Erwartungswert

Mit dem nebenstehenden Glücksrad wurde bereits in dem Thema Wahrscheinlichkeitsverteilung angeschaut, wie man die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Gewinne bestimmt.

gluecksrad zufallsgroesse gymnasium klasse 9

Nun geht es darum, wie hoch der durchschnittliche Gewinn pro Spiel auf lange Sicht ist. Dies wird mit dem Erwartungswert berechnet.

Für den Erwartungswert werden alle möglichen Gewinne mit ihren Wahrscheinlichkeiten multipliziert und anschließend die Produkte addiert.

Definition

Der Erwartungswert $E(X)$ einer Zufallsgröße X gibt an, welcher Wert für $X$ durchschnittlich auf lange Sicht zu erwarten ist.

Die Formel zur Berechnung lautet:

Formel anzeigen

In der Tabelle mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung sind alle Gewinne und die dazugehörige Wahrscheinlichkeit unseres Beispiels zu finden (Die Werte wurden in dem Thema Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet):

Tabelle anzeigen

Gewinn $\color{#ffffff}{x_i}$	$-1$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Wahrscheinlichkeit $\color{#ffffff}{P(X=x_i)}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{9}$	$\dfrac{1}{9}$	$\dfrac{1}{36}$

Damit kann nun leicht der Erwartungswert berechnet werden:

Rechenweg anzeigen

$E(X) \approx 1,33$

Somit gilt für dieses Glücksspiel:

Als Spieler*in macht man durchschnittlich pro Spiel $1,33\,€$ Gewinn auf lange Sicht.
Als Betreiber*in macht man durchschnittlich pro Spiel $1,33\,€$ Verlust auf lange Sicht.

Liegt der Erwartungswert bei $E(X)=0$ handelt es sich um ein faires Spiel, denn auf lange Sicht macht man sowohl als Spieler*in als auch als Betreiber*in durchschnittlich $0\,€$ pro Spiel.

Vorgehensweise beim Berechnen des Erwartungswertes

Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ aufstellen.
Jeden Wert $x_i$ mit seiner Wahrscheinlichkeit $P(X=x_i)$ multiplizieren und die Produkte addieren.

Die Zufallsgröße $X$ gibt den Gewinn eines Glücksspiels in $€$ an.

Hierzu ist folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Sicht des Spielers gegeben.

Gewinn $\color{#ffffff}{x_i}$	$-1$	$0$	$1$	$3$
Wahrscheinlichkeit $\color{#ffffff}{P(X=x_i)}$	$\dfrac{2}{10}$	$\dfrac{5}{10}$	$\dfrac{2}{10}$	$\dfrac{1}{10}$

Berechne den Erwartungswert.

Interpretiere das Ergebnis aus Sicht des Spielers und aus Sicht des Betreibers.

Wie müsste der Wert $x_3$ verändert werden, damit das Spiel fair ist?

Roman ist auf einem Jahrmarkt. Dort gibt es zwei Tombolas:

digitales schulbuch mathe gymnasium klasse 9

Tombola 1

Einsatz $5\,€$
Insgesamt 30 Lose
1x Gewinnlos mit $100\,€$

Tombola 2

Einsatz $10\,€$
Insgesamt 50 Lose
2x Gewinnlose mit $150\,€$

Für welche Tombola sollte sich Roman entscheiden?

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Rechenweg anzeigen

$E(X)=0,30\,€$

Auf lange Sicht macht man als Spieler*in pro Spiel durchschnittlich $0,30\,€$ Gewinn.
Auf lange Sicht macht man als Betreiber*in pro Spiel durchschnittlich $0,30\,€$ Verlust.

Bei einem fairen Spiel gilt: $E(X)=0.$

Rechenweg anzeigen

$x_3 =-0,50\,€$

Damit das Spiel fair ist, muss der Wert $x_3$ auf $-0,50\,€$ gesetzt werden.

Wahrscheinlichkeitsverteilung Tombola 1

Gewinn $\color{#ffffff}{x_i}$	$-5\,€$	$95\,€$
Wahrscheinlichkeit $\color{#ffffff}{P(X=x_i)}$	$\dfrac{29}{30}$	$\dfrac{1}{30}$

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=&x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2) \\[5pt] E(X)&=&-5\,€ \cdot \dfrac{29}{30}+95\,€\cdot \dfrac{1}{30} \\[5pt] E(X)&\approx&-1,67\,€ \end{array}$

Wahrscheinlichkeitsverteilung Tombola 2

Gewinn $\color{#ffffff}{x_i}$	$-10\,€$	$140\,€$
Wahrscheinlichkeit $\color{#ffffff}{P(X=x_i)}$	$\dfrac{48}{50}$	$\dfrac{2}{50}$

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=&x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2) \\[5pt] E(X)&=&-10\,€ \cdot \dfrac{48}{50}+140\,€\cdot \dfrac{2}{50} \\[5pt] E(X)&=&-4,00\,€ \end{array}$

Roman sollte sich für Tombola 1 entscheiden, denn hier ist der Erwartungswert höher als bei Tombola 2.

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