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Inhaltsverzeichnis

Stochastische Unabhängigkeit

Definition

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn gilt: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).\)
Ansonsten heißen die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch abhängig.

Hinweis

Wenn die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind, dann gilt:
  • \(\overline{A}\) und \(\overline{B}\) sind auch stochastisch unabhängig
  • \(\overline{A}\) und \(B\) sind auch stochastisch unabhängig
  • \(A\) und \(\overline{B}\) sind auch stochastisch unabhängig

Beispiel

Zwei Würfel werden geworfen.
Betrachtet werden folgende Ereignisse:
  • \(A\): Der erste Würfel zeigt die Augenzahl \(6.\)
  • \(B\): Die Augensumme liegt bei \(7.\)
Die beiden Ereignisse werden nun auf stochastische Unabhängigkeit untersucht.
1. \(\boldsymbol{P(A)}\) bestimmen
  • Mögliche Kombinationen: \(A=\{(6;1),\,(6;2),\,(6;3),\,(6;4),\,(6;5),\,(6;6)\}\)
  • Wahrscheinlichkeit: \(P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)
2. \(\boldsymbol{P(B)}\) bestimmen
  • Mögliche Kombinationen: \(B=\{(1;6),\,(2;5),\,(3;4),\,(4;3),\,(5;2),\,(6;1)\}\)
  • Wahrscheinlichkeit: \(P(B)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)
3. \(\boldsymbol{P(A\cap B)}\) bestimmen
Anhand der Mengenschreibweise erkennt man, dass die einzige Überschneidung der beiden Ereignisse das Ereignis \((6;1)\) ist:
  • \(A=\{\color{#0096c8}{(6;1)},\,(6;2),\,(6;3),\,(6;4),\,(6;5),\,(6;6)\}\)
  • \(B=\{(1;6),\,(2;5),\,(3;4),\,(4;3),\,(5;2),\,\color{#0096c8}{(6;1)}\}\)
Daraus folgt: \(P(A\cap B)=\dfrac{1}{36}\)
4. Auf stochastische Unabhängigkeit untersuchen
Da \(P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}=P(A\cap B)\) gilt, sind die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig.