Multiplizieren und Dividieren

Multiplikation

Für die Multiplikation gelten folgende Fachausdrücke:

$3\cdot 4=12$

Fachausdrücke anzeigen

Den Ausdruck $3 \cdot 4$ nennt man Produkt. Man spricht „drei mal vier.“

Merke:

Falls ein Faktor gleich $0$ ist, so ist das Produkt gleich $0.$

Division

Für die Division gelten die Fachausdrücke:

$10:5=2$

Fachausdrücke anzeigen

Den Ausdruck $10:5$ nennt man Quotient. Man spricht „zehn geteilt durch fünf.“

Merke:

Durch $0$ kann man nicht dividieren.
Falls der Dividend gleich $0$ ist und der Divisor ungleich $0$ ist, so ist das Ergebnis gleich $0.$

Einführungsaufgabe

Ben möchte auf einer Pferderennbahn Geld setzen. Er hat sich zuvor bereits ein Pferd herausgesucht, auf das er setzen will. Das Pferd besitzt eine Gewinnchance von $1$ zu $13$ . Somit würde Ben bei einem Sieg des Pferdes das $13$ -fache seines Einsatzes ausgezahlt bekommen.

Mehrere Pferde mit Jockeys bei einem Rennen auf einer Rennbahn. Grüne Wiese und Bäume im Hintergrund.

Abb. 1: Pferderennen

Ben setzt $12\,€$ auf das Pferd, welches er sich zuvor ausgesucht hat. Wie hoch wäre der Gewinn von Ben?

Ben setzt bei dem nächsten Rennen noch auf ein weiteres Pferd. Sein Einsatz beträgt $21\,€$ und er würde bei einem Sieg des Pferdes $168\,€$ ausgezahlt bekommen. Welche Gewinnchance besitzt dieses Pferd?

Aufgabe 1

Berechne die folgenden Ausdrücke.

$9 \cdot 12$

$18 \cdot 7$

$96 : 4$

$515 : 5$

$12 \cdot 24$

$144 : 6$

$162 : 9$

$35 \cdot 6$

Aufgabe 2

Jonas und Lea gehen zusammen schwimmen. Jonas benötigt durchschnittlich für eine Bahn $36\, \text{s}$ und Lea $42 \,\text{s}.$

Ein leeres Schwimmbecken mit blauen Fliesen und beleuchteten Wasserbereichen.

Abb. 2: Schwimmbahn

Wie lange benötigen Jonas und Lea für je neun Bahnen?

Jonas behauptet, dass er in $252 \,\text{s}$ genau eine Bahn mehr schwimmt als Lea. Prüfe nach, ob diese Behauptung stimmt.

Aufgabe 3

Bestimme die fehlenden Zahlen.

$4 \cdot$ $=44$

$162 :$ $=54$

$\cdot 99=495$

$\cdot 27 =243$

$:12=15$

$21 \cdot$ $=231$

Aufgabe 4

Bestimme das Produkt von $12$ und dem Quotienten von $63$ und $7.$

Bestimme den Quotienten von dem Produkt von $17$ und $6$ und $3.$

Bestimme den Quotienten von dem Vierfachen von $46$ und $8.$

Bestimme das Produkt von $12$ und dem siebten Teil von $49.$

Aufgabe 5

Setze die Zahlenreihe um vier Zahlen fort. Hierbei wurde Multiplikation und Division verwendet.

$1; \,2; \, 4; \, 8;\, 16; \dotsc$

$3; \, 12; \, 6; \, 24; \, 12; \dotsc$

$48; \, 96; \, 24; \, 48;\, 12; \dotsc$

$1; \, 9; \, 3; \, 27; \, 9; \dotsc$

Bildnachweise [nach oben]

[1]

Public Domain.

[2]

Public Domain.

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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Gewinn bestimmen

Die Gewinnchance beträgt $1$ zu $13.$ Somit bekommt Ben das $13$ -fache seines Einsatzes ausgezahlt, falls sein Pferd gewinnt. Sein Einsatz beträgt $12\,€.$ Die Multiplikation von $12$ und $13$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst multipliziert man $12$ mit $10$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $12$ und $3$ . Mit $12 \cdot 10=120$ und $12 \cdot 3=36$ folgt für das Produkt von $12$ und $13$ :

$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot 13&=& 120 + 36 \\[5pt] &=& 156 \end{array}$

Somit beträgt der mögliche Gewinn von Ben $156\,€.$

$\blacktriangleright$ Gewinnchance bestimmen

Der Einsatz von Ben beträgt $21\,€$ und seine mögliche Auszahlung $168\,€.$ Die Division von $168$ und $21$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst dividiert man $210$ mit $21$ und subtrahiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $42$ und $21$ . Mit $210 : 21=10$ und $42 :21 =2$ folgt für den Quotient von $168$ und $21$ und damit für die Gewinnchance des Pferdes:

