Allgemeines Dreieck

Um Berechnungen im allgemeinen Dreieck durchzuführen, wird das Dreieck in rechtwinklige Teildreiecke unterteilt.

Beispiel

Im Dreieck $ABC$ sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben:

$a=15,2\,\text{cm},$ $b=17,8\,\text{cm}$ und $\alpha=52^\circ$

Gesucht ist die Länge von $c$ und die Größe von $\beta.$

Dazu wird das Dreieck $ABC$ durch $h_c$ in zwei Teildreiecke unterteilt.

Realschule Baden-Württemberg Digitales Schulbuch allgemeines Dreieck

Größe von $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

1. Schritt: Länge von $h_c$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{h_c}{b}\quad \scriptsize \mid\;\cdot b \\[5pt] \sin(\alpha)\cdot b&=&h_c\\[5pt] h_c&=&\sin(\alpha)\cdot b\\[5pt] &=&\sin(52^\circ)\cdot 17,8\,\text{cm}\\[5pt] h_c&=&14\,\text{cm} \end{array}$

2. Schritt: Größe von $\beta$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=&\dfrac{h_c}{a} \\[5pt] &=&\dfrac{14\,\text{cm}}{15,2\,\text{cm}} \\[5pt] \sin(\beta)&=&0,9 \\[5pt] \beta&=&64,2^\circ \end{array}$

Länge von $\boldsymbol{c}$ berechnen

1. Schritt: Länge von $\overline{AD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} (\overline{AD})^2+h_c^2&=&b^2\quad \scriptsize \mid\;-h_c^2 \\[5pt] (\overline{AD})^2&=&b^2-h_c^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \overline{AD}&=&\sqrt{b^2-h_c^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(17,8\,\text{cm})^2-(14\,\text{cm})^2}\\[5pt] \overline{AD}&=&11\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge von $\overline{DB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} (\overline{DB})^2+h_c^2&=&a^2\quad \scriptsize \mid\;-h_c^2 \\[5pt] (\overline{DB})^2&=&a^2-h_c^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \overline{DB}&=&\sqrt{a^2-h_c^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(15,2\,\text{cm})^2-(14\,\text{cm})^2}\\[5pt] \overline{DB}&=&5,9\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Länge von $c$ berechnen

$c=\overline{AD}+\overline{DB}$

$c=11\,\text{cm}+5,9\,\text{cm}=16,9\,\text{cm}$

Größe von $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

$\alpha=180^\circ-48^\circ-63^\circ=69^\circ$

Länge von $\boldsymbol{b}$ berechnen

1. Schritt: Länge von $h_c$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(48^\circ)&=&\frac{h_c}{8,2\,\text{cm}} \, \scriptsize \mid\;\cdot 8,2\,\text{cm} \\[5pt] \sin(48^\circ)\cdot 8,2\,\text{cm}&=&h_c\\[5pt] h_c&=&6,1\,\text{cm} \end{array}$

2. Schritt: Länge von $b$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\frac{h_c}{b} \\[5pt] \sin(69^\circ)&=&\frac{6,1\,\text{cm}}{b}\, \scriptsize \mid\;\cdot b \\[5pt] \sin(69^\circ)\cdot b&=&6,1\,\text{cm}\, \scriptsize \mid\;:\sin(69^\circ)\\[5pt] b&=&\frac{6,1\,\text{cm}}{\sin(69^\circ)}\\[5pt] b&=&6,5\,\text{cm} \end{array}$

Länge von $\boldsymbol{c}$ berechnen

1. Schritt: Länge von $\overline{AD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}^2+h_c^2&=&b^2 \, \scriptsize \mid\;-h_c^2 \\[5pt] \overline{AD}^2&=&b^2-h_c^2 \, \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}&=&\sqrt{b^2-h_c^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(6,5\,\text{cm})^2-(6,1\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{AD}&=&2,2\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge von $\overline{DB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DB}^2+h_c^2&=&(8,2\,\text{cm})^2 \, \scriptsize \mid\;-h_c^2 \\[5pt] \overline{DB}^2&=&(8,2\,\text{cm})^2-h_c^2 \, \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \overline{DB}&=&\sqrt{(8,2\,\text{cm})^2-h_c^2} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DB}&=&\sqrt{(8,2\,\text{cm})^2-(6,1\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{DB}&=&5,5\,\text{cm} \end{array}$

3. Schritt: Länge von $c$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} c&=&\overline{AD}+\overline{DB}\\[5pt] &=&2,2\,\text{cm}+5,5\,\text{cm}\\[5pt] c&=&7,7\,\text{cm} \end{array}$

Größe von $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

$\alpha=180^\circ-62,8^\circ-70^\circ=47,2^\circ$

Länge von $\boldsymbol{c}$ berechnen

1. Schritt: Länge von $h_b$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(62,8^\circ)&=&\frac{h_b}{7,1\,\text{cm}} \, \scriptsize \mid\;\cdot 7,1\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sin(62,8^\circ)\cdot 7,1\,\text{cm}&=&h_b\\[5pt] h_b&=&6,3\,\text{cm} \end{array}$

