Besondere Vierecke

Ein Viereck ist eine ebene Figur mit vier Ecken und vier Kanten. Die Innenwinkelsumme in einem Viereck beträgt $360^{\circ}.$ Diese Eigenschaften gelten für jedes Viereck. Es gibt jedoch Spezialfälle, in denen Vierecke Eigenschaften haben, die nicht für jedes Viereck gelten. Diese Vierecke heißen besondere Vierecke. Aber was sind besondere Vierecke bzw. welche Vierecke gibt es?

Vierecke Arten

Es gibt viele verschiedene besondere Vierecke, die ganz spezielle Eigenschaften haben. Dazu zählen Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Raute, Drachen und Trapez. Besondere Vierecke schließen sich nicht gegenseitig aus, so ist beispielsweise jedes Quadrat auch automatisch ein Rechteck. Welche Eigenschaften jedes besondere Viereck hat wird im Folgenden beschrieben.

In den folgenden Abbildungen werden Seiten mit gleicher Länge durch gleiche Farben und parallele Seiten durch eine gleiche Anzahl an Querstrichen gekennzeichnet.

Rechteck Eigenschaften

Was ist ein Rechteck? Rechtecke sind besondere Vierecke mit den folgenden Eigenschaften:

alle Winkel haben $90^{\circ}$
gegenüberliegende Seiten sind gleich lang
gegenüberliegende Seiten sind parallel

Um ein Rechteck eindeutig zu charackterisieren, genügt es, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang sind und dass das besondere Viereck einen rechten Winkel enthält. Die anderen Eigenschaften gelten dann automatisch.

Rechteck

Quadrat Eigenschaften

Ein Quadrat hat die gleichen Eigenschaften wie ein Rechteck. Dieses besondere Viereck unterscheidet sich vom Rechteck jedoch in der weiteren Eigenschaft, dass nicht nur die gegenüberliegenden Seiten, sondern alle Seiten des Vierecks gleich lang sind. Ein Quadrat hat also folgende Eigenschaften:

alle Winkel haben $90^{\circ}$
alle Seiten sind gleich lang
gegenüberliegende Seiten sind parallel

Damit ein Viereck ein Quadrat ist, muss es ein Rechteck sein, bei dem zusätzlich zwei benachbarte Seiten gleich lang sind. Die restlichen Eigenschaften folgen wieder automatisch.

Quadrat

Parallelogramm Eigenschaften

Was ist ein Parallelogramm? Parallelogramme sind besondere Vierecke, die die folgenden Eigenschaften haben:

gegenüberliegende Seiten sind gleich lang
gegenüberliegende Winkel sind gleich groß
gegenüberliegende Seiten sind parallel

Ein Parallelogramm wird schon durch die erste Eigenschaft eindeutig charakterisiert.
Ein Parallelogramm ist wie ein Rechteck, bei dem die obere Kante hin und her bewegt wurde. Dadurch bleiben gegenüberliegende Seiten gleich lang und gegenüberliegende Winkel bleiben gleich groß, aber im Unterschied zum Rechteck haben die Winkel im Allgemeinen nicht mehr $90^{\circ}.$ Ein Rechteck ist sozusagen ein Spezialfall eines Parallelogramms, bei dem alle Winkel $90^{\circ}$ haben.

Parallelogramm

Trapez Eigenschaften

Das besondere Viereck mit folgender Eigenschaft wird Trapez genannt:

ein Paar gegenüberliegender Seiten ist parallel

Ein Trapez kann also vier unterschiedlich große Winkel sowie vier unterschiedlich lange Seiten haben.

Trapez

Eine speziellere Form des Trapezes ist das gleichschenklige Trapez. Dieses besondere Viereck hat die folgenden Eigenschaften:

ein Paar gegenüberliegender Seiten ist parallel
die beiden Schenkel sind gleich lang und nur dann parallel, wenn das Viereck ein Rechteck ist

In diesem Fall sind auch immer die beiden Winkel, die an der gleichen parallelen Seite liegen, gleich groß.

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Gleichschenkliges Trapez

Raute Eigenschaften

Was ist eine Raute? Besondere Vierecke mit folgenden Eigenschaften heißen Raute:

alle vier Seiten sind gleich lang
gegenüberliegende Seiten sind parallel
gegenüberliegende Winkel sind gleich groß

Die Eigenschaft, dass alle Seiten gleich lang sind, genügt schon, um die Raute eindeutig zu definieren. Die restlichen Eigenschaften folgen daraus automatisch.

