Anordnen von natürlichen Zahlen

Um Zahlen zu vergleichen und zu ordnen, verwendet man oft die Ordnungszeichen $\boldsymbol{\color{#87c800}{\lt }}$ und $\boldsymbol{\color{#87c800}{\gt }}.$
Das Zeichen wird zwischen die beiden zu vergleichenden Zahlen geschrieben. Die Spitze des Zeichens zeigt immer auf die kleinere Zahl. Du kannst also beispielsweise schreiben:

$4 \boldsymbol{\color{#87c800}{\lt }} 10 \quad$ „ $4$ ist kleiner als $10$ “
oder
$10 \boldsymbol{\color{#87c800}{\gt }} 4\quad$ „ $10$ ist größer als $4$ “

Auf diese Weise kannst du auch mehrere Zahlen mithilfe einer Ordnungskette ordnen:

$12 \lt 17 \lt 20 \lt 21\lt 22 \lt 30$

bzw.

$30 \gt 22 \gt 21 \gt 20 \gt 17 \gt 12$

Auf einem Zahlenstrahl lässt sich die Ordnung von Zahlen verbildlichen:

Skala mit Zahlen von 0 bis 100, Markierungen bei 16, 33 und 67.

Abb. 1: Zahlenstrahl

Jeder Strich steht hier für eine Einheit. Die mittleren Striche sind also Fünferschritte, die größeren sind Zehnerschritte, die größeren Fünfzigerschritte.

Um auch größere Zahlen auf einem Zahlenstrahl eintragen zu können, kann die Skala verändert werden. Du kannst beispielsweise definieren, dass ein Strich für einen Zehnerschritt steht.

Grafik mit einer horizontalen Skala von 0 bis 1000, markiert bei 160, 330 und 670.

Abb. 2: Zahlenstrahl mit einer größeren Skala

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

Einführungsaufgabe

Deutschland ist bei ausländischen Urlaubern ein beliebtes Reiseziel. In der Tabelle sind die Anzahl der Übernachtungen ausländischer Gäste in verschiedenen deutschen Städten im Jahr 2016 angegeben.

Stadt	Anzahl der Übernachtungen
Berlin	$14\,179\,000$
Dresden	$875\,000$
Düsseldorf	$2\,146\,000$
Frankfurt am Main	$4\,005\,000$
Hamburg	$3\,280\,000$
Köln	$1\,980\,000$
München	$6\,717\,000$
Nürnberg	$1\,044\,000$
Stuttgart	$1\,133\,000$

Wonach ist die Tabelle sortiert? Ordne sie neu.

Welche Städte hatten mehr als $3$ Millionen Übernachtungen? Welche hatten weniger als $1$ Million?

Gib zwei Städte an, die zusammen etwa $5$ Millionen Übernachtungen hatten.

Setze das passende Zeichen $\gt$ oder $\lt$ ein.

(1)

$3\,280\,000$ $1\,044\,000$

(2)

$875\,000$ $1\,133\,000$

Gib die Zahlen aus der Tabelle in einer Ordnungskette an.

Rundet man die Zahlen aus der Tabelle auf Hunderttausender, erhält man folgende Liste:

$14\,200\,000$
$900\,000$
$2\,100\,000$
$4\,000\,000$
$3\,300\,000$
$2\,000\,000$
$6\,700\,000$
$1\,000\,000$
$1\,100\,000$

Markiere diese Zahlen in folgendem Zahlenstrahl.

Grafik einer Skala von 0 bis 15 Millionen, mit Markierungen in 10 Millionen Abständen.

Abb. 1: Zahlenstrahl

Aufgabe 1

Setze das passende Zeichen $\gt$ oder $\lt$ ein.

$34$ $23$

$103$ $145$

$6$ $12$

$87$ $78$

Aufgabe 2

Ordne die Zahlen der Größe nach.

$78;$ $32;$ $10;$ $45;$ $74$

$13;$ $99;$ $25;$ $104;$ $67$

$157;$ $23;$ $6;$ $22;$ $175$

$143;$ $163;$ $14;$ $115;$ $65$

Aufgabe 3

In der Tabelle ist die Anzahl der Smartphone-Nutzer der jeweiligen Marken in Deutschland im Februar 2015 dargestellt.

