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Lerninhalte in Mathe
Digitales Schulbuch
Inhaltsverzeichnis

Exponentialgleichungen und Logarithmus

Bisher wurden Exponentialfunktionen näher angeschaut.
Beispiel
\(f(x)=3^x\)
Es gibt aber auch sogenannte Exponentialgleichungen.
Beispiel
\(3^x=27\)
Mit den bisher behandelten Methoden ist es noch nicht möglich, Exponentialgleichungen zu lösen. Deswegen wird ein neues Lösungsverfahren benötigt: Der Logarithmus.

Definition

Der Logarithmus \(\boldsymbol{\log_a(b)}\) zur Basis \(\boldsymbol{a}\) ist die Hochzahl, mit der \(a\) potenziert wird, um \(b\) zu erhalten \((a,\,b\gt 0).\)
Für \(x=\log_a(b)\) gilt \(a^x=b.\)
Beachte: Für die Basis \(10\) wird statt \(\log_{10}(b)\) die Abkürzung \(\log(b)\) verwendet.
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Man sagt: x ist der Logarithmus von b zur Basis a.

Beispiel

\(\begin{array}[t]{rll} 3^x&=&27&\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt] x&=&\log_3(27)& \\[5pt] x&=&3 \end{array}\)
Frage zum Lösen: Mit welcher Zahl muss \(3\) potenziert werden, um \(27\) zu erhalten? Die Antwort ist 3, denn: \(3^3=27.\)

Weiteres Beispiel

\(\begin{array}[t]{rll} 10^x&=&10\,000&\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt] x&=&\log(10\,000)& \\[5pt] x&=& 4 \end{array}\)
Frage zum Lösen: Mit welcher Zahl muss \(10\) potenziert werden, um \(10\,000\) zu erhalten? Die Antwort ist 4, denn: \(10^4=10\,000.\)