Lerninhalte in Mathe

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Vierfeldertafel

Definition

Die nebenstehende Tabelle wird als Vierfeldertafel bezeichnet.

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$P(A\cap B)$	$P(\overline{A}\cap B)$	$P(B)$
$\overline{B}$	$P(A\cap \overline{B})$	$P(\overline{A}\cap \overline{B})$	$P(\overline{B})$
	$P(A)$	$P(\overline{A})$	$1$

Um einen Überblick über alle möglichen Ereignisse zu behalten, können dort deren absolute oder relative Häufigkeiten eingetragen werden.

Beispiel

Ein Kino möchte wissen, was der beliebtere Kino-Snack ist: Popcorn oder Nachos?

Dafür schaut sich das Kino-Team die Bestellungen der letzten 500 Kinobesucher*innen genauer an.

Um die Ergebnisse anschaulich darzustellen, verwendet das Team zwei Vierfeldertafeln: Eine mit der absoluten Häufigkeit und die andere mit der relativen.

Dabei gilt:

Popcorn: $A$
Nachos: $B$

Vierfeldertafel mit absoluter Häufigkeit

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$54$	$191$	$245$
$\overline{B}$	$198$	$57$	$255$
	$252$	$248$	$500$

Interpretation der Ergebnisse

Für ihren Kinobesuch kauften sich

54 Personen Popcorn und Nachos
57 Personen weder Popcorn noch Nachos

198 Personen nur Popcorn
191 Personen nur Nachos

252 Personen Popcorn
248 Personen kein Popcorn

245 Personen Nachos
255 Personen keine Nachos

Vierfeldertafel mit relativer Häufigkeit

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$\dfrac{54}{500}=0,108$	$\dfrac{191}{500}=0,382$	$\dfrac{245}{500}=0,49$
$\overline{B}$	$\dfrac{198}{500}=0,396$	$\dfrac{57}{500}=0,114$	$\dfrac{255}{500}=0,51$
	$\dfrac{252}{500}=0,504$	$\dfrac{248}{500}=0,496$	$1$

Interpretation der Ergebnisse

Für ihren Kinobesuch kauften sich

$10,8\,\%$ der Personen Popcorn und Nachos
$11,4\,\%$ der Personen weder Popcorn noch Nachos

$39,6\,\%$ der Personen nur Popcorn
$38,2\,\%$ der Personen nur Nachos

$50,4\,\%$ der Personen Popcorn
$49,6\,\%$ der Personen kein Popcorn

$49\,\%$ der Personen Nachos
$51\,\%$ der Personen keine Nachos

Hinweis

Ist eine Vierfeldertafel nicht vollständig, können die fehlenden Häufigkeiten aus den anderen Häufigkeiten berechnet werden.

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$43$	$12$
$\overline{B}$		$57$	$301$
	$287$		$356$

Beispiel

Rechnung 1

$287-43=\color{#0096c8}{244}$

Rechnung 2

$43+12=\color{#fa7d19}{55}$

Rechnung 3

$12+57=\color{#663E86}{69}$

Daraus ergibt sich die vollständige Vierfeldertafel:

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$43$	$12$	$\color{#fa7d19}{55}$
$\overline{B}$	$\color{#0096c8}{244}$	$57$	$301$
	$287$	$\color{#663E86}{69}$	$356$

1

Vervollständige die Vierfeldertafel.

a)

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$101$		$102$
$\overline{B}$			$99$
	$165$		$201$

b)

	$C$	$\overline{C}$
$D$		$0,06$
$\overline{D}$	$0,34$		$0,43$
			$1$

2

Die Sport-AG veranstaltet eine Mountainbike-Tour.

372 Schüler*innen und Lehrer*innen haben sich für die Tour angemeldet. Alle Teilnehmer*innen benötigen jeweils ein Mountainbike und einen Helm.

Für alle, die kein eigenes Mountainbike und/oder keinen eigenen Helm besitzen, stellt die Sport-AG Leihgeräte zur Verfügung.

Bisher sind der Sport-AG folgende Informationen bekannt:

72 Teilnehmer*innen haben ein Mountainbike, aber keinen Helm.
111 Teilnehmer*innen haben ein Mountainbike und einen Helm.
291 Teilnehmer*innen haben einen Helm.

Wie viele Mountainbikes und Helme muss die Sport-AG zum Leihen zur Verfügung stellen?

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1

a)

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$101$	$1$	$102$
$\overline{B}$	$64$	$35$	$99$
	$165$	$36$	$201$

Rechnung 1

$165-101=64$

Rechnung 2

$102-101=1$

Rechnung 3

$99-64=35$

Rechnung 4

$201-165=36$

b)

	$C$	$\overline{C}$
$D$	$0,51$	$0,06$	$0,57$
$\overline{D}$	$0,34$	$0,09$	$0,43$
	$0,85$	$0,15$	$1$

Rechnung für $P(\overline{C}\cap \overline{D})$

$0,43-0,34=0,09$

Rechnung für $P(D)$

$1-0,43=0,57$

Rechnung für $P(C\cap D)$

$0,57-0,06=0,51$

Rechnung für $P(C)$

$0,51+0,34=0,85$

Rechnung für $P(\overline{C})$

$1-0,85=0,15$

2

1. Schritt: Gegebene Informationen in eine Vierfeldertafel eintragen

	$M$	$\overline{M}$
$H$	$111$		$291$
$\overline{H}$	$72$
			$372$

2. Schritt: Häufigkeit für „Keine Helme“ berechnen und eintragen

$372-291=\color{#2D6EC8}{81}$

	$M$	$\overline{M}$
$H$	$111$		$291$
$\overline{H}$	$72$		$\color{#2D6EC8}{81}$
			$372$

3. Schritt: Weitere Häufigkeiten berechnen und eintragen

„Mountainbike“

$111+72=\color{#fa7d19}{183}$

„Kein Mountainbike“

$372-183=\color{#663E86}{189}$

	$M$	$\overline{M}$
$H$	$111$		$291$
$\overline{H}$	$72$		$81$
	$\color{#fa7d19}{183}$	$\color{#663E86}{189}$	$372$

Somit muss die Sport-AG 189 Mountainbikes und 81 Helme zur Verfügung stellen.

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