Lerninhalte in Mathe

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Potenzgleichungen

Potenzgleichungen sind Gleichungen, in denen Potenzen auftauchen.

Diese werden gelöst, indem die n-te Wurzel verwendet wird.

Beispiel

$\begin{array}[t]{rll} x^3&=& 125&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,\,} \\[5pt] x&=&5 \end{array}$

Die verschiedenen Fälle beim Lösen von Potenzgleichungen

Es gilt: $x^n=a\quad (n\in \mathbb{N},x\in \mathbb{R})$

Fall 1	$n$ gerade $a\gt0$	Zwei Lösungen $x_1=\sqrt[n]{a}$ $x_2=-\sqrt[n]{a}$
Fall 2	$n$ gerade $a\lt0$	Keine Lösung
Fall 3	$n$ ungerade $a\gt0$	Eine Lösung $x_1=\sqrt[n]{a}$
Fall 4	$n$ ungerade $a\lt 0$	Eine Lösung $x_1=-\sqrt[n]{\|a\|}$

Beispiel: Fall 1

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& 100&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt] x_1&=& 10 \\[5pt] x_2&=& -10 \\[5pt] \end{array}$

Denn: $10^2=10\cdot 10=100$
und $(-10)^2=-10\cdot (-10)=100$

Beispiel: Fall 2

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& -100 \end{array}$

Diese Gleichung ist nicht lösbar, denn es gibt keine Zahl $x,$ die mit sich selbst multipliziert etwas Negatives ergibt.

Beispiel: Fall 3

$\begin{array}[t]{rll} x^3&=& 64&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,\,}\\[5pt] x&=& 4 \end{array}$

Denn: $4^3=4\cdot 4\cdot 4=64$

Beispiel: Fall 4

$\begin{array}[t]{rll} x^3&=& -64&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,\,}\\[5pt] x&=& -4 \end{array}$

Denn: $(-4)^3=(-4)\cdot (-4)\cdot (-4)=-64$