Hersteller	Anzahl Nutzer
Apple	$9\,431\,084$
HTC	$2\,901\,493$
Huawei	$1\,402\,255$
LG	$1\,605\,027$
Motorola	$723\,934$
Nokia	$3\,170\,005$
Samsung	$20\,023\,735$
Sony	$3\,683\,902$
Sonstige	$1\,734\,091$

Welcher Hersteller kann die meisten Nutzer vorweisen?

Welche Hersteller werden von mehr als $2$ Millionen Nutzern verwendet? Welche Hersteller haben weniger als $1$ Million Nutzer?

Ordne die Hersteller nach der Anzahl ihrer Nutzer.

Wonach wurde die obige Tabelle sortiert?

Aufgabe 4

Schreibe in Form einer Ordnungskette.

$76;$ $15;$ $26;$ $95;$ $33;$ $18$

$38;$ $17;$ $94;$ $92;$ $129;$ $81$

$111;$ $11;$ $14;$ $110;$ $101;$ $100$

$156;$ $114;$ $143;$ $185;$ $157;$ $144$

$103;$ $102;$ $203;$ $222;$ $798;$ $89$

$526;$ $56;$ $317;$ $731;$ $79;$ $445$

Aufgabe 5

Setze eine passende Zahl ein. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Lücke mit einer natürlichen Zahl zu füllen?

$13 \lt$ $\lt 19$

$23 \gt$ $\gt 18$

$29 \lt$ $\lt 31$

$164\gt$ $\gt 158$

$180\gt$ $\gt 178$

$99 \lt$ $\lt 109$

Aufgabe 6

Schreibe die Aussagen mithilfe der Ordnungszeichen $\gt$ und $\lt$ auf.

(1)

$59$ ist größer als $51$ und $51$ ist größer als $17.$

(2)

$18$ ist kleiner als $25$ und $25$ ist kleiner als $40.$

(3)

$29$ ist kleiner als $33$ aber größer als $27.$

(4)

$75$ liegt zwischen $56$ und $86.$

Formuliere die Aussage mithilfe von Worten.

(1)

$45 \lt 64 \lt 80$

(2)

$99 \gt 27 \gt 11$

(3)

$34 \gt 16 \gt 9$

(4)

$55 \lt 89 \lt 105$

Aufgabe 7

Lies die markierten Zahlen auf dem Zahlenstrahl ab.

Skala von 0 bis 100 mit Markierungen A, B, C und D zur Veranschaulichung von Werten.

Abb. 2: Zahlenstrahl

Grafik einer Zahlenlinie von 0 bis 1000 mit Markierungen A, B, C und D.

Abb. 3: Zahlenstrahl

Skala von 0 bis 10.000 mit Markierungen A, B, C und D.

Abb. 4: Zahlenstrahl

Diagramm mit einer Zahlengerade von 0 bis 1 Million, markiert mit A, B, C und D.

Abb. 5: Zahlenstrahl

Aufgabe 8

Markiere die Zahlen im Zahlenstrahl.

Eine Skala von 0 bis 100 mit Markierungen und einem Pfeil nach rechts.

Abb. 6: Zahlenstrahl

$68$
$19$
$85$
$117$

Grafik mit einer horizontalen Skala von 0 bis 1000, die als Messinstrument dient.

Abb. 7: Zahlenstrahl

$1\,130$
$740$
$910$
$250$

Eine horizontale Skala mit Markierungen von 0 bis 10.000.

Abb. 8: Zahlenstrahl

$1\,200$
$11\,100$
$9\,300$
$3\,400$

Zeitstrahl von 0 bis 1 Million, mit Markierungen für Zeitintervalle.

Abb. 9: Zahlenstrahl

$970\,000$
$160\,000$
$1\,140\,000$
$670\,000$

Aufgabe 9

Zeichne einen geeigneten Zahlenstrahl und markiere die Zahlen darin.

$55$
$31$
$113$

$800$
$640$
$920$

$6\,800$
$9\,200$
$10\,300$

$90\,000$
$34\,000$
$72\,000$

Aufgabe 10

Gib die Zahl an, die genau in der Mitte der angegebenen Zahlen liegt.

