Rechtwinkliges Dreieck
In einem rechtwinkligen Dreieck lassen sich Seiten und Winkel berechnen.
Dazu genügt es, wenn entweder zwei Seiten oder eine Seite und ein weiterer Winkel bekannt sind.
Beispiel
Gegeben: 
Gesucht: 
und 
Länge von 
berechnen
Satz des Pythagoras anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2+b^2&=&c^2\qquad\quad\quad \scriptsize \mid\;-b^2 \\[5pt]
a^2&=&c^2-b^2 \quad\,\,\,\,\;\scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
a&=&\sqrt{c^2-b^2}\\[5pt]
&=&\sqrt{(12\,\text{cm})^2-(9,7\,\text{cm})^2}\\[5pt]
a&=&7,1\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/56e9920d30a937ca557cbc819c1c24e1a3f3c8490b0e7fd78aa3e54c0f64a2ec?color=5a5a5a)
Größe von 
berechnen
Sinus anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\alpha)&=&\dfrac{a}{c}\\[5pt]
&=&\dfrac{7,1\,\text{cm}}{12\,\text{cm}}\\[5pt]
\sin(\alpha)&=&0,6\\[5pt]
\alpha&=&36,9^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e1c61f7d0f419d05dd8a2a960c2b81d0912301d3f53b04260365b3ec78356243?color=5a5a5a)
Größe von 
berechnen
Winkelsummensatz anwenden
1
Berechne die Länge der unbekannten Seiten.
a)
b)
c)
d)
2
Berechne die Größe der unbekannten Winkel.
a)
b)
c)
d)
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1
a)
Länge von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(62,2^\circ)&=&\frac{a}{11\,\text{cm}} \scriptsize \mid\;\cdot 11\,\text{cm} \\[5pt]
\sin(62,2^\circ)\cdot 11\,\text{cm}&=&a\\[5pt]
a&=&9,7\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/472a4af5c84debc815340a405f521bfffefa099792ddfa87cd99d2d01d865547?color=5a5a5a)
Länge von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(62,2^\circ)&=&\frac{b}{11\,\text{cm}} \, \scriptsize \mid\;\cdot 11\,\text{cm} \\[5pt]
\cos(62,2^\circ)\cdot 11\,\text{cm}&=&b\\[5pt]
b&=&5,1\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2340c5129d0329e942143942cf1da0d7dc15b2ba1d46b9909c2062630e55478e?color=5a5a5a)
b)
Länge von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(55,1^\circ)&=&\frac{5,1\,\text{cm}}{c} \,\scriptsize \mid\;\cdot c \\[5pt]
c\cdot \sin(55,1^\circ)&=&5,1\,\text{cm}\,\scriptsize \mid\;: \sin(55,1^\circ)\\[5pt]
c&=&\frac{5,1\,\text{cm}}{\sin(55,1^\circ)}\\[5pt]
c&=& 6,2\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/dc63b28ad45fdbd1239ebe88c91b28dc7d4677f4793cec8188de30aebcfc753d?color=5a5a5a)
Länge von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(55,1^\circ)&=&\frac{5,1\,\text{cm}}{b} \, \scriptsize \mid\;\cdot b \\[5pt]
\tan(55,1^\circ)\cdot b&=& 5,1\,\text{cm}\,\scriptsize \mid\;:\tan(55,1^\circ)\\[5pt]
b&=&\frac{5,1\,\text{cm}}{\tan(55,1^\circ)}\\[5pt]
b&=&3,6\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6d0ad020115e7260a80d962b6102167a5b631c026e578e307fbc540654835538?color=5a5a5a)
c)
Länge von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(29,5^\circ)&=&\frac{b}{12\,\text{cm}} \, \scriptsize \mid\;\cdot 12\,\text{cm} \\[5pt]
\tan(29,5^\circ)\cdot 12\,\text{cm}&=&b\\[5pt]
b&=&6,8\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a9ebea3c91728a5e6e9711eee49b093acfbc737ba4ae332339328ade87c09cd3?color=5a5a5a)
Länge von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(29,5^\circ)&=&\frac{12\,\text{cm}}{c} \,\scriptsize \mid\;\cdot c \\[5pt]
c\cdot \cos(29,5^\circ)&=&12\,\text{cm}\,\scriptsize \mid\;:\cos(29,5^\circ)\\[5pt]
c&=&\frac{12\,\text{cm}}{\cos(29,5^\circ)}\\[5pt]
c&=&13,8\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f87d8d027847c3cb44764277cba90d7e4f4721eedae12c92fd02235a0cf7a5a9?color=5a5a5a)