$\begin{array}[t]{rll} 168 : 21 &=& 10 -2\\[5pt] &=& 8 \end{array}$

Somit besitzt das gewählte Pferd eine Gewinnchance von $1$ zu $8.$

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Ergebnis berechnen

Die Multiplikation von $9$ und $12$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst multipliziert man $9$ mit $10$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $9$ und $2$ . Mit $9 \cdot 10=90$ und $9 \cdot 2=18$ folgt für das Produkt von $9$ und $12$ :

$\begin{array}[t]{rll} 9 \cdot 12&=& 90 +18 \\[5pt] &=& 108 \\[5pt] \end{array}$

Somit lautet das Ergebnis $108.$

$\blacktriangleright$ Ergebnis berechnen

Die Multiplikation von $18$ und $7$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst multipliziert man $10$ mit $7$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $8$ und $7$ . Mit $10 \cdot 7=70$ und $8 \cdot 7=56$ folgt für das Produkt von $18$ und $7$ :

$\begin{array}[t]{rll} 18 \cdot 7&=& 70 +56 \\[5pt] &=& 126 \\[5pt] \end{array}$

Somit lautet das Ergebnis $126.$

$\blacktriangleright$ Ergebnis berechnen

Die Division von $96$ und $4$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst dividiert man $80$ mit $4$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $16$ und $4$ . Mit $80 : 4=20$ und $16 :4 =4$ folgt für den Quotient von $96$ und $4$ :

$\begin{array}[t]{rll} 96 : 4&=& 20+4 \\[5pt] &=& 24 \\[5pt] \end{array}$

Somit lautet das Ergebnis $24.$

$\blacktriangleright$ Ergebnis berechnen

Die Division von $515$ und $5$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst dividiert man $500$ mit $5$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $15$ und $5$ . Mit $500 : 5=100$ und $15 :5 =3$ folgt für den Quotient von $515$ und $45$ :

$\begin{array}[t]{rll} 515 : 5&=& 100 +3 \\[5pt] &=& 103 \\[5pt] \end{array}$

Somit lautet das Ergebnis $103.$

$\blacktriangleright$ Ergebnis berechnen

Die Multiplikation von $12$ und $24$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst multipliziert man $12$ mit $20$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $12$ und $4$ . Mit $12 \cdot 20=240$ und $12 \cdot 4=48$ folgt für das Produkt von $12$ und $24$ :

$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot 24&=& 240 +48 \\[5pt] &=& 288 \\[5pt] \end{array}$

Somit lautet das Ergebnis $288.$

$\blacktriangleright$ Ergebnis berechnen

Die Division von $144$ und $6$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst dividiert man $120$ mit $6$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $24$ und $6$ . Mit $120 : 6=20$ und $24 :6 =4$ folgt für den Quotient von $144$ und $6$ :

$\begin{array}[t]{rll} 144 : 6&=& 20 +4 \\[5pt] &=& 24 \\[5pt] \end{array}$

Somit lautet das Ergebnis $24.$

$\blacktriangleright$ Ergebnis berechnen

Die Division von $162$ und $9$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst dividiert man $180$ mit $9$ und subtrahiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $18$ und $9$ . Mit $180 : 9=20$ und $18 :9 =2$ folgt für den Quotient von $162$ und $9$ :

$\begin{array}[t]{rll} 162 : 9&=& 20 -2 \\[5pt] &=& 18 \\[5pt] \end{array}$

Somit lautet das Ergebnis $18.$

$\blacktriangleright$ Ergebnis berechnen

Die Multiplikation von $35$ und $6$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst multipliziert man $30$ mit $6$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $5$ und $6$ . Mit $30 \cdot 6=180$ und $5 \cdot 6=30$ folgt für das Produkt von $35$ und $6$ :

$\begin{array}[t]{rll} 35 \cdot 6&=& 180 +30 \\[5pt] &=& 210 \\[5pt] \end{array}$

Somit lautet das Ergebnis $210.$

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Dauer bestimmen

Für eine Bahn braucht Jonas durchschnittlich $36\,\text{s}$ und Lea $42\,\text{s}.$ Zur Bestimmung der Zeitdauer, welche Jonas insgesamt für alle neun Bahnen benötigt, muss die durchschnittliche Zeitdauer pro Bahn mit neun multipliziert werden.