2. Schritt: Länge von $c$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\frac{h_b}{c} \\[5pt] \sin(47,2^\circ)&=&\frac{6,3\,\text{cm}}{c}\, \scriptsize \mid\;\cdot c \\[5pt] \sin(47,2^\circ)\cdot c&=&6,3\,\text{cm}\, \scriptsize \mid\;:\sin(47,2^\circ)\\[5pt] c&=&\frac{6,3\,\text{cm}}{\sin(47,2^\circ)}\\[5pt] c&=&8,6\,\text{cm} \end{array}$

Länge von $\boldsymbol{b}$ berechnen

1. Schritt: Länge von $\overline{AD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}^2+h_b^2&=&c^2 \, \scriptsize \mid\;-h_b^2 \\[5pt] \overline{AD}^2&=&c^2-h_b^2 \, \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}&=&\sqrt{c^2-h_b^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(8,6\,\text{cm})^2-(6,3\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{AD}&=&5,9\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge von $\overline{CD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}^2+h_b^2&=&(7,1\,\text{cm})^2 \, \scriptsize \mid\;-h_b^2 \\[5pt] \overline{CD}^2&=&(7,1\,\text{cm})^2-h_b^2 \, \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \overline{CD}&=&\sqrt{(7,1\,\text{cm})^2-h_b^2} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=&\sqrt{(7,1\,\text{cm})^2-(6,3\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{CD}&=&3,3\,\text{cm} \end{array}$

3. Schritt: Länge von $b$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} b&=&\overline{AD}+\overline{CD}\\[5pt] &=&5,9\,\text{cm}+3,3\,\text{cm}\\[5pt] b&=&9,2\,\text{cm} \end{array}$

Größe von $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

1. Schritt: Länge von $h_b$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(53,6^\circ)&=&\frac{h_b}{9,2\,\text{cm}} \, \scriptsize \mid\;\cdot 9,2\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sin(53,6^\circ)\cdot 9,2\,\text{cm}&=&h_b\\[5pt] h_b&=&7,4\,\text{cm} \end{array}$

2. Schritt: Größe von $\alpha$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\frac{h_b}{7,7\,\text{cm}}\\[5pt] \sin(\alpha)&=&\frac{7,4\,\text{cm}}{7,7\,\text{cm}}\\[5pt] \alpha&=& 74^\circ \end{array}$

Größe von $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

$\beta=180^\circ-74^\circ-53,6^\circ=52,4^\circ$

Länge von $\boldsymbol{b}$ berechnen

1. Schritt: Länge von $\overline{AD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}^2+h_b^2&=&(7,7\,\text{cm})^2 \, \scriptsize \mid\;-h_b^2 \\[5pt] \overline{AD}^2&=&(7,7\,\text{cm})^2-h_b^2 \, \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}&=&\sqrt{(7,7\,\text{cm})^2-h_b^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(7,7\,\text{cm})^2-(7,4\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{AD}&=&2,1\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge von $\overline{CD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}^2+h_b^2&=&(9,2\,\text{cm})^2 \, \scriptsize \mid\;-h_b^2 \\[5pt] \overline{CD}^2&=&(9,2\,\text{cm})^2-h_b^2 \, \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \overline{CD}&=&\sqrt{(9,2\,\text{cm})^2-h_b^2} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=&\sqrt{(9,2\,\text{cm})^2-(7,4\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{CD}&=&5,5\,\text{cm} \end{array}$

3. Schritt: Länge von $b$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} b&=&\overline{AD}+\overline{CD}\\[5pt] &=&2,1\,\text{cm}+5,5\,\text{cm}\\[5pt] b&=&7,6\,\text{cm} \end{array}$

Größe von $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen

1. Schritt: Länge von $h_a$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(69^\circ)&=&\frac{h_a}{10,8\,\text{cm}} \, \scriptsize \mid\;\cdot 10,8\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sin(69^\circ)\cdot 10,8\,\text{cm}&=&h_a\\[5pt] h_a&=&10,1\,\text{cm} \end{array}$

2. Schritt: Länge von $\overline{CD}$ berechnen

Dazu wird zuerst die Länge von $\overline{BD}$ berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} \cos(69^\circ)&=&\frac{\overline{BD}}{10,8\,\text{cm}}\, \scriptsize \mid\;\cdot 10,8\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \cos(69^\circ)\cdot 10,8\,\text{cm}&=&\overline{BD}\\[5pt] \overline{BD}&=&3,9\,\text{cm} \end{array}$

$\overline{CD}=\overline{BC}-\overline{BD}$

$\overline{CD}=10,3\,\text{cm}-3,9\,\text{cm}$

$\overline{CD}=6,4\,\text{cm}$

3. Schritt: Größe von $\gamma$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\gamma)&=&\frac{h_a}{\overline{CD}} \\[5pt] \tan(\gamma)&=&\frac{10,1\,\text{cm}}{6,4\,\text{cm}} \\[5pt] \gamma&=&57,6^\circ \end{array}$

Größe von $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

$\alpha=180^\circ-69^\circ-57,6^\circ=53,4^\circ$

Länge von $\boldsymbol{b}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} b^2&=&\overline{CD}^2+h_a^2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} b&=&\sqrt{(CD)^2+h_a^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(6,4\,\text{cm})^2+(10,1\,\text{cm})^2} \\[5pt] b&=&12\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

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