Volumen und Oberfläche eines Quaders

Ein Quader besteht aus $6$ rechteckigen Seitenflächen, die senkrecht aufeinander stehen.

Gegenüberliegende Flächen besitzen denselben Umfang und denselben Flächeninhalt.

Das Volumen V eines Quaders berechnest du über folgende Formel:

V = a $\cdot$ b $\cdot$ c

Sind dir das Volumen und zwei Seitenlängen a und b gegeben, so berechnest du die dritte Seitenlänge wie folgt:

c = V $:$ (a $\cdot$ b)

Die Oberfläche O berechnest du über folgende Formel:

O = $2$ $\cdot$ a $\cdot$ b $+$ $2$ $\cdot$ a $\cdot$ c $+$ $2$ $\cdot$ b $\cdot$ c

Sonderfall Würfel:

Bei einem Würfel sind alle drei Seiten gleich lang.

Das Volumen eines Würfels berechnest du über folgende Formel:

V = a $\cdot$ a $\cdot$ a = a $^3$

Die Oberfläche eines Würfels berechnest du über folgende Formel:

O = $6$ $\cdot$ a $\cdot$ a = $6$ $\cdot$ a $^2$

Diagramm eines Quaders mit beschrifteten Kanten a, b und c.

Abb. 1: Quader

Bildnachweise [nach oben]

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Einführungsaufgabe

Max hat sich ein neues Computerspiel im Internet bestellt.
Doch leider hat der Händler ihm eine falsche Version geschickt, mit der Max nichts anfangen kann.

Um das Computerspiel beim Zurückschicken sicher zu verpacken, möchte er es mit Luftpolsterfolie umwickeln.
Die Hülle des Computerspieles hat folgende Maße:

$\text{a}= 12\text{ cm}$ ; $\text{b}= 2\text{ cm}$ ; $\text{c}= 17\text{ cm}$

Wie viel Luftpolsterfolie muss Max mindestens besorgen?

Transparente Luftpolsterfolie mit vielen kleinen Blasen in gleichmäßigem Muster.

Abb. 1: Luftposterfolie

Aufgabe 1

Emma und Isabel benutzen ihren Sandkasten schon seit Jahren nicht mehr.
Daher haben sie von ihren Eltern die Aufgabe bekommen, am Wochenende den ganzen Sand auf einen Lkw zu laden, damit sie den Sandkasten an ihre kleine Cousine weitergeben können.

Die Maße des quadratischen Sandkasten sind :

Maße anzeigen

Baukästen in einer Sandkiste mit einem lila und einem grünen Förmchen.

Abb. 2

Um $4.000 \text{ cm}^3$ Sand auf den Lkw zu laden, benötigen beide zusammen $1\text{ Minute}$ .

Wie viele Minuten benötigen Emma und Isabel, um den ganzen Sandkasten zu leeren?

Aufgabe 2

Berechne die Oberfläche und das Volumen der unten gezeigten Verpackungen.
Stelle deine Ergebnisse in Tabellenform dar.

Alt-Tag: Abbildung zweier Verpackungen für Mundspülung und Eau de Parfum mit Maßen und Volumenangaben.

Abb. 3

Alt-Tag: Abbildung eines Nasensprays mit den Maßen 10 cm hoch, 5 cm breit und 2 cm tief.

Abb. 4

Vergleiche dein berechnetes Volumen mit den Angaben auf den Verpackungen.
Könnten die Unternehmen an der Verpackung sparen?

Aufgabe 3

Marco und Flo spielen Yengo. Das Spiel besteht aus $60$ Holzsteinen, die zum Beginn des Spieles zu einem Turm gestapelt werden. Jede Etage des Turmes besteht aus $3$ Yengo-Steinen.

Jede neue Etage wird gegengleich zu der vorherigen Etage gestapelt, so dass abwechselnd einmal die lange Seite der Steine und einmal die kurze Seite der Steine zu dir zeigt.

Grafik eines rechteckigen Objekts mit den Maßen 75 mm x 25 mm x 15 mm und dem Text

Abb. 5: Yengo-Stein

Wie viele Etagen hat der Turm zu Beginn des Spiels?