$\begin{array}[t]{rll} 36 \cdot 9 &=& 270 + 54\\[5pt] &=& 324 \\[5pt] \end{array}$

Für neun Bahnen benötigt Jonas insgesamt $324\,\text{s}.$

$\begin{array}[t]{rll} 42 \cdot 9 &=& 360 + 18\\[5pt] &=& 378 \\[5pt] \end{array}$

Für neun Bahnen benötigt Lea insgesamt $378 \,\text{s}.$

$\blacktriangleright$ Behauptung überprüfen

Jonas behauptet, dass er in $252 \,\text{s}$ genau eine Bahn mehr schwimmt als Lea. Zur Bestimmung der Bahnenanzahl, welche beide in $252\,\text{s}$ zurücklegen, muss die Gesamtdauer durch die durchschnittliche Dauer für eine Bahn dividiert werden.

$\begin{array}[t]{rll} 252 : 36 &=& 5 + 2\\[5pt] &=& 7 \\[5pt] \end{array}$

Jonas legt insgesamt sieben Bahnen zurück.

$\begin{array}[t]{rll} 252 : 42&=& 5 + 1\\[5pt] &=& 6 \\[5pt] \end{array}$

Damit folgt, dass Lea insgesamt nur sechs Bahnen schwimmt. Somit hat Jonas mit seiner Behauptung recht und Jonas schwimmt in $252\,\text{s}$ genau eine Bahn mehr als Lea.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Zahl bestimmen

Die fehlende Zahl kann man durch Division der Zahlen $44$ und $4$ bestimmen.

$44 : 4 =11$

Somit lautet die gesuchte Zahl $11.$

$\blacktriangleright$ Zahl bestimmen

Die fehlende Zahl kann man durch Division der Zahlen $162$ und $54$ bestimmen.

$162 : 54 =3$

Somit lautet die gesuchte Zahl $3.$

$\blacktriangleright$ Zahl bestimmen

Die fehlende Zahl kann man durch Division der Zahlen $495$ und $99$ bestimmen.

$495 : 99 =5$

Somit lautet die gesuchte Zahl $5.$

$\blacktriangleright$ Zahl bestimmen

Die fehlende Zahl kann man durch Division der Zahlen $243$ und $27$ bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} 243 : 27&=& 10 -1 \\[5pt] &=& 9\\[5pt] \end{array}$

Somit lautet die gesuchte Zahl $9.$

$\blacktriangleright$ Zahl bestimmen

Die fehlende Zahl kann man durch Multiplikation der Zahlen $15$ und $12$ bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} 15 \cdot 12&=& 150 + 30 \\[5pt] &=& 180\\[5pt] \end{array}$

Somit lautet die gesuchte Zahl $180.$

$\blacktriangleright$ Zahl bestimmen

Die fehlende Zahl kann man durch Division der Zahlen $231$ und $21$ bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} 231 : 21&=& 10 +1 \\[5pt] &=& 11\\[5pt] \end{array}$

Somit lautet die gesuchte Zahl $11.$

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Ergebnis bestimmen

Für den Quotienten von $63$ und $7$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 63 : 7&=& 9 \\[5pt] \end{array}$

Anschließend kann man das Produkt von $12$ und $9$ durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst multipliziert man $10$ mit $9$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $2$ und $9$ . Mit $10 \cdot 9=90$ und $2 \cdot 9=18$ folgt für das Produkt von $12$ und $9$ :

$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot 9&=& 90 +18 \\[5pt] &=& 108 \\[5pt] \end{array}$

Somit lautet das Produkt von $12$ und dem Quotienten von $63$ und $7$ entsprechend $108.$

$\blacktriangleright$ Ergebnis bestimmen

Das Produkt von $17$ und $6$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst muss man $10$ mit $6$ multiplizieren und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $7$ und $6$ . Mit $10 \cdot 6=60$ und $7 \cdot 6 =42$ folgt für das Produkt von $17$ und $6$ :

$\begin{array}[t]{rll} 17 \cdot 6&=& 60 +42 \\[5pt] &=& 102 \\[5pt] \end{array}$

Anschließend kann man den Quotient von $102$ und $3$ mit vorteilhaftem Rechnen bestimmen. Zuerst dividiert man $90$ mit $3$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $12$ und $3$ . Mit $90 : 3=30$ und $12 :3 =4$ folgt für den Quotienten von $102$ und $3$ :

$\begin{array}[t]{rll} 102 : 3&=& 30+4 \\[5pt] &=& 34 \\[5pt] \end{array}$

Somit lautet das Ergebnis $34.$

$\blacktriangleright$ Ergebnis bestimmen

Das Vierfache von $46$ beschreibt das Produkt von $46$ und $4$ . Das Produkt kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst kann man $40$ mit $4$ multiplizieren und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $6$ und $4$ . Mit $40 \cdot 4=160$ und $6 \cdot 4 =24$ folgt für das Produkt von $46$ und $4$ :