Raute

Drache Eigenschaften

Ein Drachen ist ein besonderes Viereck mit den folgenden Eigenschaften:

jeweils zwei benachbarte Seiten sind gleich lang
ein Paar gegenüberliegender Winkel ist gleich groß

Ein Drachen wird durch die erste Eigenschaft schon eindeutig charakterisiert.
Unterschied Drachen Raute: Da bei einem Drachen im Unterschied zur Raute nicht alle Seiten gleich lang sein müssen, sind gegenüberliegende Seiten nicht unbedingt gleich lang und gegenüberliegende Winkel nicht gleich groß. Falls dies doch der Fall ist, so handelt es sich um den Spezialfall eines Drachens, nämlich die Raute. Diese ist also auch ein Drachen, bei dem speziell alle vier Seiten gleich lang sind.

Drachen

Aufgaben besondere Vierecke

Gib jeweils den vierten Eckpunkt an, sodass die angegebenen besonderen Vierecke entsteht:

Quadrat: $A(1\mid 2),\,$ $B(1\mid 4),\,$ $C(3\mid 2)$

Gleichschenkliges Trapez: $A(1\mid 1), \,$ $B(2 \mid 3),\,$ $C(6 \mid 1)$

Drachen: $A(1\mid 0),\,$ $B(2,5\mid 3,5),\,$ $C(5\mid 4)$

Zeichne für folgende besondere Vierecke alle Symmetrieachsen ein:

Raute

Parallelogramm

Quadrat

Nenne alle möglichen Bezeichnungen für die folgenden besonderen Vierecke:

besondere vierecke, raute, drachen, parallelogramm

besondere vierecke, trapez, gleichschenkliges trapez

Lösungen besondere Vierecke

Am einfachsten ist es, die gegebenen Koordinaten in ein Koordinatensystem einzutragen und dann anschließend zu den besonderen Vierecken zu ergänzen.

Da bei einem Quadrat alle Seiten gleich lang und gegebüberliegende Seiten parallel sein müssen, kommt nur der Punkt $D(3\mid 4)$ infrage, um das gesuchte besondere Viereck zu erhalten.

Das besondere Viereck muss ein Paar paralleler und ein Paar gleich langer Seiten haben, die nicht parallel sind. Wählt man den Punkt $D$ so, dass $\overline{AC}$ parallel zu $\overline{BD}$ ist, gibt es noch zwei Möglichkeiten, die Koordinaten von $D$ zu wählen, dass die Strecke $\overline{AB}$ gleich lang ist wie $\overline{CD},$ ohne dass die Strecken parallel zueinander sind. Die gesuchten Koordinaten lauten $D(5\mid 3).$

besondere vierecke, gleichschenkliges trapez, trapez

Bei einem Drachen müssen jeweils zwei benachbarte Seiten gleich lang sein. Da die Strecke $\overline{AB}$ offensichtlich länger als die Strecke $\overline{BC}$ ist, müssen folglich $\overline{AB}$ und $\overline{AD}$ sowie $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ jeweils gleich lang sein. Dies kann man am besten erreichen, indem man die Kästchen in die jeweiligen Richtungen abzählt. Der Punkt $D,$ für den beide fehlenden Strecken die gesucht Länge haben, hat die Koordinaten $D(4,5\mid 1,5).$

Die Raute hat zwei Symmetrieachsen, die durch ihre Diagonalen gegeben sind.

Symmetrieachsen Raute

Ein Parallelogramm hat im Allgemeinen keine Symmetrieachsen. Der Spezialfall, in dem es zwei Symmetrieachsen hat, ist wenn das Parallelogramm gleichzeitig eine Raute ist. In diesem Fall sind die Symmetrieachsen wie in Aufgabe a) gegeben.

Symmetrieachsen Parallelogramm

Jedes Quadrat hat vier Symmetrieachsen. Zwei davon sind durch die Diagonalen, die anderen beiden durch die Mittelparallelen gegeben.

