Anzahlen bestimmen - Kombinieren

Zur Bestimmung der Anzahlen kannst du alle verschiedenen Möglichkeiten aufzählen.

Hierzu ist es hilfreich die Möglichkeiten systematisch aufzuschreiben, sodass du keine Möglichkeit vergisst.

Die verschiedenen Möglichkeiten kannst du übersichtlich in einem Baumdiagramm darstellen. Jeder Weg gibt hierbei eine Möglichkeit an und eine Verzweigung stellt eine Entscheidung dar.

Beispiel

Bei einem Familienessen besitzt Felix die Auswahl zwischen drei Hauptspeisen und zwei Nachspeisen. Als Hauptspeisen stehen Spaghetti, Pizza und Lasagne zur Auswahl. Als Nachtisch sind Panna Cotta und Tiramisu möglich. Er kann hierbei je ein Gericht auswählen.

Insgesamt besitzt er für die Hauptspeise drei und für den Nachtisch zwei verschiedene Möglichkeiten zur Auswahl. Für jede Hauptspeise die er auswählt kann er zwei mögliche Nachtische wählen. Somit gibt es insgesamt $3 \cdot 2=6$ Möglichkeiten zur Auswahl eines Menüs mit einer Hauptspeise und einer Nachspeise.

Spaghetti kannst du mit $S$ , Pizza mit $P$ , Lasagne mit $L$ , Panna Cotta mit $PC$ und Tiramisu mit $T$ bezeichnen. Damit folgt für das Baumdiagramm:

Diagramm mit einer Verzweigung für S, P und L, die jeweils mit PC und T verbunden sind.

Abb. 1: Baumdiagramm

Die Anzahl der Menüs ist gleich der Anzahl der Pfade im Baumdiagramm.

Bildnachweise [nach oben]

[1]

Einführungsaufgabe

Leon möchte für seine Familie einen Flammenkuchen backen. In ihrem Küchenschrank findet er zwei verschiedene Sorten an Mehl für den Teig. Zur Auswahl stehen Weizenmehl und Vollkornmehl.

In ihrem Kühlschrank findet er außerdem drei verschiedene Sorten Käse. Es gibt Emmentaler, Gouda und Mozzarella. Für die restlichen Zutaten des Flammenkuchens hat er sich bereits entschieden. Er möchte für einen Flammenkuchen nur eine Sorte Mehl und Käse verwenden.

Pizza wird in einem Holzofen mit Flammen gebacken.

Abb. 1: Flammenkuchen

Wie viele verschiedene Flammenkuchen kann Leon mit den Sorten von Mehl und Käse insgesamt backen?

Stelle die verschiedenen Möglichkeiten in einem Baumdiagramm dar.

Aufgabe 1

Emma und Mia spielen zusammen ein Glücksspiel. Sie werfen dreimal hintereinander eine Münze. Die Münze zeigt entweder Kopf oder Zahl an.

Emma gewinnt, falls die Münze beim ersten Wurf direkt Kopf anzeigt und Mia gewinnt, falls die Münze mindestens zweimal hintereinander das gleiche anzeigt.

Zeichne ein Baumdiagramm für die verschiedenen Möglichkeiten.

Gib jeweils die Anzahl der Möglichkeiten an, sodass Emma oder Mia beim Glücksspiel gewinnen.

Aufgabe 2

Im Fußball-WM-Finale 2014 wechselte der deutsche Nationaltrainer Joachim Löw den Siegtorschützen Mario Götze und den Vorlagengeber André Schürrle ein. Insgesamt saßen auf der deutschen Bank $5$ offensive Spieler, welche der Bundestrainer alle hätte einwechseln können.

Fußballspiel mit einem Spieler, der kurz davor ist, ein Tor zu erzielen, während zwei andere Spieler zuschauen.

Abb. 2: Siegtor WM Finale 2014

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gab es für die beiden Auswechslungen?

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gab es für die Einwechslung in der zweiten Halbzeit als noch $4$ mögliche Spieler auf der Bank saßen und Joachim Löw den Siegtorschützen Mario Götze eingewechselt hat?

Aufgabe 3

Lukas möchte sich ein neues Fahrrad kaufen. Hierzu schaut er sich in einem Fahrradladen verschiedene Fahrradtypen an. Zur Auswahl steht ein BMX-Rad, ein Rennrad und ein Mountainbike. Jedes dieser Fahrräder wird in schwarz, grün und rot angeboten.

Schwarzes Fahrrad auf einem schottrigen Weg umgeben von grüner Natur.

Abb. 3: Mountainbike

Wie viele Möglichkeiten stehen für Lukas insgesamt zur Auswahl?

Stelle die Möglichkeiten in einem Baumdiagramm dar.

Bildnachweise [nach oben]

[1]

Public Domain.

[2]

goo.gl/QVZCFY - The final match of World Cup 2014 between Germany and Argentina 2014-07-13, Danilo Borges/copa2014.gov.br, CC BY 3.0 BR.

[3]

Public Domain.

