Zinseszinsen
Sobald man sein Kapital für mehrere Jahre anlegen möchte, benötigt man eine andere Rechnung. Denn dann werden die Zinsen am Ende des ersten Jahres zum Kapital addiert und im nächsten Jahr mitverzinst. Diese Zinsen, die zusätzlich dazu kommen, heißen Zinseszinsen.
Wichtige Bezeichnungen
bzw.
Da sich mit jedem Wachstumsschritt, der Exponent um 1 erhöht, handelt es sich um exponentielles Wachstum.
Beispiel
Tobi hat vor drei Jahren
bei seiner Bank zu einem Zinssatz von 
angelegt.
Mithilfe der obenstehenden Formel lässt sich das Endkapital berechnen, das Tobi nach den drei Jahren besitzt.![\(\begin{array}[t]{rll}
K_n&=&K_0\cdot q^n \\[5pt]
K_3&=&K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n \\[5pt]
K_3&=& 2100\,€ \cdot\left(1+\dfrac{1,1}{100}\right)^3 \\[5pt]
K_3&=& 2170,07\,€
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/361524f007d5dece46170ec25f16e30d702366c2c9f6dc9e1f64940193c51fc8?color=5a5a5a)
ist das Anfangskapital.
ist das Endkapital.
- Die Laufzeit wird in
Jahren angegeben.
steht für den gleichbleibenden Zinssatz.
steht für den Zinsfaktor, um den das Kapital jährlich wächst.
Tobi hat vor drei Jahren
Mithilfe der obenstehenden Formel lässt sich das Endkapital berechnen, das Tobi nach den drei Jahren besitzt.
1
Berechne die fehlenden Angaben.
a)
- Anfangskapital:
- Laufzeit:
Jahre
- Zinsfaktor:
b)
- Anfangskapital:
- Laufzeit:
Jahre
- Zinssatz:
c)
- Laufzeit:
Jahre
- Zinsfaktor:
- Endkapital:
d)
- Laufzeit:
Jahre
- Zinssatz:
- Endkapital:
2
Eine Mutter möchte, dass wenn ihr Sohn Paul 18 Jahre alt ist, er ein Kapital von 
hat. Dazu hat seine Mutter 
Kapital zum Anlegen.
Die Mutter macht sich auf die Suche nach einer passenden Bank.
ab und schenkt sie Paul.
Statt das Geld auszugeben, entscheidet sich Paul dazu, das Geld für weitere zwei Jahre anzulegen. Dazu hat sich Paul das Angebot von zwei Banken eingeholt:
a)
Wie hoch sollte der Zinssatz der Bank sein?
An Pauls 18. Geburtstag hebt seine Mutter die Statt das Geld auszugeben, entscheidet sich Paul dazu, das Geld für weitere zwei Jahre anzulegen. Dazu hat sich Paul das Angebot von zwei Banken eingeholt:
Bank 1
- Zinssatz
Bank 2
- Endkapital
b)
Für welche Bank sollte sich Paul entscheiden?
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1
a)
Fehlende Angabe: Endkapital
![\(\begin{array}[t]{rll}
K_n&=& K_0\cdot q^n \\[5pt]
K_7&=& 10000\,€\cdot 1,012^7 \\[5pt]
K_7&=& 10870,85\,€
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/214b634627c15d415cb57e8d6a421f87cd9664953392095c03193b7b552ee303?color=5a5a5a)
b)
Fehlende Angabe: Endkapital
![\(\begin{array}[t]{rll}
K_n&=& K_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^{n} \\[5pt]
K_{20}&=& 5680\,€\cdot \left(1+\dfrac{0,75}{100}\right)^{20} \\[5pt]
K_{20}&=& 6595,53\,€
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/043383bf6e1c8f801979c72a081abf661b70369804494b50452c4a2610627adc?color=5a5a5a)
c)
Fehlende Angabe: Anfangskapital
![\(\begin{array}[t]{rll}
K_n&=& K_0\cdot q^n &\quad \scriptsize \mid\; : q^n\\[5pt]
K_0&=& \dfrac{K_n}{q^n} \\[5pt]
K_0&=& \dfrac{13974\,€}{1,021^{16}} \\[5pt]
K_0&=& 10020,95\,€ \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2e47096ad8e83f3d9de5386abe601e5f3674a7f1536d751d2e47cc252fe2a715?color=5a5a5a)
d)
Fehlende Angabe: Anfangskapital
![\(\begin{array}[t]{rll}
K_n&=& K_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^{n} &\quad \scriptsize \mid\; : \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^{n} \\[5pt]
K_0&=& \dfrac{K_n}{\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^{n}} \\[5pt]
K_0&=& \dfrac{307100\,€}{\left(1+\dfrac{2,99}{100}\right)^{8}} \\[5pt]
K_0&=& 242615,95\,€ \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/121ce7a3be1ca4de31ee0bc4ca570b0618bcaa681b09a79e7c12d03f44b16b92?color=5a5a5a)
2
a)
b)
1. Schritt: Endkapital berechnen, das Paul mit Bank 1 nach zwei Jahren besitzt
![\(\begin{array}[t]{rll}
K_n&=& K_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n \\[5pt]
K_2&=& 3500\,€ \cdot \left(1+\dfrac{1,25}{100}\right)^2 \\[5pt]
K_2&=& 3588,05\,€ \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/70eeec7537cf1031e16faf681d26d9070c0b8b17c47573bf2335a7f46c1481cd?color=5a5a5a)
2. Schritt: Vergleichen
Bank 1 garantiert Paul ein Endkapital von 
, bei Bank 2 wird ihm ein Endkapital von 
garantiert.
Paul sollte sich für Bank 2 entscheiden.
Paul sollte sich für Bank 2 entscheiden.