$\begin{array}[t]{rll} 46 \cdot 4&=& 160 + 24 \\[5pt] &=& 184 \\[5pt] \end{array}$

Anschließend kann man den Quotient von $184$ und $8$ mit vorteilhaftem Rechnen bestimmen. Zuerst dividiert man $160$ mit $8$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $24$ und $8$ . Mit $160 : 8=20$ und $24 :8 =3$ folgt für den Quotienten von $184$ und $8$ :

$\begin{array}[t]{rll} 184 : 8&=& 20+3 \\[5pt] &=& 23 \\[5pt] \end{array}$

Somit lautet das Ergebnis $23.$

$\blacktriangleright$ Ergebnis bestimmen

Der siebte Teil von $49$ beschreibt den Quotient von $49$ und $7.$ Hierbei folgt

$\begin{array}[t]{rll} 49 : 7&=& 7 \\[5pt] \end{array}$

Anschließend kann man das Produkt von $12$ und $7$ mit vorteilhaftem Rechnen bestimmen. Zuerst multipliziert man $10$ mit $7$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $2$ und $7$ . Mit $10 \cdot 7=70$ und $2 \cdot 7 =14$ folgt für das Produkt von $12$ und $7$ :

$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot 7&=& 70 +14 \\[5pt] &=& 84 \\[5pt] \end{array}$

Somit lautet das Ergebnis $84.$

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Zahlenreihe fortsetzen

Du sollst die Zahlenreihe um vier weitere Zahlen fortsetzen. Die ersten Zahlen sind mit $1$ , $2$ , $4$ , $8$ und $16$ gegeben. Hierbei gilt:

$1 \cdot 2=2$ , $2 \cdot 2=4$ , $4 \cdot 2=8$ und $8 \cdot 2=16.$

In jedem Schritt wird die vorherige Zahl mit $2$ multipliziert. Es folgt:

$16 \cdot 2=32$ , $32 \cdot 2=64$ , $64 \cdot 2=128$ und $128 \cdot 2=256.$

Damit lautet die weitergeführte Zahlenreihe $1; \,2; \, 4; \,8;\, 16;\, 32;\, 64; \, 128; \, 256.$

$\blacktriangleright$ Zahlenreihe fortsetzen

Du sollst die Zahlenreihe um vier weitere Zahlen fortsetzen. Die ersten Zahlen sind mit $3$ , $12$ , $6$ , $24$ und $12$ gegeben. Hierbei gilt:

$3 \cdot 4=12$ , $12 : 2=6$ , $6 \cdot 4=24$ und $24 : 2=12.$

Es wird abwechselnd mit $4$ multipliziert und dann durch $2$ dividiert. Es folgt:

$12 \cdot 4=48$ , $48 : 2=24$ , $24 \cdot 4=96$ und $96 : 2=48.$

Damit lautet die weitergeführte Zahlenreihe $3; \,12; \, 6; \,24;\, 12;\, 48;\, 24; \, 96; \, 48.$

$\blacktriangleright$ Zahlenreihe fortsetzen

Du sollst die Zahlenreihe um vier weitere Zahlen fortsetzen. Die ersten Zahlen sind mit $48$ , $96$ , $24$ , $48$ und $12$ gegeben. Hierbei gilt:

$48 \cdot 2=96$ , $96 : 4=24$ , $24 \cdot 2=48$ und $48 : 4=12.$

Es wird abwechselnd mit $2$ multipliziert und anschließend durch $4$ dividiert. Es folgt:

$12 \cdot 2=24$ , $24 : 4=6$ , $6 \cdot 2=12$ und $12 : 4=3.$

Damit lautet die weitergeführte Zahlenreihe $48; \,96; \, 24; \,48;\, 12;\, 24;\, 6; \, 12; \, 3.$

$\blacktriangleright$ Zahlenreihe fortsetzen

Du sollst die Zahlenreihe um vier weitere Zahlen fortsetzen. Die ersten Zahlen sind mit $1$ , $9$ , $3$ , $27$ und $9$ gegeben. Hierbei gilt:

$1 \cdot 9=9$ , $9 : 3=3$ , $3 \cdot 9=27$ und $27 : 3=9.$

Es wird abwechselnd mit $9$ multipliziert und anschließend durch $3$ dividiert. Es folgt:

$9 \cdot 9=81$ , $81 : 3=27$ , $27 \cdot 9=243$ und $243 : 3=81.$

Damit lautet die weitergeführte Zahlenreihe $1; \,9; \, 3; \,27;\, 9;\, 81;\, 27; \, 243; \, 81.$

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$3$	$\cdot$	$4$	$=$	$12$
1. Faktor		2. Faktor		Berechnetes Produkt