Symmetrieachsen Quadrat

Quadrat: Alle Seiten sind gleich lang und die Winkel haben alle $90^{\circ}.$

Rechteck: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und und alle Winkel haben $90^{\circ}.$

Raute: Alle vier Seiten sind gleich lang.

Trapez: Es gibt ein Paar gegenüberliegender Seiten, die parallel zueinander sind. Da beide Schenkel außerdem gleich lang sind, handelt es sich sogar um ein gleichschenkliges Trapez.

Parallelogramm: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.

Raute: Alle Seiten sind gleich lang.

Parallelogramm: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.

Trapez: Es gibt ein Paar gegenüberliegender Seiten, die parallel zueinander sind.

Drachen: Jeweils zwei benachbarte Seiten sind gleich lang.

Trapez: Es gibt ein Paar gegenüberliegender Seiten, die parallel zueinander sind. Da beide Schenkel außerdem gleich lang sind, handelt es sich sogar um ein gleichschenkliges Trapez.

Bildnachweise [nach oben]

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Einführungsaufgabe

Ordne den Figuren einen Namen zu, der sie möglichst eindeutig beschreibt.

Bunt gestaltete geometrische Formen auf einem Gitterhintergrund.

Abb. 1

Aufgabe 1

Entscheide, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind.

Aussage	R	F
Ein Parallelogramm besitzt vier Ecken.	$\;$	$\;$
Ein Parallelogramm ist ein Rechteck.	$\;$	$\;$
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm.	$\;$	$\;$
Die Seiten einer Raute sind alle gleich lang.	$\;$	$\;$
Alle gegenüberliegenden Seiten eines Trapezes sind parallel.	$\;$	$\;$
Ein Drache ist ein Parallelogramm.	$\;$	$\;$
Die Seiten eines Quadrates stehen senkrecht aufeinander.	$\;$	$\;$

Aufgabe 2

Vervollständige die Figuren zu Parallelogrammen.

Eine einfache Tabelle mit mehreren Zellen, die leer erscheinen.

Abb. 3

Ein einfaches Raster mit mehreren quadratischen Feldern in Schwarz und Weiß.

Abb. 5

Ein Raster aus schwarzen Kästchen auf weißem Hintergrund.

Abb. 4

Schwarz-weißes Gittermuster mit quadratischen Feldern.

Abb. 6

Aufgabe 3

Zeichne ein Parallelogramm, dass vier Seiten mit einer Länge von je $3\;\text{cm}$ besitzt. Die Seiten des Parallelogramms stehen senkrecht aufeinander.

Gib an, um welchen Spezialfall es sich bei dem Viereck aus a) handelt.

Berechne den Umfang der Figur.

Aufgabe 4

Beantworte die Fragen und begründe deine Entscheidung.

Handelt es sich bei der abgebildeten Figur um ein Rechteck?
Handelt es sich bei der abgebildeten Figur um ein Quadrat?
Handelt es sich bei der abgebildeten Figur um eine Raute?
Handelt es sich bei der abgebildeten Figur um ein Parallelogramm?

Grünes Rhombus auf schwarzem Hintergrund mit einem Gittermuster.

Abb. 7

Aufgabe 5

Ergänze das abgebildete Dreieck zu einem Parallelogramm.

Ein orangefarbener Dreieck auf einem schwarz-weißen Gitterhintergrund.

Abb. 8

Aufgabe 6

Zeichne einen Drachen $ABCD$ mit den Diagonalen $\overline{AC}=3\;\text{cm}$ und $\overline{BD}=2\;\text{cm}$ .

Ist der Drache ein Parallelogramm? Begründe.

Bildnachweise [nach oben]

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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Figuren benennen

Ein Viereck, das zwei benachbarte Seitenpaare mit jeweils gleicher Länge besitzt, wird Drache genannt.
Ein Viereck mit zwei gleich langen Seitenpaaren, die zueinander parallel liegen heißt Parallelogramm.
Stehen die Seiten eines solchen Parallelogramms senkrecht aufeinander, wird die Figur auch Rechteck genannt.
Sind alle Seiten eines Rechtecks gleich lang, spricht man von einem Quadrat.
Wenn die Seiten eines Vierecks alle gleich lang sind, die Seiten aber nicht senkrecht aufeinander stehen, so spricht man von einer Raute.
Ein Trapez ist ein Viereck, das ein paralleles Seitenpaar mit unterschiedlicher Seitenlänge besitzt. Außerdem gibt es zwei gleich lange Seiten, die aber nicht parallel zueinander stehen.