$56\,000$ und $640\,000$
$700\,000$ und $1\,300\,000$
$800\,000$ und $1\,200\,000$
$3\,000\,000$ und $10\,000\,000$

Bildnachweise [nach oben]

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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Sortierung bestimmen

Betrachtest du die Zahlen, dann kannst du dort keine bestimmte Sortierung feststellen. Betrachtest du aber die Städtenamen, kannst du erkennen, dass die Liste alphabetisch sortiert ist.

$\blacktriangleright$ Tabelle neu ordnen

Anstatt die Tabelle alphabetisch nach der Stadt zu sortieren, kannst du sie beispielsweise auch aufsteigend nach der Anzahl der Übernachtungen sortieren. Fange dazu mit der Stadt mit den wenigsten Übernachtungen an und ende mit der Stadt, die am meisten Übernachtungen hat.

Stadt	Anzahl der Übernachtungen
Dresden	$875\,000$
Nürnberg	$1\,044\,000$
Stuttgart	$1\,133\,000$
Köln	$1\,980\,000$
Düsseldorf	$2\,146\,000$
Hamburg	$3\,280\,000$
Frankfurt am Main	$4\,005\,000$
München	$6\,717\,000$
Berlin	$14\,179\,000$

Hinweis: Es gibt hier mehrere Lösungsmöglichkeiten. Du kannst die Liste zum Beispiel absteigend nach der Anzahl der Übernachtungen sortieren. Dann musst du mit der Stadt mit den meisten Übernachtungen beginnen und mit der Stadt mit den wenigsten Übernachtungen enden.

$\blacktriangleright$ Städte angeben

Verwende dazu die neu sortierte Liste. Die erste Stadt mit mehr als $3$ Millionen Übernachtungen ist Hamburg, es folgen Frankfurt am Main, München und Berlin.

Es gibt nur eine Stadt, die weniger als $1$ Million Übernachtungen hatte: Dresden.

$\blacktriangleright$ Zwei Städte angeben

Hier gibt es mehrere Möglichkeiten, beispielsweise:

Dresden und Frankfurt am Main
Nürnberg und Frankfurt am Main
Hamburg und Köln

$\blacktriangleright$ Passendes Zeichen einsetzen

Vergleiche die beiden Zahlen. Die Spitze des Ordnungszeichens zeigt immer auf die kleinere Zahl.

(1)

$3\,280\,000 \color{#87c800}{\gt } 1\,044\,000$

(2)

$875\,000 \color{#87c800}{\lt } 1\,133\,000$

$\blacktriangleright$ Ordnungskette angeben

Hierzu kannst du die sortierte Tabelle verwenden. Setze zwischen die Zahlen das richtige Zeichen. Im folgenden beginnen wir mit der kleinsten Zahl und enden mit der größten. Du kannst auch andersherum vorgehen und musst dann entsprechend das andere Ordnungszeichen verwenden.

$875\,000 \lt ... \lt 14\,179\,000$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Zahlen im Zahlenstrahl markieren

Grafik eines Zeitstrahls mit Markierungen von 0 bis 15 Minuten.

Abb. 1: Die Zahlen sind grün markiert

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Zeichen einsetzen

$34$ ist größer als $23:$

$34 \color{#87c800}{\gt } 23$

$\blacktriangleright$ Zeichen einsetzen

$103$ ist kleiner als $145:$

$103 \color{#87c800}{\lt } 145$

$\blacktriangleright$ Zeichen einsetzen

$6$ ist kleiner als $12:$

$6 \color{#87c800}{\lt } 12$

$\blacktriangleright$ Zeichen einsetzen

$87$ ist größer als $78:$

$87 \color{#87c800}{\gt } 78$

Aufgabe 2

Du kannst mit der kleinsten Zahl beginnen und mit der größten enden oder umgekehrt. Hier wird mit der kleinsten Zahl begonnen:

$\blacktriangleright$ Zahlen ordnen

$10;$ $32;$ $45;$ $74;$ $78$

$\blacktriangleright$ Zahlen ordnen

$13;$ $25;$ $67;$ $99;$ $104$

$\blacktriangleright$ Zahlen ordnen

$6;$ $22;$ $23;$ $157;$ $175$

$\blacktriangleright$ Zahlen ordnen

$14;$ $65;$ $115;$ $143;$ $163$

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Hersteller mit den meisten Nutzern angeben

Vergleiche die Zahlen miteinander und finde so die größte. Die größte Anzahl ist $20\,023\,735.$ Der Hersteller mit den meisten Nutzern ist also Samsung.

