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Lerninhalte in Mathe
Digitales Schulbuch
Inhaltsverzeichnis

Potenzen mit rationalem Exponent

Auch Wurzeln können als Potenzen geschrieben werden.

Quadratwurzeln

Zu einer Zahl \(a\) mit \(a\geq0\) wird die Zahl \(x\) mit \(x\geq0\) und \(x^2=a\) die Quadratwurzel von \(a\) genannt.

Definition

\(x=\sqrt[2]{a}=a^{\frac{1}{2}}\quad a\geq 0, \quad n=2\)

Beispiel

\(\sqrt{a^6}=a^{\frac{6}{2}}\)
Bei Quadratwurzeln schreibt man das Wurzelzeichen ohne \(n=2.\)

n-te Wurzeln

Zu einer Zahl \(a\) mit \(a\geq0\) wird die Zahl \(x\) mit \(x\geq0\) und \(x^n=a\) die n-te Wurzel von \(a\) genannt.

Definition

\(x=\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\quad a\geq 0, \quad n\gt 0\)

Beispiel

\(\sqrt[5]{a}=a^{\frac{1}{5}}\)

Weitere Definitionen

\(a^{-\frac{1}{n}}=\dfrac{1}{a^{\frac{1}{n}}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a}} \quad a,n\gt0\)
\(a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m} \quad a,n, m\gt0\)
\(a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{\left(\sqrt[n]{a}\right)^m}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}} \quad a,n,m\gt0\)
Für Potenzen mit gebrochenem Exponent gelten die gleichen Rechengesetze wie für Potenzen mit ganzzahligem Exponent.