Flächeninhalt und Umfang

Der Umfang U beschreibt die Länge der Begrenzungslinie einer Fläche.
Der Umfang eines Vielecks berechnet sich als Summe aller Seitenlängen.

Der Flächeninhalt A beschreibt die Größe einer Fläche.
Je nach Form der Fläche wird er unterschiedlich berechnet.

Diagramm mit den Begriffen Flächeninhalt und Umfang, dargestellt in einem grünen Rechteck.

Abb. 1

Wichtig: Flächen können den selben Flächeninhalt, aber einen unterschiedlichen Umfang besitzen.

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Einführungsaufgabe

Vergleiche die Formenpaare. Haben sie den selben Flächeninhalt?

Blaues Quadrat und grünes Haus auf einem karierten Hintergrund.

Abb. 1: Formenpaar 1

Zwei geometrische Figuren, eine grüne und eine blaue, auf einem karierten Hintergrund.

Abb. 2: Formenpaar 2

Zwei geometrische Formen in grün und blau auf einem karierten Hintergrund.

Abb. 3 : Formenpaar 3

Aufgabe 1

Paul hat einen Teich im Garten. Um das Einfrieren zu verhindern, muss dieser im Winter mit einer Abdeckplane geschützt werden.

Leider ist diese Abdeckplane letztes Jahr kaputt gegangen und Paul musste eine neue Abdeckplane im Baumarkt kaufen. Jedoch entsprechen die Maße nicht genau den Maßen des Teiches.

Wie kann Paul dieses Problem lösen?

Schematische Darstellung eines Teichs mit den Maßen 7m x 10m und einer Abdeckplane von 14m x 5m.

Abb. 4: Skizze Abdeckplane und Teich

Aufgabe 2

Marie will in ihrem Bad neue Kacheln anbringen. Dafür möchte sie gerne besonders große Kacheln verwenden.

Welche der folgenden drei Kacheln hat den größten Flächeninhalt?

Diagramm mit drei farbigen Rechtecken auf einem Gitter. Rechtecke sind grün, blau und orange.

Abb. 5 : die verschiedenen Kacheln

Aufgabe 3

Leonie und Nico haben die Aufgabe, den Schulgarten einzuzäunen.
Leonie ist für das Gemüsebeet und Nico für den Kräutergarten zuständig.

Schema eines Gartens mit Gemüsebeet und Kräutergarten, dargestellt auf einem Gitter.

Abb. 6: Skizze der beiden Beete

Ihre Lehrerin hat ihnen verraten, dass beide Beete den gleichen Flächeninhalt besitzen.

Leon meint:
„Es reicht, wenn wir den Umfang von einem der beiden Beete abmessen. Da beide den gleichen Flächeninhalt besitzen, haben sie auch den gleichen Umfang. “

Hat Nico recht?

Aufgabe 4

Max möchte sein Zimmer neu streichen. Um das ganze etwas abwechslungsreicher zu gestalten, möchte er ein Rechteck sowie ein Dreieck an die Wand malen.

Ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck mit ihren Maßen in Zentimetern dargestellt.

Abb. 7: Skizze der Formen

Braucht er für beide Figuren gleich viel Farbe?

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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Formenpaar $\boldsymbol{1}$ vergleichen

Schneidet man von der zweiten Form das obere Dreieck ab, passt es genau in die untere Lücke. So ergibt es genau den gleichen Flächeninhalt wie bei dem ersten Rechteck.

Grafische Darstellung eines Quadrats und eines Hauses auf einem Gitterhintergrund.

Abb. 1

Die beiden Formen haben den gleichen Flächeninhalt.

$\blacktriangleright$ Formenpaar $\boldsymbol{2}$ vergleichen

Die erste Form hat einen viel größeren Flächeninhalt, denn zusätzlich zur rechteckigen Grundform hat es noch oben ein Dreieck. Dieses Dreieck fehlt der zweiten Form zusätzlich zur Grundform.

Die beiden Formen haben nicht den selben Flächeninhalt.

$\blacktriangleright$ Formenpaar $\boldsymbol{3}$ vergleichen

Um diese beiden Flächeninhalte zu vergleichen, kannst du die Kästchen zählen, die sich innerhalb der Form befinden.
Die erste Form umschließt $26$ Kästchen und die zweite Form $19$ Kästchen.
Die erste Form hat somit den größeren Flächeninhalt.

Die beiden Formen haben nicht den selben Flächeninhalt.

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Teich abdecken

Die Abdeckplane ist leider nicht lang genug, um den kompletten Teich abzudecken.
Jedoch ist sie doppelt so breit. Daher hat Paul die Möglichkeit, die Plane in der Mitte durchzuschneiden. Nun hat er $2$ Teile, die jeweils $7\text{ m}$ breit und $5\text{ m}$ hoch sind. Legt er diese übereinander, hat er insgesamt eine Höhe von $10\text{ m}$ und eine Breite von $7\text{ m}$ .

Nun kann der ganze Teich mit dieser Plane abgedeckt werden, da die Maße übereinstimmen.

Schematische Darstellung eines Teichs mit den Maßen 7m x 10m und einer angrenzenden rechteckigen Fläche.

Abb. 2

Anmerkung :
Bei dieser Aufgabe wird auch noch einmal deutlich:
Flächen, die den selben Flächeninhalt haben, haben nicht immer den gleichen Umfang.

Zu Beginn hat die Plane den Umfang $14\text{ m}+5\text{ m}+14\text{ m}+5\text{ m}=38\text{ m}$

Nach dem Zerschneiden besitzt sie den Umfang $10\text{ m}+7\text{ m}+10\text{ m}+7\text{ m}=34\text{ m}$

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Größte Kachel bewerten

Vollständige Rechnung anzeigen

Kachel Nummer $1$ besitzt mit $12\text{ Kästchen}$ den größten Flächeninhalt. Somit wird sich Marie für diese Kacheln entscheiden.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Nicos Aussage überprüfen

Um die Aussage von Nico zu überprüfen, nimmst du die Skizze zu Hilfe.
Um den Umfang zu berechnen, addierst du alle Seitenlängen.

Das Gemüsebeet hat somit den Umfang :

$28\text{ Kästchen}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Kräutergarten hat durch seine zusätzliche Ecke mehr als $4$ Seitenlägen. An der Vorgehensweise ändert das jedoch nichts.
Der Kräutergarten hat somit den Umfang:

$30\text{ Kästchen}$

Vollständige Lösung anzeigen

Obwohl beide Beete den gleichen Flächeninhalt besitzen, hat der Kräutergarten einen größeren Umfang.
Nicos Behauptung ist somit falsch und die beiden können sich keine Arbeit sparen, indem sie nur den Umfang eines Beetes berechnen.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Beide Formen vergleichen

Beide Formen lassen sich jeweils zu einem Quadrat ergänzen, indem du die gleiche Form nocheinmal hinzufügst.

Grafik mit zwei geometrischen Figuren: ein grünes Rechteck und ein blauer Dreieck, beide mit 40 cm Seitenlängen.

Abb. 3: Formen zum Quadrat ergänzt

Beide Quadrate sind gleich groß und haben somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Quadrate jeweils den doppelten Flächeninhalt der jeweiligen Form besitzen, haben auch die beiden Formen den gleichen Flächeninhalt und Max benötigt für beide gleich viel Farbe.

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