Volumen

Das Volumen V beschreibt den räumlichen Inhalt eines Körpers.

Volumen = Länge $\cdot$ Höhe $\cdot$ Breite.

Körper, die man in dieselben Teilkörper zerlegen kann, haben dasselbe Volumen.

Grüne geometrische Formen: ein Quader und ein Pyramidenschnitt.

Abb. 1: Körper mit demselben Volumen

Volumeneinheiten am Beispiel eines Würfels

Tabelle anzeigen

$\text{Kantenlänge}$	$\text{Volumen}$	$\text{Namen}$
$1\text{ mm}$	$1\text{ cm}^3$	$\text{Kubikmilimeter}$
$1\text{ cm}$	$1\text{ cm}^3 [1 \text{ml}]$	$\text{Kubikcentimeter}$
$1\text{ dm}$	$1\text{ cm}^3$	$\text{Kubikdezimeter}$
$1\text{ m}$	$1\text{ cm}^3$	$\text{Kubikmeter}$

Volumeneinheiten umrechnen

Mathematische Gleichungen zur Umrechnung von Volumeneinheiten.

Abb. 2

Volumen vergleichen

Die Volumina von Gefäßen lassen sich durch Umfüllen vergleichen.

Die Volumina von Festkörpern lassen sich durch ihre Wasserverdrängung vergleichen.
Das Volumen eines Festkörpers entspricht, legt man ihn in ein Gefäß mit Wasser, der verdrängten Wassermenge.
Legt man zwei Festkörper nun in zwei gleichgroße, mit gleich viel Wasser befüllte, Gefäße, so hat derjenige Festkörper das größere Volumen, bei dessen Gefäß der Wasserspiegel am Ende höher ist.

Bildnachweise [nach oben]

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Einführungsaufgabe

Betrachte die folgenden Körper genau. Besitzen sie das selbe Volumen?
Begründe.

Zwei 3D-Quader auf einem Gitterhintergrund, mit Zahlen zur Kennzeichnung.

Abb. 1: Körperpaar 1

Wichtig: $1$ diagonales Kästchen nach hinten entspricht $2$ Kästchen in die Breite.

Grafische Darstellung von zwei geometrischen Formen auf einem Gitterhintergrund.

Abb. 2: Körperpaar 2

Diagramm mit geometrischen Formen und Gitterlinien. Oben eine Kurve, unten ein Quader.

Abb. 3: Körperpaar 3

Aufgabe 1

Ein Logistikunternehmen hat den Auftrag $142$ Kisten von München nach Köln zu transportieren.
In einen Lkw passen nebeneinander $3$ Kisten , $2$ übereinander und $5$ hintereinander.
Wie viele Lkws benötigt das Trasnportunternehmen mindestens.

Aufgabe 2

Hannah zieht um und muss ihre Bücher in einem Umzugskarton verstauen.

Sie weiß, dass jeweils $3$ Bücher hinereinander und $6$ Bücher nebeneinander in den Umzugskarton passen.
Das ganze kann sie $3$ Bücher hoch stapeln.

Wie groß ist das Volumen der Kiste in Büchern?

Aufgabe 3

Gib das Volumen der folgenden Körper an.
Gehe davon aus, dass die Seitenlänge eines Kästchens $1 \text{ cm}$ entspricht.

Grafische Darstellung eines geometrischen Objekts auf einem Gitterhintergrund.

Abb. 4: Körper 1

Grafische Darstellung eines geometrischen Objekts mit Gitterlinien.

Abb. 5: Körper 2

Grafische Darstellung eines Hauses mit Gitterhintergrund.

Abb. 6: Körper 3

Aufgabe 4

Betrachte den folgenden Körper. Jeder Würfel hat die Kantenlänge $1\text{ cm}$ .

Grafische Darstellung von geometrischen Formen in verschiedenen Grau- und Weißtönen.

Abb. 7: Würfelbauwerk

Bestimme das Volumen des Körpers.

Wie viele weitere Würfel sind nötig, um den Körper zum kleinstmöglichen Quader zu ergänzen? Bestimme sein Volumen.

Aufgabe 5

Gib folgende Angaben in die in Klammern angegebene Einheit an.

$7 \text{ dm}^3$ [ $\text{ cm}^3$ ]

$22 \text{ dm}^3$ [ $\text{ cm}^3$ ]

$25 \text{ m}^3$ [ $\text{ dm}^3$ ]

$400 \text{ cm}^3$ [ $\text{ dm}^3$ ]

$5.000 \text{ mm}^3$ [ $\text{ cm}^3$ ]

$33 \text{ cm}^3$ [ $\text{ dm}^3$ ]

$1.111 \text{ mm}^3$ [ $\text{ cm}^3$ ]

$456 \text{ m}^3$ [ $\text{ dm}^3$ ]

Aufgabe 6

Gib folgende Angaben in der in Klammern angegebenen Einheit an.