$\blacktriangleright$ Hersteller angeben

Überprüfe bei jeder Zahl, ob sie die Bedingung erfüllt.

Hersteller mit mehr als $2$ Millionen Nutzern sind Apple, HTC, Nokia, Samsung und Sony.

Der einzige Hersteller in der Liste mit weniger als $1$ Million Nutzer ist Motorola.

$\blacktriangleright$ Hersteller ordnen

Du kannst entweder mit dem Hersteller mit den meisten Nutzern oder mit dem Hersteller mit den wenigsten Nutzern beginnen.

Hersteller	Anzahl Nutzer
Samsung	$20\,023\,735$
Apple	$9\,431\,084$
Sony	$3\,683\,902$
Nokia	$3\,170\,005$
HTC	$2\,901\,493$
Sonstige	$1\,734\,091$
LG	$1\,605\,027$
Huawei	$1\,402\,255$
Motorola	$723\,934$

$\blacktriangleright$ Sortierung bestimmen

Betrachtest du die Zahlen in der Tabelle, kannst du erkennen, dass es keine bestimmte Ordnung gibt. Betrachtest du aber die Namen der Hersteller, kannst du erkennen, dass diese alphabetisch sortiert sind. Ausschließlich „Sonstige“ wird außerhalb der alphabetischen Sortierung am Schluss aufgezählt, da „Sonstige“ oder „Andere“ meist zum Schluss aufgezählt werden.

Aufgabe 4

Sortiere die Zahlen der Größe nach und setze die richtigen Ordnungszeichen ein.

$\blacktriangleright$ Ordnungskette aufschreiben

$15 \lt$ $18\lt$ $26\lt$ $33\lt$ $76\lt$ $95$

$\blacktriangleright$ Ordnungskette aufschreiben

$17\lt$ $38\lt$ $81\lt$ $92\lt$ $94\lt$ $129$

$\blacktriangleright$ Ordnungskette aufschreiben

$11\lt$ $14\lt$ $100\lt$ $101\lt$ $110\lt$ $111$

$\blacktriangleright$ Ordnungskette aufschreiben

$114\lt$ $143\lt$ $144\lt$ $156\lt$ $157\lt$ $185$

$\blacktriangleright$ Ordnungskette aufschreiben

$89\lt$ $102\lt$ $103\lt$ $203\lt$ $222\lt$ $798$

$\blacktriangleright$ Ordnungskette aufschreiben

$56\lt$ $79\lt$ $317\lt$ $445\lt$ $526\lt$ $731$

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Lücke füllen

In die Lücke passen alle Zahlen, die größer als $13$ und kleiner als $19$ sind. Dies erfüllen:

$14$
$15$
$16$
$17$
$18$

Es gibt also $5$ Möglichkeiten die Lücke mit einer natürlichen Zahl zu füllen.

$\blacktriangleright$ Lücke füllen

In die Lücke passen alle Zahlen, die kleiner als $23$ und größer als $18$ sind. Dies erfüllen:

$22$
$21$
$20$
$19$

Es gibt also $4$ Möglichkeiten die Lücke mit einer natürlichen Zahl zu füllen.

$\blacktriangleright$ Lücke füllen

In die Lücke passen alle Zahlen, die größer als $29$ und kleiner als $31$ sind. Dies erfüllt nur die Zal $30.$
Es gibt also nur eine Möglichkeit die Lücke mit einer natürlichen Zahl zu füllen.

$\blacktriangleright$ Lücke füllen

In die Lücke passen alle Zahlen, die kleiner als $164$ und größer als $158$ sind. Dies erfüllen:

$163$
$162$
$161$
$160$
$159$

Es gibt also $5$ Möglichkeiten die Lücke mit einer natürlichen Zahl zu füllen.