Flos Hund hat leider die Verpackung komplett zerrissen.
Marco schlägt vor, eine neue Schachtel aus Karton zu basteln, sodass der Turm in der Startaufstellung direkt hineinpasst.

Welche Maße muss die neue Verpackung haben? Berechne auch die Oberfläche und das Volumen.

Male das passende Netz des Quaders.

Aufgabe 4

Berechne die Oberfläche sowie das Volumen der folgenden Würfel mit der Kantenlänge

$\text{ a}= 3\text{ cm}$

$\text{ a}= 5\text{ cm}$

$\text{ a}= 11\text{ cm}$

$\text{ a}= 7\text{ cm}$

Aufgabe 5

In Tims Garten steht ein Pool.
Er ist $4 \text{ m}$ lang und $1,2 \text{ m}$ tief.
Wird der Pool zur Hälfte befüllt, so hat er ein Fassungsvermögen von $6.000.000\text{ cm}^3$ .

Wie breit ist der Pool in $\text{ m}$ ?

Bunte Wasseroberfläche mit einem Schwimmkörper und einem Ball in einem Pool.

Abb. 6

Aufgabe 6

Vervollständige die untenstehende Tabelle.

Vollständige Tabelle anzeigen

a		$300\text{ dm}$	$3\text { km}$	$13\text{ mm}$	$13\text{ cm}$
b	$5\text{ cm}$	$20\text{ m}$	$50 \text{ m}$		$2\text{ cm}$
c	$40 \text{ mm}$		$8 \text{ m}$	$0,2\text{ cm}$	$0,9\text{ m}$
V	$140\text{ cm}^3$	$2.400 \text{ m}^3$		$1.066 \text{ mm}^3$

Aufgabe 7

Die Kantenlängen eines Würfelzuckers entsprechen $16\text{ mm}$ , $16\text{ mm}$ und $11\text{ mm}$ .

Ein Würfelzucker wiegt im Durchschnitt $3\text{ g}$ .

Die Würfelzucker werden zum Verkauf in kleine Kartons mit den Maßen $16\text{ cm}$ x $8\text{ cm}$ x $5,5\text{ cm}$ verpackt,
die wiederum zum Transport in Kisten verpackt werden mit den Maßen $32\text{ cm}$ x $32\text{ cm}$ x $44\text{ cm}$ .

Ein Haufen weißer Zuckerwürfel auf einem hellem Hintergrund.

Abb. 7

Wie schwer ist der Inhalt einer Transportkiste?

Aufgabe 8

Aileen hat zum Geburstag $3$ Kaninchen bekommen und möchte ihnen nun ein Außengehege bauen.

Hierfür hat sie eine Rasenfläche von $2$ auf $2$ Meter zur Verfügung, welche sie einzäunen wird.

Außerdem möchte sie ein Häuschen zum Schutz vor Regen besorgen.

Wie viel $\text{ m}^2$ darf das Häuschen höchstens haben, damit jedem Kaninchen noch $1.100\text{ cm}^2$ Rasenfläche zur Verfügung stehen?

Zwei Kaninchen fressen gemeinsam eine Karotte, während eine Hand die Karotte hält.

Abb. 8

Damit die Kaninchen nicht abhauen können, muss der Zaun eine Höhe von $80\text{ cm}$ haben.

Berechne das Volumen des Geheges.

Bildnachweise [nach oben]

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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Oberfläche berechnen

Um zu berechnen, wie viel $\text{ cm}^2$ Luftpolsterfolie Max benötigt, musst du die gesamte Oberfläche der Computerspielhülle berechnen.

Dafür benötigst du folgende Formel:

$\text{ O}= 2 \cdot \text{a}\cdot \text{b} + 2 \cdot \text{a}\cdot \text{c} + 2 \cdot \text{b}\cdot \text{c}$

Hier setzt du nun die in der Aufgbe gegebenen Werte ein:

Vollständige Lösung anzeigen

Um das Computerspiel sicher einpacken zu können, benötigt Max mindestens $524\text{ cm}^2$ Luftpolsterfolie.

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen

Da die Angabe, wie viel Sand Emma und Isabel in einer Minute in den Lkw schaufeln können in $\text{ cm}^3$ angegeben ist macht es hier Sinn, auch die Maßangaben des Sandkastens in $\text{ cm}^3$ umzurechnen.