$25\text{ cm}^3 [\text{ml}]$

$62\text{ dm}^3 [\text{l}]$

$4\text{ cm}^3 [\text{ml}]$

$0,2\text{ m}^3 [\text{l}]$

$4.500\text{ mm}^3 [\text{ml}]$

$3,55\text{ dm}^3 [\text{ml}]$

Aufgabe 7

Folgende Volumenangaben wurden gerundet.
Gib jeweils den größten und kleinsten Wert an, der möglich gewesen wäre.

Gerundet auf Einer mit einer Nachkommastelle.

$80\text{ ml}$

$5\text{ l}$

$77\text{ cm}^3$

$844\text{ m}^3$

Gerundet auf Zehner ohne Nachkommastelle.

$150 \text{ ml}$

$30 \text{ l}$

$270 \text{ dm}^3$

$90 \text{ cm}^3$

Bildnachweise [nach oben]

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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Körper vergleichen

Die beiden Körper haben genau die gleiche Breite, somit kannst du sie gut vergleichen.

Teilt man den $\text{Körper } 1$ in der Mitte, so hat er genau die selbe Höhe wie $\text{Körper } 2$ .
Setzt man nun dieses Teil rechts neben $\text{Körper } 1$ , so ergibt es $\text{Körper } 2$ .

Schematische Darstellung von 3D-Objekten in einem Koordinatensystem mit Bewegungsanweisungen.

Abb. 1: Körperpaar 1

Die beiden Körper bestehen also aus den selben Teilkörpern und haben somit auch das selbe Volumen.

$\blacktriangleright$ Körper vergleichen

Die beiden Körper vergleichst du am besten, indem du das Volumen berechnest.

$\text{Körper } 1$ hat somit das Volumen : $3\cdot 4\cdot 6=72 \text{ [Kästchen}$ $^3$ $\text{]}$

$\text{Körper } 2$ ist ein halber Quader und hat das Volumen : $0,5 \cdot 10\cdot 4\cdot 2=40 \text{ [Kästchen}$ $^3$ $\text{]}$

Die beiden Körper haben nicht das selbe Volumen.

$\blacktriangleright$ Körper vergleichen

Die beiden Körper haben genau die gleiche Breite, somit kannst du sie gut vergleichen.

$\text{Körper } 1$ kann in $3$ Teilkörper unterteilt werden.
Schneidet man das $2.$ Dreieck ab und fügt es umgekehrt links an, so lässt sich $\text{Körper } 1$ zu einem Quader ergänzen mit der Länge $4$ Kästchen und der Höhe $3$ Kästchen.

Diagramm mit geometrischen Formen und Linien auf einem Gitter, dargestellt in zwei Abschnitten.

Abb. 2: Körperpaar 2

$\text{Körper } 2$ ist ein Würfel mit der Kantenlänge $4$ Kästchen und hat somit dieselbe Länge und Breite wie der neu zusammengesetzte $\text{Körper } 1$ , jedoch nicht die selbe Höhe.

Die beiden Körper haben nicht das selbe Volumen.

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Benötigte Lkws berechnen

1. Schritt: Volumen eines Lkws berechnen

Insgesamt müssen $142 \text{ Kisten}$ transportiert werden.
Das Volumen eines Lkws beträgt $3 \cdot 2\cdot 5= 30 \text { [Kisten]}$ .

1. Schritt: Benötigte Lkws berechnen

Mit Hilfe einer Tabelle kannst du nun herausfinden, wie viele Lkws mindestens benötigt werden.

Anzahl Lkws	Anzahl Kisten
$1$	$30 \lt 142$
$2$	$60 \lt 142$
$3$	$90 \lt 142$
$4$	$120 \lt 142$
$5$	$150 \gt 142$

Mit Hilfe der Tabelle siehst du, dass das Unternehmen mindestens $5$ Lkws einsetzen muss, um alle Kisten transportieren zu können.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Volumen des Umzugskartons berechnen

Um das Volumen der Umzugskiste zu berechnen, verwendest du die Formel $\text{ Länge } \cdot \text{ Höhe }\cdot \text{ Breite}$ .

$54 \text{ [Bücher]}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Umzugskiste hat ein Volumen von $54$ Büchern.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Volumen Körper $1$ berechnen

$\blacktriangleright$ Volumen des $1.$ Körpers berechnen

Den Körper kannst du in zwei Teilkörper zerlegen, damit es zwei Quader ergibt und somit die Rechnung vereinfacht .

3D-Graph mit einem quaderförmigen Objekt und einer gestrichelten Linie in grün auf schwarzem Hintergrund.

Abb. 3: Körper 1

Vollständige Lösung anzeigen

Der Körper hat eine Volumen von $26\text{ cm}^3$ .

$\blacktriangleright$ Volumen des $2.$ Körpers berechnen

Um das Volumen dieses Körpers zu berechnen, ergänzt du ihn erst mit Hilfe eines Dreiecks zu einem Quader und ziehst anschließend das ergänzte Stück wieder ab.

Diagramm eines Quaders mit einem darauf gezeichneten Prisma in einem Gittermuster.

Abb. 4: Körper 2

Vollständige Lösung anzeigen

Der Körper hat ein Volumen von $104\text{ cm}^3$ .

$\blacktriangleright$ Volumen des $3.$ Körpers berechnen

Auch dieser Körper kann in zwei Teilkörper geteilt werden, damit ein Quader und ein halbierter Quader entstehen.