$\blacktriangleright$ Lücke füllen

In die Lücke passen alle Zahlen, die kleiner als $180$ und größer als $178$ sind. Dies erfüllt nur $179.$
Es gibt also nur eine Möglichkeit die Lücke mit einer natürlichen Zahl zu füllen.

$\blacktriangleright$ Lücke füllen

In die Lücke passen alle Zahlen, die größer als $99$ und kleiner als $109$ sind. Dies erfüllen:

$100$
$101$
$102$
$103$
$104$
$105$
$106$
$107$
$108$

Es gibt also $9$ Möglichkeiten die Lücke mit einer natürlichen Zahl zu füllen.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Aussagen mithilfe der Ordnungszeichen schreiben

Teile die Aussagen gegebenenfalls in Teilaussagen auf und füge diese dann zusammen.

(1)

$59 \gt 51$ und $51 \gt 17$ also insgesamt:

$59\gt 51 \gt 17$

(2)

$18 \lt 25$ und $25 \lt 40$ also insgesamt:

$18\lt 25 \lt 40$

(3)

$29 \lt 33$ und $29 \gt 27$ ist gleichbedeutend mit $29 \lt 33$ und $27 \lt 29.$ Also ist insgesamt:

$27 \lt 29 \lt 33$

(4)

$56 \lt 75 \lt 86$

$\blacktriangleright$ Aussagen ausformulieren

Bei dieser Aufgabe gibt es verschiedene Lösungen. Im Folgenden ist jeweils nur eine Möglichkeit angegeben.

(1)

$45$ ist kleiner als $64$ und $64$ ist kleiner als $80.$

(2)

$99$ ist größer als $27$ und $27$ ist größer als $11.$

(3)

$34$ ist größer als $16$ und $16$ ist größer als $9.$

(4)

$55$ ist kleiner als $89$ und $89$ ist kleiner als $105.$

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ Zahlen ablesen

$10$ große Striche sind zusammen $100.$ Ein großer Strich steht also für $10,$ ein kleiner für $1.$

$A=16$
$B= 35$
$C= 94$
$D= 105$

$\blacktriangleright$ Zahlen ablesen

$10$ große Striche sind zusammen $1000.$ Ein großer Strich steht also für $100,$ ein kleiner für $10.$

$A= 120$
$B= 320$
$C= 550$
$D= 670$

$\blacktriangleright$ Zahlen ablesen

$10$ große Striche sind zusammen $10\,000.$ Ein großer Strich steht also für $1000,$ ein kleiner für $100.$

$A= 600$
$B= 3000$
$C= 8700$
$D= 11\,200$

$\blacktriangleright$ Zahlen ablesen

$10$ große Striche sind zusammen $1\,000\,000.$ Ein großer Strich steht also für $100\,000,$ ein kleiner für $10\,000.$

$A= 160\,000$
$B= 340\,000$
$C= 640\,000$
$D= 1\,030\,000$

Aufgabe 8

$\blacktriangleright$ Zahlen markieren

Grafische Darstellung eines Maßstabs von 0 bis 100 mit markierten Einheiten.

Abb. 2

$\blacktriangleright$ Zahlen markieren

Grafische Darstellung eines Messbereichs von 0 bis 1000 mit Markierungen.

Abb. 3

$\blacktriangleright$ Zahlen markieren

Schwarze Skala mit grünen Markierungen und Zahlen von 0 bis 10.000.

Abb. 4

$\blacktriangleright$ Zahlen markieren

Zeitstrahl mit Markierungen von 0 bis 1 Million, zur Darstellung von Zeit oder Zahlen.

Abb. 5

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$ Zahlenstrahl zeichnen

Du benötigst einen Zahlenstrahl, der mindestens bis $113$ reicht. Du kannst also beispielsweise pro Zentimeter $10$ Einheiten eintragen.

Skala mit Markierungen von 0 bis 100, grau mit grünen Linien zur besseren Lesbarkeit.

Abb. 6

$\blacktriangleright$ Zahlenstrahl zeichnen

Du benötigst einen Zahlenstrahl, der mindestens bis $920$ reicht. Einer müssen nicht abgebildet werden, da alle Zahlen auf eine $0$ enden. Du kannst also beispielsweise pro Zentimeter $100$ Einheiten eintragen.

