Potenzieren

Eine Potenz gibt dir an, wie oft du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst. Allgemein hat eine Potenz die Form:

$\color{#dc1400}{a}^\color{#87c800}{b}=\underbrace{\color{#dc1400}{a}\cdot \color{#dc1400}{a}\cdot \color{#dc1400}{a}\cdot...\cdot \color{#dc1400}{a}}_{\color{#87c800}{b}\,\text{mal}}$

Dabei wird $a$ Basis oder Grundzahl genannt und $b$ Exponent oder Hochzahl. Für $a^b$ liest du „ $a$ hoch $b.$ “

Vorrangregeln für das Potenzieren

Die Potenz wird in einem Term vor der Punktrechnung und vor der Strichrechung ausgerechnet.

Quadratzahlen

Zahlen mit dem Exponenten $2$ werden Quadratzahlen genannt. Es empfiehlt sich die Quadratzahlen von $1 - 20$ auswendig zu können.

$x$	$y$
$1$	$1$
$2$	$4$
$3$	$9$
$4$	$16$
$5$	$25$
$6$	$36$
$7$	$49$
$8$	$64$
$9$	$81$
$10$	$100$
$11$	$121$
$12$	$144$
$13$	$169$
$14$	$196$
$15$	$225$
$16$	$256$
$17$	$289$
$18$	$324$
$19$	$361$
$20$	$400$

Einführungsaufgabe

Lukas hat den Code seines neuen Fahrradschlosses vergessen. Er hofft, dass er es selbst knacken kann ohne das Schloss aufbrechen zu müssen. Er möchte einfach jede Zahlenkombination nacheinander ausprobieren. Für jede Stelle des Zahlenschlosses sind Zahlen zwischen $0$ und $9$ möglich. Das Zahlenschloss besitzt insgesamt $4$ Stellen.

Abbildung eines Zahlenschlosses mit Zifferntasten und einem Kabel.

Abb. 1: Zahlenschloss

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Zahlenkombination?

Lukas fällt ein, dass er nur Zahlen kleiner als $5$ für die Zahlenkombination benutzt hat. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt noch für die Zahlenkombination?

Aufgabe 1

Berechne.

$2^3$

$4^3$

$1^{13}$

$5^3$

$3^3$

$7^2$

$10^{4}$

$20^4$

Aufgabe 2

Schreibe den Term als Potenz und bestimme anschließend den Wert.

$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

$7 \cdot 7 \cdot 7$

$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1$

Aufgabe 3

Lena hat im Internet gelesen, dass für den Nachmittag eine Sonnenfinsternis angekündigt ist. Sie erzählt es innerhalb $15$ Minuten an vier ihrer Freunde weiter. Diese Freunde erzählen es wiederum an jeweils $4$ Personen weiter innerhalb der nächsten $15$ Minuten. Dies geht so weiter bis eine Stunde vorbei ist.

Sonnenfinsternis mit strahlendem Licht und dunklem Mond vor einem schwarzen Hintergrund.

Abb. 2: Sonnenfinsternis

Wie viele Leute wissen nach $30$ Minuten über die Sonnenfinsternis durch die Erzählungen bescheid?

Wie viele Leute wissen nach einer Stunde insgesamt durch die Erzählungen bescheid?

Aufgabe 4

Bestimme für die Variable $x$ die passende Zahl, sodass die Gleichung gilt.

$x^2=25$

$2^x=64$

$x^3=125$

$x^4=81$

Aufgabe 5

Berechne den jeweiligen Wert.

Die dritte Potenz von $4.$

Die fünfte Potenz von $2.$

Die Summe aus der dritten Potenz von $6$ und der zweiten Potenz von $9.$

Das Produkt aus der zweiten Potenz von $3$ und der zehnten Potenz von $1.$

Bildnachweise [nach oben]

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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Anzahl der Möglichkeiten bestimmen

Das Zahlenschloss von Lukas besitzt insgesamt vier Stellen, die jeweils die Zahlen von $0$ bis $9$ anzeigen können. Für jede der $4$ Stellen besitzt er also $10$ Möglichkeiten. Wenn Lukas für die erste Stelle beispielsweise die $1$ einstellt, dann besitzt er für die zweite Stelle erneut $10$ Möglichkeiten. Dies gilt für alle $10$ Zahlen der ersten Stelle.

Somit gibt es insgesamt $10^2=10 \cdot 10$ verschiedene Möglichkeiten für die ersten beiden Stellen. Für alle vier Stellen gibt es damit insgesamt $10^4$ verschiedene Möglichkeiten.

$\begin{array}[t]{rll} 10^4&=& 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \\[5pt] &=& 100 \cdot 10 \cdot 10 \\[5pt] &=& 1\,000 \cdot 10 \\[5pt] &=& 10\,000 \\[5pt] \end{array}$

Insgesamt gibt es $10\,000$ verschiedene Möglichkeiten für die Zahlenkombination des Fahrradschlosses.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Möglichkeiten bestimmen

Lukas fällt ein, dass er nur Zahlen kleiner als $5$ verwendet hat für die Zahlenkombination. Somit sind für jede Stelle nur noch die Zahlen von $0$ bis $4$ möglich. Damit folgt, dass es für jede Stelle nur noch $5$ verschiedene Möglichkeiten gibt.

Somit gibt es insgesamt $5^4$ verschiedene Möglichkeiten für die Zahlenkombination des Zahlenschlosses.

$\begin{array}[t]{rll} 5^4&=& 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \\[5pt] &=& 25 \cdot 5 \cdot 5 \\[5pt] &=& 125 \cdot 5 \\[5pt] &=& 625 \\[5pt] \end{array}$

Insgesamt gibt es nur noch $625$ verschiedene Möglichkeiten für die Zahlenkombination des Fahrradschlosses.