Diagramm eines Hauses mit Gitterlinien und einer grünen gestrichelten Linie.

Abb. 5: Körper 3

Vollständige Lösung anzeigen

Der Körper hat ein Volumen von $33\text{ cm}^3$ .

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Volumen des Würfelbauwerks berechnen

Das abgebildete Würfelbauwerk besteht aus $9$ Würfeln.
Jeder Würfel hat das Volumen $1\text{ cm}^3$ , da die Kantenlänge $1\text{ cm}$ entspricht ( $1\text{ cm}\cdot 1\text{ cm}\cdot 1\text{ cm}$ ).

Somit hat das gesamte Würfelbauwerk ein Volumen von $9 \text{ cm}^3$ .

$\blacktriangleright$ Kleinsten möglichen Quader berechnen

Das Würfelbauwerk ist an der höchsten Stelle $3$ Würfel hoch.
Somit wird der kleinste Quader auch $3$ Würfel hoch.

Die benötigte Länge entspricht $4$ Würfeln.

Die Breite muss mindestens $4$ Würfeln entsprechen.

Die Gesamtzahl wird wie folgt berechnet:
Länge $\cdot$ Breite $\cdot$ Höhe $= 4\cdot4\cdot3=48$

Der ergänzte Quader besteht somit aus $48$ Würfeln.

Da $9$ Würfel schon vorhanden sind, müssen diese von der Gesamtzahl abgezogen werden.

$48-9=39\text{ [Würfel]}$

Um das Würfelbauwerk zum kleinst möglichen Quader zu ergänzen, werden noch $39$ weitere Würfel benötigt.
Der Quader hat am Ende ein Volumen von $48\text{ cm}^3$ , da er aus $48$ Würfeln besteht.

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Volumen umrechnen

$1 \text{ dm}^3 = 1.000\text{ cm}^3$
$7 \text{ dm}^3 = 7.000\text{ cm}^3$

$22 \text{ dm}^3 = 22.000\text{ cm}^3$

$\blacktriangleright$ Volumen umrechnen

$1 \text{ m}^3 = 1.000\text{ dm}^3$
$25 \text{ m}^3 = 25.000\text{ dm}^3$

$1 \text{ cm}^3 = 0,001 \text{ dm}^3$
$100 \text{ cm}^3 = 0,1 \text{ dm}^3$
$400 \text{ cm}^3 = 0,4\text{ dm}^3$

$\blacktriangleright$ Volumen umrechnen

$1.000 \text{ mm}^3 = 1 \text{ cm}^3$
$5.000 \text{ mm}^3 = 5 \text{ cm}^3$

$1 \text{ cm}^3 = 0,001 \text{ dm}^3$
$10 \text{ cm}^3 = 0,01 \text{ dm}^3$
$33 \text{ cm}^3 = 0,033 \text{ dm}^3$

$\blacktriangleright$ Volumen umrechnen

$1.000 \text{ mm}^3 = 1 \text{ cm}^3$
$1.111 \text{ mm}^3 = 1,111 \text{ cm}^3$

$1 \text{ m}^3 = 1.000 \text{ dm}^3$
$456 \text{ m}^3 = 456.000 \text{ dm}^3$

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Volumen umrechnen

$1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$
$25\text{ cm}^3 = 25\text{ ml}$

$1\text{ dm}^3 = 1\text{ l}$
$62\text{ dm}^3 = 62\text{ l}$

$1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$
$4\text{ cm}^3 = 4\text{ ml}$

$\blacktriangleright$ Volumen umrechnen

$0,1\text{ m}^3 = 100\text{ dm}^3$
$0,2\text{ m}^3 = 200\text{ dm}^3$
$0,1\text{ m}^3 = 100\text{ dm}^3$
$200\text{ dm}^3 = 200\text{ l}$

$1.000\text{ mm}^3 = 1\text{ cm}^3$
$4.500\text{ m}^3 = 4,5\text{ cm}^3$
$1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$
$4,5\text{ cm}^3 = 4,5\text{ ml}$

$1\text{ dm}^3 = 1.000 \text{ cm}^3$
$3,55\text{ dm}^3 = 3.550\text{ cm}^3$
$1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$
$3.550\text{ cm}^3 = 3.550\text{ ml}$

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ kleinst- und größtmögliches Volumen angeben

$80,4\text{ ml}$
$79,5\text{ ml}$

$5,4\text{ l}$
$4,5\text{ l}$

$\blacktriangleright$ kleinst- und größtmögliches Volumen angeben

$77,4\text{ cm}^3$
$76,5\text{ cm}^3$

$844,4\text{ m}^3$
$843,5\text{ m}^3$

$\blacktriangleright$ kleinst- und größtmögliches Volumen angeben

$154\text{ ml}$
$145\text{ ml}$

$34\text{ l}$
$25\text{ l}$

$\blacktriangleright$ kleinst- und größtmögliches Volumen angeben

$274\text{ dm}^3$
$265\text{ dm}^3$

$94\text{ cm}^3$
$85\text{ cm}^3$

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