Grafik einer Skala von 0 bis 1000 mit Markierungen.

Abb. 7

$\blacktriangleright$ Zahlenstrahl zeichnen

Du benötigst einen Zahlenstrahl, der mindestens bis $10\,300$ reicht. Einer und Hunderter müssen nicht abgebildet werden, da alle Zahlen auf $00$ enden. Du kannst also beispielsweise pro Zentimeter $1000$ Einheiten eintragen.

Grafische Darstellung eines Maßstabs von 0 bis 10.000 mit Markierungen und grünen Linien.

Abb. 8

$\blacktriangleright$ Zahlenstrahl zeichnen

Du benötigst einen Zahlenstrahl, der mindestens bis $90\,000$ reicht. Einer, Hunderter und Tausender müssen nicht abgebildet werden, da alle Zahlen auf $000$ enden. Du kannst also beispielsweise pro Zentimeter $10\,000$ Einheiten eintragen.

Grafik eines Maßstabs von 0 bis 100.000 mit Markierungen.

Abb. 9

Aufgabe 10

Die gesuchte Zahl soll in der Mitte zwischen den beiden angegebenen Zahlen liegen. Sie muss also von beiden Zahlen den gleichen Abstand haben. Zur Hilfe kannst du einen Zahlenstrahl skizzieren.
Die gesuchte Zahl muss „auf halber Strecke“ von der kleineren zur größeren Zahl liegen. Du kannst also erst den gesamten Abstand der beiden Zahlen berechnen. Die Hälfte davon kannst du dann zur kleineren Zahl hinzuaddieren.

$\begin{array}[t]{rll} & 640\,000 -56\,000\\[5pt] =&584\,000 \end{array}$
Die beiden Zahlen haben also einen Abstand von $584\,000.$
$\begin{array}[t]{rll} &584\,000 :2 \\[5pt] =&292\,000 \end{array}$
Die gesuchte Zahl muss zu beiden einen Abstand von $292\,000$ haben.
$\begin{array}[t]{rll} &56\,000 +292\,000 \\[5pt] =&348\,000 \end{array}$
Zwischen den Zahlen $56\,000$ und $640\,000$ liegt $348\,000$ in der Mitte.
$\begin{array}[t]{rll} &1\,300\,000 -700\,000 \\[5pt] =&600\,000 \end{array}$
Die beiden Zahlen haben also einen Abstand von $600\,000.$
$\begin{array}[t]{rll} &600\,000 :2\\[5pt] =&300\,000 \end{array}$
Die gesuchte Zahl muss zu beiden einen Abstand von $300\,000$ haben.
$\begin{array}[t]{rll} &700\,000 +300\,000\\[5pt] =&1\,000\,000 \end{array}$
Zwischen den Zahlen $700\,000$ und $1\,300\,000$ liegt $1\,000\,000$ in der Mitte.
$\begin{array}[t]{rll} &1\,200\,000 -800\,000\\[5pt] =& 400\,000 \end{array}$
Die beiden Zahlen haben also einen Abstand von $400\,000.$
$400\,000 :2 = 200\,000$
Die gesuchte Zahl muss zu beiden einen Abstand von $200\,000$ haben.
$\begin{array}[t]{rll} &800\,000 +200\,000\\[5pt] =& 1\,000\,000 \end{array}$
Zwischen den Zahlen $800\,000$ und $1\,200\,000$ liegt $1\,000\,000$ in der Mitte.
$\begin{array}[t]{rll} &10\,000\,000 -3\,000\,000\\[5pt] =& 7\,000\,000 \end{array}$
Die beiden Zahlen haben also einen Abstand von $7\,000\,000.$
$\begin{array}[t]{rll} &7\,000\,000 :2\\[5pt] =& 3\,500\,000 \end{array}$
Die gesuchte Zahl muss zu beiden einen Abstand von $3\,500\,000$ haben.
$\begin{array}[t]{rll} &3\,000\,000 +3\,500\,000\\[5pt] =& 6\,500\,000 \end{array}$
Zwischen den Zahlen $3\,000\,000$ und $10\,000\,000$ liegt $6\,500\,000$ in der Mitte.

Bildnachweise [nach oben]

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