beispiel

$\begin{array}{|lrl|} & 3x+y&=& 2 &\\ & -2x+y&=& -3 &\\ \end{array}$

1. Gleichungen nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & y&=& 2-3x &\\ & y&=& -3+2x & \\ \end{array}$

2. Gleichsetzen und weitere Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & -3+2x &=& 2-3x &\\ & y&=& -3+2x &\\ \end{array}$

3. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & x &=& 1 &\\ & y&=& -3+2x & \\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{x}$ -Wert in zweite Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{y}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & x &=& 1 &\\ & y&=& -1 &\\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\{(1\mid -1)\}$

1

a)

1. Gleichungen nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & y&=& 3x+1 &\\ & y&=& x-2 & \\ \end{array}$

2. Gleichsetzen und weitere Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & x-2 &=& 3x+1 &\\ & y&=& x-2 & \\ \end{array}$

3. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & x &=& -\dfrac{3}{2} &\\ & y&=& x-2 & \\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{x}$ -Wert in zweite Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{y}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & x &=& -\dfrac{3}{2} &\\ & y&=& -\dfrac{7}{2} &\\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\left\{\left(-\dfrac{3}{2}\,\bigg \vert \, -\dfrac{7}{2}\right)\right\}$

b)

1. Gleichungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& 3-2y &\\ & x&=& -1-3y &\\ \end{array}$

2. Gleichsetzen und weitere Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & -1-3y&=& 3-2y &\\ & x&=& -1-3y &\\ \end{array}$

3. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & y&=& -4 &\\ & x&=& -1-3y & \\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{y}$ -Wert in zweite Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{x}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & y &=& -4 &\\ & x&=& 11 &\\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\{(11\mid -4)\}$

c)

1. Gleichungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& -5-3y &\\ & x&=& 1-2y & \\ \end{array}$

2. Gleichsetzen und weitere Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & 1-2y&=& -5-3y &\\ & x&=& 1-2y & \\ \end{array}$

3. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & y&=& -6 &\\ & x&=& 1-2y &\\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{y}$ -Wert in zweite Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{x}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & y &=& -6 &\\ & x&=& 13 &\\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\{(13\mid -6)\}$

2

a)

1. Gleichungen nach $\boldsymbol{3y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & 3y&=& 2x+1 &\\ & 3y&=& -x+2 &\\ \end{array}$

2. Gleichsetzen und weitere Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & -x+2&=& 2x+1 &\\ & 3y&=& -x+2 &\\ \end{array}$

3. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& \dfrac{1}{3} &\\ & 3y&=& -x+2 &\\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{x}$ -Wert in zweite Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{y}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& \dfrac{1}{3} &\\ & y&=& \dfrac{5}{9} &\\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\left\{\left(\dfrac{1}{3}\,\bigg \vert \, \dfrac{5}{9}\right)\right\}$

b)

1. Gleichungen nach $\boldsymbol{7x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & 7x&=& -5y+2 &\\ & 7x&=& -3y+2 &\\ \end{array}$

2. Gleichsetzen und weitere Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & -3y+2&=& -5y+2 &\\ & 7x&=& -3y+2 & \\ \end{array}$

3. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & y&=& 0 &\\ & 7x&=& -3y+2 &\\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{y}$ -Wert in zweite Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{x}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & y&=& 0 &\\ & x&=& \dfrac{2}{7} &\\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\left\{\left(\dfrac{2}{7}\,\bigg \vert \, 0\right)\right\}$

c)

1. Gleichungen nach $\boldsymbol{3y}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & 3y&=& -6-x &\\ & 3y&=& -4+2x &\\ \end{array}$

2. Gleichsetzen und weitere Gleichung beibehalten

$\begin{array}{|lrl|} & -4+2x&=& -6-x &\\ & 3y&=& -4+2x &\\ \end{array}$

3. Erste Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& -\dfrac{2}{3} &\\ & 3y&=& -4+2x & \\ \end{array}$

4. $\boldsymbol{x}$ -Wert in zweite Gleichung einsetzen und $\boldsymbol{y}$ berechnen

$\begin{array}{|lrl|} & x&=& -\dfrac{2}{3} &\\ & y&=& -\dfrac{16}{9} &\\ \end{array}$

5. Lösungsmenge angeben

$L=\left\{\left(-\dfrac{2}{3}\,\bigg \vert \, -\dfrac{16}{9}\right)\right\}$

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