$\begin{array}[t]{rll} 1\text{ m}&=&100\text{ cm} \\[5pt] 1,7\text{ m}&=&170\text{ cm}\\[5pt] 1,8\text{ m}&=&180\text{ cm} \end{array}$

Nun kannst du das Volumen des Sandkastens mit folgender Formel berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \text{ V}&=&\text{ a} \cdot \text{ b} \cdot \text{ c} \\[5pt] \text{ V}&=&170\text{ cm} \cdot 20\text{ cm} \cdot 180\text{ cm} \\[5pt] \text{ V}&=&3.400\text{ cm}^2 \cdot 180\text{cm} \\[5pt] \text{ V}&=&612.000\text{ cm}^3 \end{array}$

Der Sandkasten hat somit ein Volumen von $612.000\text{ cm}^3$

Um nun noch herauszufinden, wie lange die beiden brauchen werden, berechnest du zuerst wie lange sie für $1.000\text{ cm} ^3$ brauchen, um es anschließend mit $612$ zu multiplizieren.

$153 \text{ Minuten}$

Vollständige Lösung anzeigen

Emma und Isabel benötigen, um den ganzen Sand vom Sandkasten in den Lkw zu laden, $153\text{ Minuten}$ .

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Volumen und Oberfläche berechnen

Um das Volumen und die Oberfläche der Verpackungen zu berechnen, benötigst du folgende Formeln:

$\text{ O}= 2 \cdot \text{a}\cdot \text{b} + 2 \cdot \text{a}\cdot \text{c} + 2 \cdot \text{b}\cdot \text{c}$

$\text{ V}= \text{a}\cdot \text{b}\cdot \text{c}$

Vollständige Tabelle anzeigen

$	$\text{ Mundspülung}$	$\text{ Eau de Parfum}$	$\text{Nasenspray}$
$\text{ a}$	$15\text{ cm}$	$10\text{ cm}$	$5\text{ cm}$
$\text{ b}$	$5\text{ cm}$	$5\text{ cm}$	$ 2\text{ cm} $</td> </tr> <tr> <th>$ \text{ c}$	$5\text{ cm}$	$15\text{ cm}$	$10\text{ cm}$
$ \text{ Oberfläche O} $</th><td>$ 30\text{ cm}^2 $</td><td>$ 550 \text{ cm}^2$	$160\text{ cm}^2$
$ \text{ Volumen V} $</th><td>$ 375\text{ cm}^3 $</td><td>$ 750 \text{ cm}^3 $</td><td>$ 100\text{ cm}^3 $

$\blacktriangleright$ Berechnetes Volumen und Angabe auf der Verpackung vergleichen

1. Schritt: Mundspülung vergleichen

Das berechnete Volumen beträgt $375\text{ cm}^3$ , angegeben sind $300\text{ ml}$ .

$1\text{ cm}^3\mathrel{\widehat{=}}1\text{ ml}$

Das bedeutet:

$375\text{ cm}^3 = 375\text {ml}$

Vollständige Lösung anzeigen

Das Unternehmen könnte $75\text{ cm}^3 (=75\text{ ml})$ weniger Verpackung werwenden.

2. Schritt: Eau de Parfum vergleichen

Das berechnete Volumen beträgt $750\text{ cm}^3$ , angegeben sind $500\text{ ml}$ .

Vollständige Lösung anzeigen

Das Unternehmen könnte $250\text{ cm}^3 (=250\text{ ml})$ weniger Verpackung werwenden.

3. Schritt: Nasenspray vergleichen

Das berechnete Volumen beträgt $100\text{ cm}^3$ , angegeben sind $75\text{ ml}$ .

Vollständige Lösung anzeigen

Das Unternehmen könnte $25\text{ cm}^3 (=25\text{ ml})$ weniger Verpackung werwenden.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Berechnen der Etagen

Pro Etage besteht der Turm aus $3$ Spielsteinen.
Also musst du die Gesamtanzahl der Spielsteine durch $3$ dividieren und bekommst so die Anzahl der Etagen.

$60 : 3 = 20$

Der Turm besteht aus $20$ Etagen.

