Lage von Geraden

Betrachtest du die Lage von Geraden zueinander, kannst du zwischen parallelen und sich schneidenden Geraden unterscheiden. Ein Spezialfall der sich schneidenden Geraden sind die orthogonalen Geraden. Sie stehen senkrecht zueinander.

Parallele Geraden

Parallele Geraden haben an jeder Stelle den gleichen Abstand $a$ zueinander. Sie schneiden sich nicht. Ist die Gerade $g$ parallel zu $h$ , wird dies mit der Schreibweise $g||h$ dargestellt.

Grafische Darstellung von parallelen Linien mit markierten Segmenten.

Abb. 1

Orthogonale Geraden

Orthogonale Geraden stehen senkrecht aufeinander. Ist eine Gerade $g$ orthogonal zu $h$ , wird dies mit der Schreibweise $g\bot h$ dargestellt. Die Geraden schließen einen rechten Winkel ein.

Diagramm eines rechten Winkels mit Beschriftung.

Abb. 2

Rechte Winkel

Ein rechter Winkel entsteht immer dann, wenn sich zwei Linien oder Geraden senkrecht schneiden. Im Alltag begegnest du ständig rechten Winkeln.

Vielfältige Objekte: ein Fußballfeld, eine Tür, ein Tisch und ein Geodreieck.

Abb. 3

Das Geodreieck besitzt einen rechten Winkel, sodass du mithilfe des Geodreiecks andere Gegenstände auf rechte Winkel untersuchen kannst.

Einführungsaufgabe

Untersuche die Lage der Geraden $h-j$ zur Geraden $g$ . Ordne dazu den Geraden die passende Aussage zu. Einer Geraden können auch mehrere Begriffe zugeordnet werden.

Diagramm mit verschiedenen Linien und Beschriftungen in einem Rechteck.

Abb. 1

Die Gerade ist parallel zu $g$ .
Die Gerade ist orthogonal zu $g$ .
Die Gerade schneidet die Gerade $g$ .

Aufgabe 1

Untersuche, welche Lage die jeweils markierten Geraden zueinander haben.

3D-Darstellung eines Quaders mit markierten Punkten und Linien.

Abb. 2

3D-Würfel mit Punkten und roten Linien zur Veranschaulichung von geometrischen Beziehungen.

Abb. 3

$\;$

3D-Würfel mit benannten Punkten und Linien.

Abb. 4

Aufgabe 2

Finde in dem Raum, in dem du dich befindest Linien, die orthogonal zueinander stehen. Überprüfe mit deinem Geodreieck, ob du Recht hast.

Entscheide, ob in folgenden Abbildungen zueinander orthogonale Linien zu finden sind.

Verschiedene Objekte: ein Bilderrahmen, ein Stift, ein Buch, ein Stoppschild und ein offenes Fenster.

Abb. 5

Aufgabe 3

Zeichne zu den vorgegebenen Geraden geweils eine orthogonale Gerade. Verwende dazu dein Geodreieck.

Grafik mit mehreren roten Linien und Buchstaben g, h, j, k, l.

Abb. 6

Aufgabe 4

Trage die Punkte $A(1,5\;|\;1)$ , $B(4\;|\;5)$ und $P(1\;|\;4)$ in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Konstruiere eine Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ und eine dazu orthogonale Gerade durch $P$ .

Trage die Punkte $A(1\;|\;2)$ , $B(6\;|\;4,5)$ und $P(2,5\;|\;4,5)$ in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Konstruiere eine Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ und eine dazu orthogonale Gerade durch $P$ .

Aufgabe 5

In der Abbildung $7$ sind die Geraden $g-k$ dargestellt.

Grafik mit mehreren grünen Linien und beschrifteten Buchstaben.

Abb. 7

Finde alle Geraden, die zueinander parallel verlaufen. Markiere parallele Geraden in der gleichen Farbe.

Aufgabe 6

Zeichne eine zu $g$ parallele Gerade, die durch den Punkt $P$ verläuft.

Grafische Darstellung einer Linie mit Punkten A und P.

Abb. 8

Aufgabe 7

Erkläre, wie die Geraden $l$ und $m$ zueinander liegen, wenn folgende Beziehungen gelten:

$l$ $\bot$ $p$ $\;\;$ und $\;\;$ $p$ $||$ $m$

$l$ $||$ $p$ $\;\;$ und $\;\;$ $p$ $||$ $m$

$l$ $||$ $p$ $\;\;$ und $\;\;$ $p$ $\bot$ $t$ $\;\;$ und $\;\;$ $t$ $\bot$ $m$

Bildnachweise [nach oben]

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Public Domain.

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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Lage der Geraden untersuchen

Es lässt sich direkt erkennen, dass die Gerade $j$ nicht parallel oder orthogonal zu $g$ ist. Die Gerade $j$ schneidet $g$ . Um zu überprüfen, ob die anderen Geraden parallel oder orthogonal zu $g$ verlaufen, kannst du dein Geodreieck zur Hilfe nehmen.

Geometrisches Diagramm mit einem Geodreieck und mehreren Linien in verschiedenen Farben.