d)
Länge von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(32,9^\circ)&=&\frac{7,6\,\text{cm}}{a} \, \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt]
\tan(32,9^\circ)\cdot a&=& 7,6\,\text{cm}\,\scriptsize \mid\;:\tan(...)\\[5pt]
a&=&\frac{7,6\,\text{cm}}{\tan(32,9^\circ)}\\[5pt]
a&=&11,7\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/856e86339d7de579a94e1560877cb4a9d74dccd270258e516c4b74f93fe6be12?color=5a5a5a)
Länge von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(32,9^\circ)&=&\frac{7,6\,\text{cm}}{c} \, \scriptsize \mid\;\cdot c \\[5pt]
\sin(32,9^\circ)\cdot c&=& 7,6\,\text{cm}\,\scriptsize \mid\;:\sin(...)\\[5pt]
c&=&\frac{7,6\,\text{cm}}{\sin(32,9^\circ)}\\[5pt]
c&=& 14\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a1652086fea6d853945b0a1de5c5644fbe6b5a19e84a23321f7d5b77ecdbdf98?color=5a5a5a)
2
a)
Größe von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha)&=&\dfrac{9,4\,\text{cm}}{9\,\text{cm}}\\[5pt]
\tan(\alpha)&=&\dfrac{94}{90}=\dfrac{47}{45}\\[5pt]
\alpha&=&46,2^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b3e6a393884d2ebb3709a14f44b39eb3326ac72081838abf6ac5e8f335c32301?color=5a5a5a)
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\beta)&=&\dfrac{9\,\text{cm}}{9,4\,\text{cm}}\\[5pt]
\tan(\beta)&=&\dfrac{90}{94}=\dfrac{45}{47}\\[5pt]
\beta&=&43,8^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e170e876f9dfb355299f7ba37608c587dbf5c08e8374bc22750c1a7f7ecca6af?color=5a5a5a)
Hier wurde bewusst nicht gerundet, da 
gerundet 
ergibt und das Ergebnis dann zu sehr abweicht. Sonst genügt es auf eine Stelle nach dem Komma zu runden.
Größe von
b)
Größe von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\alpha)&=&\dfrac{8\,\text{cm}}{13,8\,\text{cm}}\\[5pt]
\cos(\alpha)&=&0,6\\[5pt]
\alpha&=&53,1^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bfdc28e9ac0b1b7162395d5de4d7167d966757f4025c5205c2e1b937098844ca?color=5a5a5a)
Größe von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\beta)&=&\dfrac{8\,\text{cm}}{13,8\,\text{cm}}\\[5pt]
\sin(\beta)&=&0,6\\[5pt]
\beta&=&36,9^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fd20292624f949fb8855eeee2f808a58ec9344783f25616c7a7d13d104115036?color=5a5a5a)
c)
Größe von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\delta)&=&\dfrac{11,4\,\text{cm}}{13,8\,\text{cm}}\\[5pt]
\sin(\delta)&=&0,8\\[5pt]
\delta&=&53,1^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/107217c34c8c5142127d924fef9068a284aa99f1b4fcd7e3e2e58b80f95c3f7d?color=5a5a5a)
Größe von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\epsilon)&=&\dfrac{11,4\,\text{cm}}{13,8\,\text{cm}}\\[5pt]
\cos(\epsilon)&=&0,8\\[5pt]
\epsilon&=&36,9^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/832b133a3fb0e79f4b07bd0eafc2af19594abdd0abafc559dafbe0d68d5c642c?color=5a5a5a)
d)
Größe von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\delta)&=&\dfrac{6,8\,\text{cm}}{12\,\text{cm}}\\[5pt]
\tan(\delta)&=&0,6\\[5pt]
\delta&=&31^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3e08f3a7d79f33644572fa69b66ac14f61f8346aa8628f7831eea1e2808f9e45?color=5a5a5a)
Größe von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\epsilon)&=&\dfrac{12\,\text{cm}}{6,8\,\text{cm}}\\[5pt]
\tan(\epsilon)&=&1,8\\[5pt]
\epsilon&=&60,9^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9812d6f512cb6a59a41a0f1a6dc78a8c3e0a036ca653ab2c8061ac19787a3cf0?color=5a5a5a)