$\blacktriangleright$ Berechnen der Maße

Um eine neue Verpackung basteln zu können, benötigt Marco die Angaben der Länge, der Höhe und der breite des Startturmes.

Da die Spielsteine gegengleich aufeinander gestapelt werden, entspricht sowohl die Länge als auch die Breite der Verpackung der Länge eines Spielsteines bzw. $3$ mal der Breite eines Spielsteines.

$\begin{array}[t]{rll} \text{ Länge}&=& 75\text{ mm} \\[5pt] \text{ Breite}&=&75\text{ mm} \end{array}$

Die Höhe berechnest du, indem du die Höhe eines Spielsteines mit der Anzahl der Etagen multiplizierst.

$\begin{array}[t]{rll} \text{ Höhe}&=& 20 \cdot 15\text{ mm} \\[5pt] &=&300\text{ mm} \end{array}$

Die neue Verpackung hat somit die Maße $75\text{ mm} \cdot 75\text{ mm} \cdot 300\text{ mm}$ .

$\blacktriangleright$ Oberfläche berechnen

Die Oberfläche berechnest du über folgende Formel:

Vollständige Lösung anzeigen

Die Oberfläche beträgt $101.250\text{ mm}^2$ .

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen

Das Volumen berechnest du über folgende Formel:

Vollständige Lösung anzeigen

Das Volumen beträgt $1.687.500\text{ mm}^3$ .

$\blacktriangleright$ Netz zeichnen

Skizze eines rechteckigen Objekts mit Maßen von 300 mm x 75 mm und seitlichen Anhängern.

Abb.1: Netz der Verpackung

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Oberfläche und Volumen berechnen

Um die Oberfläche und das Volumen eines Würfels zu berechnen benötigst du folgende Formeln:

$\text{ O}= 6 \cdot \text{ a}^2$

$\text{ V}= \text{ a}^3$

Jetzt musst du die Kantenlänge in die oberen Formeln einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} \text{ O}&=&6 \cdot (3\text{ cm})^2 \\[5pt] &=&6 \cdot 9\text{ cm}^2 \\[5pt] &=&54\text{ cm}^2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \text{ V}&=&(3\text{ cm})^3 \\[5pt] &=&27\text{ cm}^3 \end{array}$

Der Würfel hat eine Oberfläche von $54\text{ cm}^2$ und ein Volumen von $27\text{ cm}^3$ .

$\blacktriangleright$ Oberfläche und Volumen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \text{ O}&=&6 \cdot (5\text{ cm})^2 \\[5pt] &=&6 \cdot 25\text{ cm}^2 \\[5pt] &=&150\text{ cm}^2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \text{ V}&=&(5\text{ cm})^3 \\[5pt] &=&125\text{ cm}^3 \end{array}$

Der Würfel hat eine Oberfläche von $150\text{ cm}^2$ und ein Volumen von $125\text{ cm}^3$ .

$\blacktriangleright$ Oberfläche und Volumen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \text{ O}&=&6 \cdot (11\text{ cm})^2 \\[5pt] &=&6 \cdot 121\text{ cm}^2 \\[5pt] &=&726\text{ cm}^2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \text{ V}&=&(11\text{ cm})^3 \\[5pt] &=&1.331\text{ cm}^3 \end{array}$

Der Würfel hat eine Oberfläche von $726\text{ cm}^2$ und ein Volumen von $1.331\text{ cm}^3$ .

$\blacktriangleright$ Oberfläche und Volumen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \text{ O}&=&6 \cdot (7\text{ cm})^2 \\[5pt] &=&6 \cdot 49\text{ cm}^2 \\[5pt] &=&294\text{ cm}^2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \text{ V}&=&(7\text{ cm})^3 \\[5pt] &=&343\text{ cm}^3 \end{array}$

Der Würfel hat eine Oberfläche von $294\text{ cm}^2$ und ein Volumen von $343\text{ cm}^3$ .

Aufgabe 5

Um die Breite des Pools berechnen zu können, musst du zuerst alle Angaben in eine Einheit bringen.
Hier bietet sich die Einheit $\text{ dm}$ an, da es die Einheit in der Mitte ist.

