Halbwertszeit und Verdopplungszeit
Möchte man die Geschwindigkeit von Wachstumsprozessen beschreiben gibt es zwei neue Größen, die einem dabei helfen:
mit 
und 
beschrieben werden, haben eine feste Zeitspanne, in der sich der Bestand verdoppelt.
mit und 
beschrieben werden, haben eine feste Zeitspanne, in der sich der Bestand halbiert.
- Verdopplungszeit
- Halbwertszeit
Definition
Wachstumsprozesse, die durch die Exponentialfunktion- Diese Zeitspanne wird Verdopplungszeit
genannt.
- Diese wird mit dem Wachstumsfaktor
berechnet:
bzw.
- Diese Zeitspanne wird Halbwertszeit
genannt.
- Diese wird mit dem Wachstumsfaktor
bzw.
1
Bestimme für den Wachstumsprozess (mit 
in Stunden) zunächst, ob dieser durch eine Verdopplungs- oder eine Halbwertszeit gekennzeichnet ist.
Berechne dann die jeweilige Größe und gib sie in Minuten an.
a)
b)
c)
d)
2
Betrachtet wird der Zerfall eines chemischen Stoffes. Dieser Prozess kann als exponentielles Abnahme beschrieben werden.
Zu Beginn sind noch 
des Stoffes vorhanden. Die Halbwertszeit beträgt 2 Jahre.
a)
Berechne den Wachstumsfaktor.
b)
Stelle einen allgemeinen Funktionsterm von auf, der die exponentielle Abnahme beschreibt.
c)
Nach wie vielen Jahren sind nur noch 
des Stoffes vorhanden?
d)
Wie viel Gramm sind noch nach 11 Jahren vorhanden?
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1
a)
Verdopplungszeit, da 
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^{T_V}&=&2 &\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
T_V&=& \log_a(2) \\[5pt]
T_V&=& \log_4(2) \\[5pt]
T_V&=&0,5 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ff1edc9bdc01f7b2d1d55ed57aba9f57b0df0089ae92c3ddf4f781ea800ed2a9?color=5a5a5a)
Umrechnung in Minuten: 
Nach 30 Minuten hat sich der Bestand verdoppelt.
b)
Halbwertszeit, da 
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^{T_H}&=&\dfrac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
T_H&=& \log_a\left(\dfrac{1}{2}\right) \\[5pt]
T_H&=& \log_{0,5}\left(\dfrac{1}{2}\right) \\[5pt]
T_H&=& 1 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f0bf63ffb1f478b627e3c36a454312539906c970978454170ea23e8464f1f825?color=5a5a5a)
Umrechnung in Minuten: 
Nach einer Stunde bzw. 60 Minuten hat sich der Bestand halbiert.
c)
Halbwertszeit, da
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^{T_H}&=&\dfrac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
T_H&=& \log_a\left(\dfrac{1}{2}\right) \\[5pt]
T_H&=& \log_{0,92}\left(\dfrac{1}{2}\right) \\[5pt]
T_H&\approx&8,3 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/54e6cb45e33088ce4b4c281bb8b41f59add7bda3548b92fbcce0752107a95f0c?color=5a5a5a)
Umrechnung in Minuten: 
Nach 8,3 Stunden bzw. 498 Minuten hat sich der Bestand halbiert.
d)
Verdopplungszeit, da
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^{T_V}&=&2 &\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
T_V&=& \log_a(2) \\[5pt]
T_V&=& \log_{110}(2) \\[5pt]
T_V&\approx&0,15 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b15cdfd4e460ba1e3beb571b82c7b2cb35b7ef150e6366d626b0c0546f6159f2?color=5a5a5a)
Umrechnung in Minuten: 
Nach 0,15 Stunden bzw. 9 Minuten hat sich der Bestand verdoppelt.
2
a)
b)
c)
d)