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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Anzahlen bestimmen

Insgesamt besitzt Leon die Auswahl zwischen zwei Sorten Mehl und drei Sorten Käse. Für jeden Flammenkuchenteig mit dem jeweiligen Mehl besitzt Leon drei verschiedene Möglichkeiten an Käse.

Für die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 3&=& 6 \\[5pt] \end{array}$

Leon kann insgesamt $6$ verschiedene Flammenkuchen backen.

$\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen

Du kannst das Weizenmehl mit $W$ abkürzen und das Vollkornmehl mit $V.$ Außerdem kannst du Emmentaler mit $E$ , Gouda mit $G$ und Mozzarella mit $M$ abkürzen.

Zuerst besitzt Leon die Auswahl zwischen der jeweiligen Mehlart. Anschließend gibt es für die jeweilige Mehlart weitere drei Möglichkeiten für den Käse.

Diagramm mit Buchstaben und Verzweigungen, das verschiedene Kategorien darstellt.

Abb. 1: Baumdiagramm

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen

Die Münze zeigt entweder Kopf oder Zahl an. Das Ereignis, dass die Münze bei einem Wurf Kopf anzeigt kannst du mit $K$ abkürzen und dass die Münze Zahl anzeigt entsprechend mit $Z.$

Beim ersten Wurf gibt es die Möglichkeiten, dass die Münze Kopf oder Zahl anzeigt. Für diese beiden Möglichkeiten gibt es beim zweiten Wurf erneut zwei Möglichkeiten und beim dritten Wurf genauso.

Diagramm mit K und Z, das eine Baumstruktur darstellt.

Abb. 2: Baumdiagramm

$\blacktriangleright$ Anzahl angeben

Anhand des Baumdiagramms kannst du die Anzahl der Möglichkeiten ablesen. Es ist gegeben, dass Emma gewinnt, falls die Münze beim ersten Wurf Kopf anzeigt. Somit kannst du bei jedem Pfad schauen, ob die Münze beim ersten Wurf Kopf angezeigt hat.

Es gibt $4$ Pfade und damit $4$ verschiedene Möglichkeiten, dass Emma bei dem Glücksspiel gewinnt.

Mia gewinnt falls die Münze mindestens zweimal hintereinander das gleiche anzeigt. Dies kannst du für jeden Pfad überprüfen.

Es gibt insgesamt $6$ Pfade und damit $6$ verschiedene Möglichkeiten, dass Mia gewinnt.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Anzahl bestimmen

Insgesamt gab es zwei Auswechslungen. Somit hatte der Bundestrainer die Möglichkeit jeweils zwei der $5$ Spieler einzuwechseln. Die $5$ möglichen Auswechselspieler kannst du mit den Buchstaben $A$ , $B$ , $C$ , $D$ und $E$ bezeichnen.

Zusammen mit dem Spieler $A$ kannst du die Spieler $B$ , $C$ , $D$ und $E$ einwechseln. Für die Einwechslungen mit dem Spieler $B$ folgen somit noch $3$ weitere Möglichkeiten. Mit dem Spieler $B$ können noch die Spieler $C$ , $D$ und $E$ eingewechselt werden.

Entsprechend gibt es noch $2$ weitere Möglichkeiten für die Einwechslung des Spielers $C.$ Der Spieler $C$ kann noch mit den Spielern $D$ und $E$ eingewechselt werden.

Außerdem kann der Spieler $D$ noch mit dem Spieler $E$ eingewechselt werden.

Insgesamt gab es somit $4+3+2+1=10$ mögliche Wechselkombinationen.

$\blacktriangleright$ Anzahl bestimmen

In der zweiten Hälfte hat Joachim Löw den Siegtorschützen Mario Götze eingewechselt. Zu diesem Zeitpunkt hatte er noch $4$ mögliche Spieler auf der Bank.

Da Joachim Löw nur einen Spieler einwechselte und dafür $4$ Auswechselspieler in Betracht gezogen hat, gab es insgesamt $4$ verschiedene Möglichkeiten für Joachim Löw zu wechseln.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Anzahl bestimmen

Lukas hat die Auswahl zwischen drei verschiedenen Fahrradtypen und jeweils drei verschiedenen Farben der Fahrräder. Somit folgt für die Gesamtanzahl der verschiedenen Fahrräder:

$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 3&=& 9 \\[5pt] \end{array}$

Somit hat Lukas die Auswahl zwischen $9$ verschiedenen Fahrrädern.

$\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen

Zuerst besitzt Lukas die Möglichkeit zwischen drei verschiedenen Fahrradtypen auszuwählen. Jedes dieser Fahrräder kann in einer der drei verschiedenen Farben sein. Das BMX-Rad kannst du mit $B$ , das Mountainbike mit $M$ , das Rennrad mit $R$ , die Farbe schwarz mit $s$ und grün mit $g$ bezeichnen.

Baumdiagramm mit Verzweigungen und Farben für B, M und R.

Abb. 3: Baumdiagramm

Bildnachweise [nach oben]

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