Quadratische Funktionen mit Koeffizient

Das Schaubild der quadratischen Funktion $y=ax^2+c$ ist eine Parabel, die um den Summanden $c$ verschoben ist. Der Scheitelpunkt hat dabei die Koordinaten $S(0\mid c).$

Die Parabel wird um den Koeffizienten $\boldsymbol{a}$ gestreckt oder gestaucht. Außerdem bestimmt der Koeffizient $a,$ ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist.

Für die Öffnung der Parabel gilt:

Wenn $a\gt 0,$ dann ist die Parabel nach oben geöffnet.
Wenn $a\lt 0,$ dann ist die Parabel nach unten geöffnet.

Für die Form der Parabel gilt:

Für $\mid a\mid\lt 1$ ist die Parabel breiter als die Normalparabel.
Für $\mid a\mid\gt 1$ ist die Parabel schmaler als die Normalparabel.

$y=-2x^2$

Da für den Koeffizienten $a=-2$ gilt, ist die Parabel nach unten geöffnet und um den Faktor 2 gestaucht, also schmaler als die Normalparabel.

$x$	$y$
$-1,5$	$-4,5$
$-1$	$-2$
$-0,5$	$-0,5$
$0$	$0$
$0,5$	$-0,5$
$1$	$-2$
$1,5$	$-4,5$

Realschule Baden-Württemberg Digitales Schulbuch Parabeln mit Koeffizient

$y=2x^2+1$

Da für den Koeffizienten $a=2$ gilt, ist die Parabel nach oben geöffnet und um den Faktor 2 gestaucht, also schmaler als die Normalparabel. Außerdem ist sie um 1 Längeneinheit nach oben verschoben.

$x$	$y$
$-1,5$	$5,5$
$-1$	$3$
$-0,5$	$1,5$
$0$	$1$
$0,5$	$1,5$
$1$	$3$
$1,5$	$5,5$

$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2$

Da für den Koeffizienten $a=-\frac{1}{2}$ gilt, ist die Parabel nach unten geöffnet und um den Faktor $\frac{1}{2}$ gestreckt, also breiter als die Normalparabel. Außerdem ist sie um 2 Längeneinheiten nach unten verschoben.

$x$	$y$
$-2$	$-4$
$-1,5$	$-3,125$
$-1$	$-2,5$
$-0,5$	$-2,125$
$0$	$-2$
$0,5$	$-2,125$
$1$	$-2,5$
$1,5$	$-3,125$
$2$	$-4$

$y=-3x^2-1$

Da für den Koeffizienten $a=-3$ gilt, ist die Parabel nach unten geöffnet und um den Faktor 3 gestaucht, also schmaler als die Normalparabel. Außerdem ist sie um 1 Längeneinheit nach unten verschoben.

$x$	$y$
$-1$	$-4$
$-0,5$	$-1,75$
$0$	$-1$
$0,5$	$-1,75$
$1$	$-4$

Funktionsgleichung $\boldsymbol{y=-\frac{1}{4}x^2+1}$

Der Verschiebungsfaktor ist $c=1$ und der Koeffizient ist $a=-\frac{1}{4}.$ Da lediglich $p_3$ durch den Punkt $S(0\mid 1)$ verläuft, ist das der passende Graph dazu.

Funktionsgleichung $\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x^2-1}$

Der Verschiebungsfaktor ist $c=-1$ und der Koeffizient ist $a=\frac{1}{2}.$ Da lediglich $p_1$ durch den Punkt $S(0\mid -1)$ verläuft, ist das der passende Graph dazu.

Funktionsgleichung $\boldsymbol{y=-2x^2+2}$

Der Verschiebungsfaktor ist $c=2$ und der Koeffizient ist $a=-2.$ Da lediglich $p_2$ durch den Punkt $S(0\mid 2)$ verläuft, ist das der passende Graph dazu.