$\begin{array}[t]{rll} 6.000.000 \text{ cm}^3&=&6.000 \text{ dm}^3 \\[5pt] 1,2 \text{ m}&=&12 \text{ dm} \\[5pt] 4 \text{ m}&=& 40\text{ dm} \end{array}$

Um die fehlende Breite des Pools zu berechnen, musst du das Volumen durch beide schon vorhandenen Angaben teilen:

c = V : (a $\cdot$ b)

Die Länge a ist dir gegeben mit $40\text{ dm}$ und die Höhe des Wasserstandes b mit $6\text{ dm}$ .

Nun musst du die Werte einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} c&=& 6.000\text{ dm}^3 : ( 40\text{ dm}\cdot 6\text{ dm} ) \\[5pt] c&=& 6.000\text{ dm}^3 : 240\text{ dm}^2 \\[5pt] c&=& 25 \text{ dm} \end{array}$

Die $25\text{ dm}$ musst du noch in Meter umrechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 25\text{ dm}&=&2,5\text{ m} \\[5pt] \end{array}$

Der Pool hat eine Breite von $2,5\text{ m}$ .

Aufgabe 6

Um die Tabelle zu vervollständigen musst du die Werte jeweils in eine gemeinsame Einheit umrechnen.

Für die Berechnung der fehlenden Werte helfen die folgende Formeln:

$\begin{array}[t]{rll} \text{ V} &=& \text{ a} \cdot \text{ b}\cdot \text{ c} \\[5pt] \text{ c}&=& \text{ V} : (\text{ a} \cdot \text{ b}) \end{array}$

Tabelle anzeigen

a	$7\text{ cm}$	$300\text{ dm} = 30\text{ m}$	$3\text{ km} = 3.000\text { m}$	$13\text{ mm}$	$13\text{ cm}$
b	$5\text{ cm}$	$20\text{ m}$	$50 \text{ m}$	$41\text{ mm}$	$2\text{ cm}$
c	$40 \text{ mm} = 4\text{ cm}$	$4\text { m}$	$8 \text{ m}$	$0,2\text{ cm} = 2\text{ mm}$	$0,9\text{ m} = 90\text{ cm}$
V	$140\text{ cm}^3$	$2.400 \text{ m}^3$	$1.200.000\text{ m}^3$	$1.066 \text{ mm}^3$	$2.340\text{ cm}^3$

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ Gewicht der Kiste berechnen

Das Gewicht einer Transportkiste berechnest du über die Anzahl der Verkaufskartons pro Kiste und deren Gewicht, welches du über die Anzahl der Würfelzucker pro Karton berechnen kannst.

1. Schritt: Gewicht eines Verkaufkartons berechnen

Um zu berechnen, wie viele Würfelzucker in einen Verkaufskarton passen, musst du berechnen, wie viele jeweils in die Länge, Breite und Höhe des Kartons passen und die Ergebnisse miteinander multiplizieren.

1.1. Schritt: Würfelzucker für die Länge berechnen

Zuerst müssen beide Angaben in die selbe Einheit umgerechnet werden.

Hier bieten sich $\text{ mm}$ an, da du so mit ganzen Zahlen rechnen kannst.

$\begin{array}[t]{rll} 16\text{ cm}&=& 160\text{ mm} \\[5pt] \end{array}$

Die Länge eines Würfelzuckers entspricht $16\text{ mm}$ .

Vollständige Lösung anzeigen

In der Länge eines Verkaufskartons passen $10$ Würfelzucker nebeneinander.

1.2. Schritt: Würfelzucker für die Breite berechnen

$\begin{array}[t]{rll} 8\text{ cm}&=& 80\text{ mm} \\[5pt] \end{array}$

Die Breite eines Würfelzuckers entspricht $16\text{ mm}$ .

Vollständige Lösung anzeigen

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$:4$	$\begin{array}{rrcll} &4.000\text{ cm} ^3 &\mathrel{\widehat{=}}&1 \text { Minute} \\[5pt] &1.000\text{ cm} ^3 &\mathrel{\widehat{=}}&0,25 \text { Minute} \\[5pt] &612.000\text{ cm} ^3 &\mathrel{\widehat{=}}&153 \text { Minute} & \end{array}$	$:4$
$\cdot 612$		$\cdot 612$