Abb. 1

Diagramm mit Linien und Kurven, das mathematische Konzepte darstellt.

Abb. 2

In Abbildung $1$ ist zu erkennen, dass die Gerade $i$ orthogonal zu $g$ verläuft. In Abbildung $2$ kannst du sehen, dass $h$ parallel zu $g$ liegt.

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Lage der Geraden angeben

Stelle dir zunächst vor, wie ein Quader aufgebaut ist. Wenn es dir schwer fällt, dir einen Quader räumlich vorzustellen, suche einen in deiner Umgebung.

Die Geraden in Abbildung $2$ verlaufen orthogonal.
Die Geraden in Abbildung $3$ verlaufen parallel.
Die Geraden in Abbildung $4$ verlaufen orthogonal.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Gegenstände finden, die rechte Winkel besitzen.

Du begegnest täglich vielen Gegenständen mit rechten Winkeln. Einige Beispiele sind im Folgenden aufgelistet:

Hefte
Geodreieck
Bildschirm
Steckdosenleiste
Fußballfeld
Tor
Raum
Spielwürfel
...

$\blacktriangleright$ Entscheiden, ob es rechte Winkel gibt

Um zu überprüfen, ob die Gegenstände rechte Winkel haben, kannst du dein Geodreieck verwenden. Leg das Geodreieck dazu an die Ecke an. Das Buch, der Bilderrahmen und das Fenster besitzen rechte Winkel.

Verschiedene Objekte: ein Bilderrahmen, ein Stift, ein rotes Buch und ein offenes Fenster.

Abb. 3

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Orthogonale Geraden einzeichnen

Um eine zu $g$ orthogonale Gerade zu zeichnen, legst du die Mittellinie deines Geodreiecks auf die vorgegebene Gerade, wie in Abbildung $4$ dargestellt. Du kannst nun eine weitere Gerade zeichnen. Diese Gerade ist orthogonal zu $g$ .

Gehe in den gleichen Schritten vor, um eine orthogonale Gerade zu $h-k$ zu zeichnen.

Geometrische Darstellung mit Linien und einem dreieckigen Objekt im Hintergrund.

Abb. 4

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Orthogonale Gerade einzeichnen

Um eine zu $AB$ orthogonale Gerade zu zeichnen, die durch den Punkt $P$ geht, kannst du dein Geodreieck verwenden.

Lege dein Geodreieck so auf die Gerade $AB$ , dass die Mittellinie des Geodreiecks auf der Geraden liegt. Verschiebe das Geodreieck entlang der Geraden so, dass du eine Gerade durch $P$ zeichnen kannst.

Diagramm mit einem orangefarbenen Liniengraphen und beschrifteten Punkten A, B und P auf einem Koordinatensystem.

Abb. 5

$\blacktriangleright$ Orthogonale Gerade einzeichnen

Um eine zu $AB$ orthogonale Gerade zu zeichnen, die durch den Punkt $P$ geht, kannst du dein Geodreieck verwenden.

Diagramm mit einem Koordinatensystem und zwei Linien, die Punkte A, B, P markieren.

Abb. 6

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Parallele Geraden markieren

Parallele Geraden kannst du finden, indem du dein Geodreieck auf eine Gerade legst und es so weit verschiebst, bis es auf einer anderen liegt. Wichtig ist, dass du das Geodreieck dabei nicht drehst.

Diagramm mit mehreren Linien in verschiedenen Farben und Beschriftungen.

Abb. 7

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Gerade zeichnen

Dreieckiges Geometriewerkzeug mit Skala zur Winkelmessung und Linien.

Abb. 8

Grafische Darstellung von zwei Linien mit einem Punkt P zwischen ihnen.

Leg das Geodreieck auf die Gerade $g$ und verschiebe es so lange in die Richtung von $P$ , bis du den Punkt triffst. Wichtig ist dabei, dass du das Geodreieck nicht drehst. Zeichne nun eine Gerade durch $P$ . Du kannst mit den Hilfslinien auf dem Geodreieck überprüfen, ob du richtig gezeichnet hast.

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ Gegenseitige Lage angeben

Um zu überprüfen, wie die Geraden $l$ und $m$ zueinander liegen, kannst du dir eine Skizze anlegen. Gehe schrittweise vor.

Diagramm mit Linien und Buchstaben in verschiedenen Farben.

Abb. 9

Die Gerade $l$ ist orthogonal zu $m$ .

$\blacktriangleright$ Gegenseitige Lage angeben

Um zu überprüfen, wie die Geraden $l$ und $m$ zueinander liegen, kannst du dir eine Skizze anlegen. Gehe schrittweise vor.

Abb. 10

Die Geraden $l$ und $m$ liegen parallel zueinander.

$\blacktriangleright$ Gegenseitige Lage angeben

Um zu überprüfen, wie die Geraden $l$ und $m$ zueinander liegen, kannst du dir eine Skizze anlegen. Gehe schrittweise vor.

Grafische Darstellung von Buchstaben und Linien in verschiedenen Farben.

Abb. 11

Die Geraden $l$ und $m$ liegen parallel zueinander.

Bildnachweise [nach oben]

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