Geometrische Formen mit Beschriftungen: Drache, Rechteck, Raute, Trapez, Parallelogramm, Quadrat auf einem Gitterhintergrund.

Abb. 1

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Aussagen beurteilen

Die Aussage „Ein Parallelogramm besitzt vier Ecken “ ist richtig.
Die Aussage „Ein Parallelogramm ist ein Rechteck “ ist falsch. Bei einem Rechteck stehen die Seiten orthogonal zueinander. Dies ist bei einem Parallelogramm nicht immer der Fall.
Die Aussage „Ein Rechteck ist ein Parallelogramm “ ist richtig. Bei einem Rechteck gibt es zwei Seitenpaare, die gleich lang und parallel zueinander sind.
Die Aussage „Die Seiten einer Raute sind alle gleich lang “ ist richtig.
Ein Trapez besitzt nur ein Seitenpaar mit zueinander parallelen Seiten. Die Aussage „Alle gegenüberliegenden Seiten eines Trapezes sind parallel“ ist falsch.
Ein Drache ist kein Parallelogramm, da gegenüberliegende Seiten nicht gleich lang sind.
Die Aussage „Die Seiten eines Quadrates stehen senkrecht aufeinander“ ist richtig.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Figuren vervollständigen

Vervollständige die Figuren zu Parallelogrammen. Achte darauf, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel sein müssen.

Grafische Darstellung mit mehreren schwarzen Kästchen auf weißem Hintergrund.

Abb. 2

Gittermuster mit weißen Linien auf schwarzem Hintergrund.

Abb. 4

Ein Raster aus quadratischen Feldern in verschiedenen Größen und Anordnungen.

Abb. 3

Schwarzes Gittermuster auf hellem Hintergrund, bestehend aus mehreren gleichmäßigen Quadraten.

Abb. 5

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Parallelogramm zeichnen

Zeichne zwei parallele, $3\;\text{cm}$ lange Strecken mit einem Abstand von $3\;\text{cm}$ . Verbinde die Endpunkte so, dass alle Seiten senkrecht aufeinander stehen.

Ein orangefarbener Quadrat auf einem schwarz-gemusterten Hintergrund mit einem Gitter.

Abb. 6

$\blacktriangleright$ Spezialfall angeben

Ein Parallelogramm, bei dem die Seiten senkrecht aufeinander stehen und alle Seiten gleich lang sind, nennt man Quadrat.

$\blacktriangleright$ Umfang berechnen

Alle vier Seiten sind jeweils $3\;\text{cm}$ lang. Für den Umfang ergibt sich:

$U=4\cdot 3\;\text{cm}=12\;\text{cm}$

Das Quadrat hat einen Umfang von $12\;\text{cm}$ .

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Aussagen beurteilen

Die abgebildete Figur ist kein Rechteck, denn die Seiten stehen nicht senkrecht aufeinander.
Die abgebildete Figur ist kein Quadrat, denn die Seiten stehen nicht senkrecht aufeinander.
Die abgebildete Figur ist eine Raute, da alle Seiten gleich lang sind und gegenüberliegende Seiten parallel sind.
Die abgebildete Figur ist ein Parallelogramm, da gegenüberliegende Seiten gleich lang sind und parallel verlaufen.

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Dreieck ergänzen

Ergänze die Figur zu einem Parallelogramm. Achte darauf, dass gegenüberliegende Seiten parallel verlaufen und gleich lang sind.

Orangefarbener 3D-ähnlicher Quader auf einem karierten Hintergrund.

Abb. 7

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Drachen zeichnen

Zeichne eine $2\;\text{cm}$ lange Strecke ein. Zeichne dazu orthogonal eine Strecke, die $3\;\text{cm}$ lang ist und die andere Strecke genau in der Mitte schneidet.

Ein Koordinatensystem mit den Achsen A, B, C und D in einem gitterförmigen Layout.

Abb. 8

Es handelt sich bei dem Drachen nicht um ein Parallelogramm, da gegenüberliegende Seiten nicht gleich lang sind.

Bildnachweise [nach oben]

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